Parte 1, Geometria analitica e algebra lineare

Geometria Analitica e Algebra lineare

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dicitura

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poliscivibile

spazi curvico

Insiemistica

Quantificatori ∀ pe ogni - ∃ esiste

∈ appartiene

a = elemento A = insieme

Ø insieme vuoto

A ⊆ B    I ⊆ B

definizione di "⊆" pe gli insiemi

per esempio

ℕ numeri naturali

ℤ interi

ℚ razionali

ℝ reali

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

A = {a₁, a₂, ..., a_n}

A = {x | P(x)} dove P(x) é una proprietá che li definisce

esempio: x ∈ ℕ | 2 divide x

A, B insieme

A ∪ B = {α ∈ A, α ∈ B}

A ∪ B = {χ | χ ∈ A, χ ∈ B}

unione

A ∩ B = {χ | χ ∈ A, χ ∈ B}

intersezione

A - B = {χ | χ ∈ A, χ ∉ B}

indicata con ΔB

differenza

A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

prodotto cartesiano

coppie ordinate

N × N → {(1, 3)

(3, 1)

l'ordine è importante

Funzioni o applicazioni

∀ a ∈ A ∃! b ∈ B | b = f(a)

Def.: Una applicazione è una funzione di oggetti

f: A → B dove A e B sono insiemi e per una

legge che asse. se ad ogni elemento di A uno e un

solo elemento f(a) ∈ B

A → D dominio

B → C codominio

id_A: A → A

∀ x ∈ A → id_A(x)=x

applicazione identità identità

Se f: A → B

l'imm f:

{y ∈ B | ∃ x ∈ A tale che f(x) = y}

immagine

{elementi di B che tramite applicazione provengono da A}

f: ℕ → ℕ

x → 2x

l inf f, pari

C = ℕ

contenuto propriamente

f(W) = {y ∈ B | ∃ x ∈ W f.c. f(x) = y}

retired che y ad lui elemento ε W

l'imm f = f(A)

Def.

(A, +, ⋅) si dice campo se (A, +, ⋅) è anello commutativo ∀a ∈ A, a ≠ 0, ∃ a⁻¹ ∈ A t.c. a⋅b = b⋅a = 1

Es. (ℚ, +, ⋅) è un campo (ℝ, +, ⋅) 4 (ℤ, +, ⋅) non è un campo

Esercizio: se (A, +, ⋅) un anello Provare che:

1. ∀ a∈A a⋅0 = 0⋅a = 0
2. ∀ a∈A (−1)⋅a = −a

dim

1. a⋅0=a(0+0)=a⋅0+a⋅0 a⁻¹⋅0+a⋅0=0 basta sommare ad entrambi i membri: l’ultimo da: a⋅0
2. dobbiamo vedere che a+(−1)⋅a=0 a+(−1)a=1⋅a+(−1)⋅a=a(1+(−1))=a⋅0=0

Proprietà: Se (K, +, ⋅) è un campo ab = 0 a ≠ 0 ⟹ b = 0

dim: ∃a⁻¹ (perchè a ≠ 0), dunque ab = 0 ⟹ a⁻¹⋅ab = 0 ⟹ a⁻¹⋅a = 0

In un campo non esistono "divisori di 0"

X sia un insieme non vuoto

Sc(X) = {f: X → X | f biiettiva}

(Sc(X), o, e) è un gruppo non abeliano in generale

dunque: f: Sc(X) ∃ Id_X ∈ Sc(X)

(Sc(X), o) gode della proprietà associativa

f, g, h ∈ Sc(X) ⇒

(f o g)o h(x) = (f o g)(h(x)) ⇒ f(g(h(x)))=

= f((g o h)(x)) = (f o (g o h))(x)

e il neutro

(f o Id_X)(x) = (Id_X o f)(x) = Id_X è il neutro.

Inverso

Esistenza dell'inversa dato f ∈ Sc(X) ∃ g ∈ Sc(X) t.c.

f o g = g o f = Id_X

f suriettiva ⇒ ∃ g: X → X t.c. f o g = Id_X

g e iniettiva (se non lo fosse ci sarebbe 2 elementi

distinti mandati da g in

g(x) = g(x₁) ⇒ f(x) = f(x₁) ⇒ f(g(x)) = f(g(x))

g è suriettiva ∀ x ∈ X

f(g(f(x))) = (f o g)(f(x)) = f(x)

f(x) iniettiva ⇒ g(f(x)) = x

⇒ g suriettiva e g o f = Id_X

Il gruppo, in generale, non è abeliano

Sc(X) non è abeliano in generale

X = ℤ

f(x) = x + 1

g(x) = -x

(f o g)(x) = f(-x) = -x + 1, ∀ x ∈ ℤ

g(f(x)) = g(x + 1) = -(x+1), ∀ x ∈ ℤ

Se

Siano X un insieme, A, B sottinsiemi di X

• A^c = X \ A = {x ∈ X | x ∉ A}

Allora

• (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c
• (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

dimostrazione

• x ∈ (A ∪ B)^c ↔ x ∉ (A ∪ B)
• x ∉ A e x ∉ B
• x ∈ A^c e x ∈ B^c
• x ∈ A^c ∩ B^c

Ho dimostrato che (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

• x ∈ (A ∩ B)^c ↔ x ∉ (A ∩ B)
• x ∉ A o x ∉ B
• x ∈ A^c o x ∈ B^c
• x ∈ A^c ∪ B^c

Se f: X → Y

A, B sottinsiemi di X

A, B ⊆ X

C, D ⊆ Y

Si dica quale delle seguenti affermazioni sono vere

1. f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) Vera
2. f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) Falsa
3. f^-1(C ∪ D) = f^-1(C) ∪ f^-1(D) Vera
4. f^-1(C ∩ D) = f^-1(C) ∩ f^-1(D) False

|k[x]

+

|k x |k[x] → |k[x]

(α, ρ) → αρ

α ∈ |k[x]

ρ ∈ |k[x]

ρ(x) = ∑_i=0ⁿ a_ixⁱ

(αρ)(x) = ∑_i=0ⁿ (αa_i)xⁱ

Prodotto per scalari

1) ∀ α, β ∈ |k ∀ ρ ∈ |k[x]

(αβ)ρ = α(βρ)

2) ∀ α, β ∈ |k ∀ ρ ∈ |k[x]

(α + β)ρ = αρ + βρ

3) ∀ α ∈ |k ∀ ρ, φ ∈ |k

α(ρ + φ) = αρ + αφ

4) ∀ ρ ∈ |k[x] 1ρ = ρ

|k campo

m ∈ N

m > 1

|kⁿ = |k x ... x |k prodotto cartesiano di n-coppie

|kⁿ = {(x₁, x₂, ... , x_n) x_i ∈ |k i = 1 ... n} n-uple ordinate

Esempi:

1. V sp. vett., {0} e V sono sott. di V
2. D(n) S(n) A(n) T(n) sono sottospazi di M(n,n)
3. m ∈ ℕ K[x] = {P(x) ∈ K[x] | deg P(x) ≤ m} è sottospazio di K[x]
4. le rette per l'origine in ℝ² sono sottospazi di ℝ²
5. i piani per l'origine in ℝ³ sono sottospazi di ℝ³
6. Se {W_i}_i∈I è una famiglia di sott. di V, allora ⋂_⁢i∈I W_i è ss. di V

Def:

v₁,...,v_m ∈ V a₁,...,a_m ∈ K

vettore a₁v₁ + a₂v₂ + ...+a_mv_m ∈ V si chiama combinazione lineare dei v₁,...,v_m

Def:

S ⊆ V definiamo span(S) {def} :

    v ∈ V | ∃v₁,...,v_n ∈ S ∃a₁,...,a_m ∈ K per cui v = a₁v₁+ ...+a_mv_m

V = ℝ² S = {(1,1)} span(S) = {a(1,1) | a ∈ ℝ}

Se S = {v₁,...,v_p} span S = span (v₁,...,v_p)

Prop:

1. Span(S) è un ss di V
2. S ⊂ span(S)
3. Se W è un ss di V t.c. S ⊆ W ⇒ W = span(S)

(aluni=1) sono c=0 allora scrivere a₁,...a_m ≠ 0

    a₁v₁+ ...+a_mv_m + b₁t₁+ ...+b_kt_k

2) ∀ x ∈ S verifica ? S = 1 : 1.5

3) basta provare che Span(S) W in costruire v ∈ span(S)

    ∃v₁,...,v_n ∈ S³ a₁,...,a_m ∈ K t.c. V = a₁v₁ + ...+ a_mv_m

chiuso rispetto a somma e prodotto ⟹ v ∈ W ⊆ span(S)