Parte 2, Matematica

Operazioni sulle funzioni

Come accade ai numeri reali, anche le funzioni si possono sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere (ma solo se hanno il denominatore ≠ 0). Siano f(x) e g(x) due funzioni diverse e x un elemento che appartenga sia al dominio di f che a quello di g, si avrà:

• Somma tra due funzioni: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• Sottrazione tra due funzioni: (f - g)(x) = f(x) - g(x)
• Moltiplicazione tra due funzioni: (f * g)(x) = f(x) * g(x)
• Divisione tra due funzioni: (f/g)(x) = f(x) / g(x) con g(x) ≠ 0

Infine si può definire la moltiplicazione tra una funzione f(x) e una costante c nel seguente modo:

• (c * f)(x) = f(x) * c

Composizione delle funzioni

Le funzioni possono essere composte anche con un altro tipo di operazione detta Composizione.

N.B. = questa operazione si nota con il simbolo f ○ g (si legge "f composto g") e si definisce nel seguente modo:

• (f ○ g)(x) = f(g(x)) per ogni x per cui la f(g(x)) abbia senso.

Graficamente si ha f ○ g : x → y (f ○ g)(x) = f(g(x))

Si ha:

• D(g) = X; I(g) = Z; D(f) = Z; I(f) = Y

Il Dominio di (f ○ g) è x = D(g), mentre l'immagine di (f ○ g) è y = I(f) con I(g) = D(f)

E ancora:

Funzioni pari e funzioni dispari

Sia y = f(x) una funzione con D(f).

Supponiamo che nel dominio ci sia sempre -x ogni volta che c'è x. Se f(-x) = f(x) la funzione è pari.

Esempi di particolari funzioni sempre pari:

• Funzione valore assoluto: D: R
  Se x ≥ 0, y = f(x) = |x|. Sappiamo inoltre che |x| = |-x|, quindi se x < 0, f(-x) = |-x| = x = f(x). La funzione valore assoluto è pari.
• Funzione coseno: y = f(x) = cosx con D(f) = R
  Si ha f(-x) = cos(-x) = cosx = f(x). La funzione coseno è pari.

Se F(-x) = -f(x) la funzione è dispari.

Esempi di particolari funzioni sempre dispari:

• Funzione seno: y = f(x) = senx con D(f) = R
  Si ha f(-x) = sen(-x) = -senx = -f(x). La funzione seno è dispari.
• Funzione tangente: y = f(x) = tgx con D(f) = R / ± π/2 (e suoi multipli)
  Si ha f(-x) = tg(-x) = -tgx = -f(x). La funzione tangente è dispari.

Funzioni invertibili o funzioni inverse

Sia f una funzione di A in B. Sia f(x) una funzione tale che non solo ad ogni elemento di A corrisponde un solo elemento di B, ma anche che ogni elemento di B è il corrispondente di ogni elemento di A. In questo caso si dice che f è una corrispondenza biunivoca.

Esempi grafici: Solo nell'ultimo caso f è una corrispondenza biunivoca perché ad ogni elemento di A corrisponde un solo elemento di B.