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Prodotto scalare
In ℜ² ⟨(x₁, y₁), (x₂, y₂)⟩ def. x₁x₂ + y₁y₂ norma ‖(x, y)‖ = √⟨(x, y), (x, y)⟩ = √x² + y² v, ω ∈ ℜ², sono ortogonali ⇔ ⟨v, ω⟩ = 0 ⇔ v ⊥ ω
Forme bilineari
Def: ∀ V, k - sp vett Φ : V × V ⟶ k è detta applicazione (o forma) bilineare se:
- 1) ∀ x, y, z ∈ V Φ(x+ y, z) = Φ(x, z) + Φ(y, z)
- 2) ∀ x, y, z ∈ V Φ(x, y + z) = Φ(x, y) + Φ(x, z)
- 3) ∀ x, y ∈ V ∀ α ∈ k Φ(αx, y) = αΦ(x, y) = Φ(x, αy)
In generale Φ : V × V × ... × V ⟶ k è detta multilineare se è lineare in ciascuna variabile.
Esempi
1) Φ = 0
2) Φ: ℜ ⁽ⁿ⁾ × ℜ ⁽ⁿ⁾ ⟶ ℜ ⟶ Φ(x, y) = t x y = Σ xᵢ yᵢ
3) A ∈ M(n, k) Φ: k ⁿ × k ⁿ ⟶ k (x ⋅ y) −−−−−−→ t x Ay
4) Il determinante è visto come applic. sulle righe (o colonne) è multilineare
5) ∀ A, B ∈ M(n, k) Φ(A, B) = tr(A B)
6) ∂ ∈ M(n, k) Φ(A, B) = tr(A ∂B)
7) fissi a₁, …, aᵣ ∈ k Φ: k ⁽ⁿ⁾ × k ⁽ⁿ⁾ × … × k ⟶ k
8) &dist; ℜ ² Φ(x₁, −x₂), (y₁, −y₂)) = x₁y₁ + x₂y₁ + x₁y₂ + x₂y₂
Def: Una forma bilineare Φ: V × V ⟶ k si dice prodotto scalare se è simmetrica, cioè se ∀ v, ω ∈ V Φ(v, ω) = Φ(ω, v)
Esempio: A ∈ M(n, k) Φ: k ⁿ × k ⁿ ⟶ k α(x, y) −−−−−−→ t x Ay
Achtung! Lavoreremo su campi Ik con char#2
Def: se φ:VxV → Ik forma bilineare si chiama forma quadratica indotta da φ l'applicazione q:V → Ik definita da q(v)=φ(v,v) ∀ v ∈ V
Esempio: φ(x,y)=tx.y su Ik riduce qφ(x)=tx.x=x12+x22+...+xn2 (forma quadratica standard)
Def: Una applicazione q:V → Ik si dice forma quadratica se ∃ forma bilineare su V t.c. q=qφ (ossia q(w)=φ(v,v) ∀ v ∈ V)
Prop: V → Ik forma quadratica allora esiste unico e un solo prodotto scalare che induce q dim: per defi φ forma bilineare t.c. q(v)=φ(v,v) ∀ v ∈ V allora φ(u,v)=φ(v,u)+φ(v,v) ∈ un prodotto scalare che indige q i un'altro se q e' un prodotto scalare che indiuce q, allora q(u+v)-q(u)-q(v) = φ(u,v)+φ(v,u)-φ(v,v) le ↻ φ(u,v)+φ(v,u) = 2φ(u,v) da cui φ(u,v)=(q(u+v)-q(u)-q(v))/2 (proprietà di polarizzazione) per cui il prodotto scalare φè l'unico ed è determinato da q
Def: BIl(V)={φ:VxV → Ik| φ bilineare} possiamo definere in Bil(V) una somma e un prodotto per scalare: 1) ∀φ, ψ ∈ Bil(V) (φ+ψ)(u,v)=φ(u,v)+φ(u,v) 2) ∀λ ∈ Ik ∧ ∀ φ ∈ Bil(V) (λφ)(u,v)=λφ(u,v)
Esercizio 1) Bil(V) è uno sp. vett. 2) PS(V)={prodotti scalari su V} è ss.v di Bil(V) 3) Q(V)={forme quadratiche su V} un ss.vect di fn V → Ik≥2 l'applicazione PS(V) → Q(V) φ → qφ è un isomorfismo
Allora
φ(ω, ν) = tUJBA'VB = tUB'MA'MVB
ma anche φ(ω, ν) = tUJBA'VB
poiché tUJBA'tJ = tUB'MAMtJVB, ∀ U, ν ∈ V allora
A' = tMAM
Definizione
A, B ∈ M(n, k) si dicono congruenti se
∃ M ∈ GL(n, k) t.c. B ~ MAM
ossia: la congruenza è una relazione di equivalenza
Un range è un invariante di congruenza
Def: rk(φ) = rk(UG(φ)) (φ ben posta)
Prop: ∀ k sp. vett.
φ, ψ ∈ PS(V) sono fatti equivalenti
- (V, φ) e (V, ψ) sono isometrici
- ∀ base B di V, UB(φ) e UB(ψ) sono congruenti
- ∃ B', B'' base di V t.c. UB'(φ)=UB''(ψ)
Lemma
Aiab laio = quella per gli endomorfismi
oss: in particolare gli invarianti rispetto all'isometria in PS(V) corrispondono agli invarianti rispetto alla congruenza in S(n, k). Per ora conosciamo solo il rango
es: se B ~ tFM con M ∈ GL(n, k) = det B = det A (det H)
quindi il det non è invariante per congruenza se k=R il segno del det è invariante per congruenza
Sia f ∈ End(U), ∀ vett. u ∈ U
Supponiamo k = K algebraicamente chiuso → i fattori irriducibili di f(t) e di mf(t) coincidono
dim: 1) Appare che è vero per fattori lineari (t-λ) in quanto sappiamo che ogni autovalore di f è radice di mf(t)
Posso supporre V = Kn ; f = A ∈ M(nxn, K). Dato q(t) un
fattore irriducibile di pf(t). ∃ λ ∈ K t.c. pf(λ) = 0.
Lavorando in K ottengo che anche mf(λ) = 0 dove
mA(E) = il polinomio minimo di A su K → anche
mA(λ) = 0. Dunque ∃ fattore irriducibile r(t) ∈ K[t]
di mf(t) t.c. r(λ) = 0. Se r(t) = q(t) ho finito
altrimenti ∃ a(t), b(t) ∈ K[t] t.c. a(t) r(t) + b(t) q(t) = 1 ∉ I K(t)
ma, valutando in λ ho in assurdo.
Basi Ortogonali
Φ ∈ PS(V) dim V=n
Def: Una base B={v1, ..., vn} si dice ortogonale se Φ(vi, vj)=0 ∀ i ≠ j
All: B è ortogonale ⇒ ÜΦ(B) è diagonale
Teorema
Per ogni prodotto scalare Φ esiste una base di V ortogonale rispetto a Φ
dim N per induzione su n=dimV
Se n=1 ogni base è ortogonale
- Se n > 2
- a) Se Φ(v,v)=0 ∀ v allora Φ=0 e ogni base è ortogonale
- b) ∃ j, 1, ≤ j, ≤ n, (t.c. Φ(vj,vj)≠0, allora V = Span {vj} ⊕ (Span{vi})⊥
Per Hp induttiva ∃ {v2,...,vn} base di (Span{vi})⊥ ortogonale per la restrizione di Φ allora {v1,...,vn} è base di V ortogonale per Φ
Algoritmo di ortogonalizzazione
Sca B={v1,...,vn} una base di V qualsiasi
Sca A=UÜΦ
Suppongo [A]JJ = Φ(vJ,vJ) ≠ 0 (dove vJ non isotropo) possiamo
- v1 = vJ
- v2 = v2 - Φ(v2,v1) / Φ(v1,v1) v1
- vm = vm - Φ(vm,v1) / Φ(v1,v1) v1
Allora 1) ∀ j=2,...,n Φ(vj,v1)=0
2) B'={v1,...,vn} è una base di V
3) UÜΦ(t) = (∑ o ... o ... 0 o)
Le loro coordinate rispetto a B sono una matrice triangolo superiore
Se [A] o vecli se j ≤ 2, m |hc 1 [A]1.1 fa scelta diagonale di A
Se k l trova scaluto la base B è svolto che anche il primo vettore, se applico il primo caso
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