Parte 2, Matematica

Il Dominio di ( f ○ g ) è x = D(g), mentre l'immagine di ( f ○ g ) è y = I(f ) con I(g) = D(f )

e ancora :

Vedere schema quad. Funzioni pari e Funzioni dispari

Sia y = f(x) una funzione con D(f )

Supponiamo che nel dominio ci sia sempre -x ogni volta che c'è x

Se f(-x) = f(x) la funzione è pari

Esempi di particolari funzioni sempre pari:

• Funzione valore assoluto D: R

x se x ≥ 0

y = f(x) = |x| = Sappiamo inoltre che |x| = |-x|

-x se x < 0

Dunque

f(-x) = |-x| = x = f(x) La funzione valore assoluto è pari

• Funzione coseno

y = f(x) = cosx con D(f ) = R

si ha

f(-x) = cos(-x) = cosx = f(x) La funzione coseno è pari

Se F(-x) = -f(x) la funzione è dispari

Esempi di particolari funzioni sempre dispari

• Funzione seno

y = f(x) = senx con D(f ) = R

si ha

f(-x) = sen(-x) = -senx = -f(x) La funzione seno è dispari

• Funzione tangente

y = f(x) = tgx con D(f ) = R / ± π/2 ( e suoi multipli )

si ha

f(-x) = tg(-x) = -tgx = -f(x) La funzione tangente è dispari

Funzioni invertibili o Funzioni inverse

Sia f una funzione di A in B

Sia f(x) una funzione tale che non solo ad ogni elemento di A corrisponde 1 e 1 solo

elemento di B ma anche che ogni elemento di B è il corrispondente di ogni elemento di A.

In questo caso si dice che f è una corrispondenza biunivoca.

Esempi grafici

Solo nell'ultimo caso f è una corrispondenza biunivoca perché ad ogni elemento di A

corrisponde un solo elemento di B e viceversa.

In altri termini una funzione f è corrispondenza biunivoca se elementi diversi di A x e x

1 2

con x ≠ x hanno immagini diverse in B ovvero f(x ) ≠ f(x ).

1 2 1 2

Esempio grafico x ≠ x

1 2

f(x ) ≠ f(x )

1 2

Sia f una funzione di corrispondenza biunivoca come in figura:

In questo caso si può costruire una funzione di B in

A tale che :

• y → x con y = f(x)

Si dice che la funzione è invertibile e la funzione di

B ha valori in A si chiama Funzione inversa di f e si

-1

nota come f

-1

f : A → B f : B → A

con -1 -1

• D(f ) = A = I(f ) e I(f ) = D(f )

f : x → y con y = f(x)

1. -1 -1

f : y → x con x = f (y)

2. -1 -1

Nel passare da f a f si scambiano i ruoli non solo gli insiemi A e B ( il D di f e I di f e

viceversa), ma anche le variabili x e y si scambiano i ruoli.

-1

Componiamo successivamente f e f

-1 -1

• x→ •y = f(x) → • x =f (y) = f ( f(x) ) = x

-1

• ( f ○ f ) è l'identità

• -1

In modo analogo se componiamo f e f si ha

-1 -1

• y→ •x = f (y)→ • y = f( f (y) )

-1

• ( f ○ f ) è l'identità Funzione monotòna

Una funzione y = f(x) si dice monotòna se verifica uno dei seguenti 4 casi:

x < x f(x ) < f(x ) f è strettamente crescente per ogni x ; x D(f )

1. ϵ

1 2 1 2 1 2

x < x f(x ) ≤ f(x ) f è crescente per ogni x ; x D(f )

2. ϵ

1 2 1 2 1 2

x > x f(x ) > f(x ) f è strettamente decrescente per ogni x ; x D(f )

3. ϵ

1 2 1 2 1 2

x > x f(x ) ≥ f(x ) f è decrescente per ogni x ; x D(f )

4. ϵ

1 2 1 2 1 2

Nei casi 1 e 3 la f è detta strettamente monotòna. Se f e ogni elemento y è il corrispondente

di almeno 1 elemento x di A allora f è invertibile.

Esempi

• y = f(x) = 1/2x +1 è strettamente monotòna crescente

• y = f(x) = 1/x è strettamente monotòna decrescente

• y = f(x) = √x è strettamente crescente

0 se x Z

ϵ

• y = f(x) = 1 negli altri casi

• x se x ≥ 0

y = f(x) = |x| = non sono monotòne

-x se x < 0

1 se x > 0

• y = f(x) = sgnx = x/|x| = riferimentiloriferendo

-1 se x < 0

Cenni di geometria analitica

Si riesce a dare una veste algebrica ( analitica ) ad ogni problema matematico riferendo il

piano e lo spazio a riferimenti cartesiani. In particolare:

• ortogonali;

• monometrici.

Si consideri nello spazio tre rette ortogonali tra loro ( assi cartesiani )

Asse x = asse delle ascisse

Asse y = asse delle ordinate

Asse z = asse delle quote

0 = origine degli assi ( il loro punto di

intersezione)

Le proiezioni di P sono ortogonali

Si sceglie la stessa unità di misura per tutti i tre assi.

Si definiscono ordinate cartesiane i seguenti numeri reali :

ascissa x = 0Px / 0u

I. ordinata y = 0Py / 0u 0u = unità di misura

II. quota z = 0Pz / 0u

III.

In particolare nel piano si ha x = 0Px / 0u

y = 0Py / 0u

0u = unità di misura

Nel piano oltre ai punti ci sono anche altri oggetti come le rette. Una qualunque retta r del

piano si può rappresentare da una equazione di primo grado delle variabili x e y ovvero:

• ax +by +c = 0 equazione generale della retta

Grafico I coefficienti numerici dell'eq. generale a, b, c non hanno

significato geometrico mentre ha significato geometrico:

• l'annullarsi di uno o due coefficienti;

• i loro rapporti.

Esempi

a = 0 → by +c = 0 y = -c/b y = costante

la retta r è parallela all'asse x perché tutti i punti hanno la stessa

ordinata

b = 0 → ax +c = 0 x = -c/a x = costante