Parte 1, Geometria analitica e algebra lineare

Geometria analitica e algebra lineare

Teoria preliminare da scaricare

Libro: Castello Pergamena

Prove scritte (fine semestre, prima settimana di lezioni): voti positivi (enderecso nello scritto). Esemplificare lo studio in autonomia con l'uso di libri e spazio cattivo.

Insieristica

• Quantificatori
• ∀ per ogni
• ∃ esiste
• ∈ appartiene
• A = elemento A: insieme
• Ø insieme vuoto
• A ⊂ B
• B = insieme contenuto cA ⊂ B ^{∀ a∈A a∈B}
• A ⊃ B ^{∀ b∈B b∈A}
• A = B A⊂B , B⊂A definizione di = per gli insiemi

Esempi

• ℕ numeri naturali
• ℤ interi
• ℚ razionali
• ℝ reali

A = {a₁, a₂, ..., a_n} A = {x | P(x)} dove P(x) è una proprietà che lo definisce.

Esempio: {x∈ ℕ | 2 divide x}

Algebra lineare

Perugina preliminare da scaricare. Libri: Catullo Pezzacotta.

Prove scritte (fine semestre): voto positivo (andare allo scritto), compiti strutture prima settimana.

Insieristica e quantificatori

• ∀ per ogni
• ∃ esiste
• ∈ appartiene

a = elemento, A = insieme. ∅ insieme vuoto.

⊆ C B insieme contenuto C. A C B ∀a ∈ A a ∈ B. A C B ∀b ∈ B b ∈ A.

A = B A C B B C A definizione di ' ' per gli insiemi.

Esempi numerici

• ℕ numeri naturali
• ℤ interi
• ℚ razionali
• ℝ reali
• ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

A = {a₁, a₂, ..., a_n} A = {x | P(x)} dove P(x) è una proprietà che li definisce.

Esempio: x ∈ ℕ | 2 divide x

Operazioni insiemistiche

• A, B insiemi
• A ∪ B = {a ∈ A . a ∈ B} unione
• A ∩ B = {x | x ∈ A . x ∈ B} intersezione
• A - B = {x | x ∈ A . x ∉ B} differenza
• A × B = {(a,b) | a ∈ A . b ∈ B} coppie ordinate

{⟨(1,3)), ⟨(3,-1))} l'ordine è importante

Funzioni o applicazioni

∀a ∈ A ∃b ∈ B: | b=f(a)

Def: Una applicazione è una forma di oggetti f: A → B dove A e B sono insiemi e f è una legge che assegna ad ogni elemento di A uno e un solo elemento. f(x) ∈ B.

A   ∈ ⇒ Dominio, B   ∈ ⇒ Condominio

id_A: A → A ∀x ∈ A . id_A(x)=x applicazione identica identità

Immagine e restrizioni

Se f: A → B Im f = {y ∈ B | ∃x ∈ A tale che f(x)=y} elementi di B che tramite applicazione provengono da A

Immagine = Im f = {Im} f: ℕ → ℕ x → 2x Im f ⇒ {pari} ⊆ ℕ contenuto propriamente

W ⊆ A f(W): {y ∈ B | ∃x ∈ W c.t. f(x)=y} Potremmo dire che y ha almeno un elemento &Largetest; x ∈ W

Restrizione di applicazione

f: A → B W ⊂ A f_|w restrizione di f a W f_|w: W → B ∀x ∈ W (f_|w)(x) = def f(x)

Implica definisco restrizione di funzione A → B** Im (f_|w) = f_im I.e. Z ⊂ B f^-1(Z) = {x ∈ A | f(x) ∈ Z} Deve esistere in A_u x la cui immagine ∈ Z

Applicazioni suriettive

Def: f: A → B si dice suriettiva se Im f = B (ie) Im f ⊆ B e B ⊆ Im f ∀y ∈ B ∃ x ∈ A t.c. f(x) = y equivadamente

Applicazioni iniettive

Def: f: A → B si dice iniettiva ∀x y ∈ A x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y)

Dimostrazione per assurdo x = y ⇒ implica stabile ipotesi di partenza (Ipotesi che non segue da funzione che assume f: A → B, implica falsa giustificazione)

Applicazioni biettive

Def: f si dice biettiva se e solo se è iniettiva e suriettiva ∀b ∈ B ∃! a ∈ A (il ruolo di dominio e codominio)

P_(•)(b) = f(a)_(•) Se f: A → B è biettiva f: B → A ∀ y ∈ B f^-1(y) = x t.c. f(x) = y

Se è solo biettiva l'unico α ∈ A t.c. f(A) = y