Analisi matematica (parte 8)

Dimostrazione della definizione di punto estremante relativo

Sono dati due punti, di cui il primo è di valore assoluto per 271184 e il secondo è di valore assoluto per 2. Il punto è definito come locale massimo se è crescente e il valore di f(x) è decrescente. Inoltre, il punto è di valore assoluto per 5. Si deve dimostrare che il punto è estremante relativo perf se è locale minimo o un punto di valore assoluto massimo.

TEOREMA Fermat: Sia dato un intervallo I e un punto interno Xo in I. Se f è derivabile in Xo e f'(Xo) = 0, allora Xo è un punto estremante relativo.

Interpretazione geometrica: La retta tangente in un punto è orizzontale.

Dimostrazione: Nel caso in cui il punto sia locale massimo, si suppone che f(Xo) = 75, f'(Xo) = 74 e f''(Xo) = 0. Siccome supponiamo che f'(Xo) = 5, allora Xo = 78. Vale quindi che f(Xo) = 8. Se Xo = XoJlx, allora f(Xo) = 0. Permanenza del segno: f(Xo) > 0.

Per L'Ho3 L Xo 20e totoSe EXo iogiàJlx totoT PermanenzaI segnodelIct14line E ox p X 03per Y tof derivatalapoichéto o esisteL L'hoL20a oa ola dimostrazione delRilegge attentamenteFermatT diDimostrare che se7 R9,5 ERbll eesistono af di localesei puntona un minimolin LOa ab 7in D b 20 di massimo7 puntosed ha unlocale L aa 20in D bLin EoCommento FermatSulle ipotesi diEI èDX rimovibilenonI IREs 0,1FG X di minimopuntoè unXo fassoluto perLma IO Og rimovibile7 derivabile2 in to nonf.IR IR èodi minpuntofa la assoluto maL'hoIl fatto Iche rimovibileèintervallosia unIl Avale ancheteorema insiemeconDCAepercheDef ocritico stazionariopunto R7 I intervalloI eXodiceSi punto Crito stazionarioXo pero7 f derivabile l'Gèse in exo 0iTuttiNon criticipuntiOss sono puntidi localemassimo minimoo7 3IR FGIRES7 èo non puntoma Xoo o un7localeestremonte perfix seµ so sosefa oo7 IRIRES Isin se oxfix se xo oIfo O Itzama Xu IImmSinffan

Ffent'sin Etna141Fermat è solomaunnon sufficienteE mainfatti nonnecessarioper èstabilire di dimassimoun puntose olocaleminimoUtilità Fermat è didi quella ridurrepunti deldiildrasticamente numerodominio funzionedi cuiuna cercarein localieventuali punti estremantiDove eventuali punti estremontisi cercanoloc FERdiI l'Ho1 Xo ovverocriticoe odigli estremi2 I Ise adappartengonolcui3 punti in esistenoniEsercizio Trovare massimo minimoediassoluti7 L IR2,384 31 813Per Weierstrass mattImpinge f 2,33fdii criticipunti 3interni in 2,31IIxd gli estremi X 2 X 3dipuntopossibile derivabilitànoniii X 274 Ix derivabile peròpoiché nonX O3Infatti in 8 x0 2112 Gsta113gligli mina ilil saràE eminimo essidi fsaràmassimo maBaldi15 12 derivabilifunzioni intervallisuRolle RIMOVIBILENONTEOREMI LagrangeDiCauchye t'da derivanoquestogli altriTEOREMA Rolledi7 IR Se9,5còntihàdineksysoelimitato7 è1 7 è Ja be2

Rolle's theorem states that if a function f is continuous on a closed interval [a, b], differentiable on the open interval (a, b), and f(a) = f(b), then there exists at least one number c in the open interval (a, b) such that f'(c) = 0.

In other words, if a function is continuous on a closed interval and has the same values at the endpoints of the interval, then there must be a point within the interval where the derivative of the function is zero.

This theorem is useful in calculus for finding critical points and determining whether a function has a maximum or minimum value within a given interval.

inderivabile bJain1 LCDaEIce Jail Lte c o 4n'h giagbLIbizag a L giàfbC 814L giaco cgtesilacuida fb L giàflat c giag cApplicazioni precedentiTdei funzioniteorema derivatasulle sunullaaintervalli funzioniIn intervallo leun costanti sonofunzionile nullasoletutte derivatoe a7 IRI derivabile Iinl intervalloIrovviof costDie IRSia f I derivabilel'Gdimostrare Fx fvoglio costIo eSiano ZEI con Liz7Considero RXaf è derivabile Cxcontinuae xDinPer te leiLagrange tee 2flat7 C GEXz XiC Hpperofla l'arbitrarietàfeti per diconclusohoIinvai la fdiderivata ècostanteuna oCommenti sulle ipotesif o f ènon costantemopoiché il èdon nonintervallounmmmmmmCorollario fig IRIfig derivabili Iin HEIL'HI xgZCEIRT.C.IN CAGE H IEteoremaDim il precedenteapplicasi ffunzionealla gTeorema Corollario t Rolledel di sullastretta monotoniaGIR intervalloI7 IRI7 Icontinua in If derivabile in Ìf Axx O E7Allora è strettamente fmonotona xe

oVxL'A0 ODim Le 7cheipotesi suggeriscono siainfattifosselose noniniettivo Aa79,5 LibiEI t.ca7 IR Rolle 7Ct9,4 il di Iper E ticL HEIL'Hl'ipotesiC Controo OfunzioneMa intervallocontinua suuna un eèiniettivo monotonastrettamenteiviVd TEOREMAPer fissare le idee strettamentecrescenteUh I IE CON E2glia fai permanenzaTe delsegnoo2Sha faili