Paniere Segnali e Sistemi - domande aperte

Esempio di frequenza relativa nella vita quotidiana

Si fornisca un esempio, trattato dalla vita quotidiana, di frequenza relativa. Un esempio pratico in cui si utilizza la frequenza relativa potrebbe essere un sondaggio. Per esempio, si chiede a 20 ragazzi la loro bevanda preferita tra acqua, aranciata, Coca-Cola e acqua tonica. Si possono suddividere i dati raccolti in classi che sono:

• Acqua: freq. Ass (2), freq. Relat. 2/20 = 0,1
• Aranciata: freq. Ass (6), freq. Relat. 6/20 = 0,3
• Coca-Cola: freq. Ass (8), freq. Relat. 8/20 = 0,4
• Acqua tonica: freq. Ass (4), freq. Relat. 4/20 = 0,2

La somma della frequenza relativa è 1.

Esperimento aleatorio e spazio campione

Scelto un esperimento aleatorio a piacere, definiamo lo spazio campione e disegniamo il diagramma di Venn per illustrare almeno 2 eventi.

Scatola con 10 palline

-> 8 blu e 2 rosse

-> Pesco due palline

Spazio campione -> S = { (B;B);(B;R);(R;R) }

Proprietà di unione e intersezione

Illustrare le proprietà di unione e intersezione di due sistemi.

Unione

Dati A e B, l’unione A ∪ B è l’insieme i cui elementi appartengono ad A o B o entrambi.

• Commutativa: A ∪ B = B ∪ A
• Associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• Distributiva: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

Intersezione

Dati A e B, l’intersezione A ∩ B è l’insieme i cui elementi appartengono sia ad A che a B.

• Commutativa: A ∩ B = B ∩ A
• Associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• Distributiva: (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

Definizione assiomatica di probabilità

La probabilità è una funzione reale definita sulla classe degli eventi (P: 𝒜 → ℝ) che soddisfa i seguenti assiomi:

• P(S) = 1 ∀ S ∈ 𝒜
• P(A) ≥ 0 ∀ A ∈ 𝒜
• Per ogni sequenza di eventi mutuamente esclusivi (cioè tali che A_i ∩ A_j = ∅ per i ≠ j), si ha P(∪ A_i) = Σ P(A_i)

Conseguenze degli assiomi e spiegazione intuitiva

Prima conseguenza

Data un evento A, si ha P(A) + P(A^c) = 1. Poiché S = A ∪ A^c, si ottiene facilmente P(S) = P(A) + P(A^c).

Seconda conseguenza

Dati due eventi A e B, si ha A ⊆ B implica P(A) ≤ P(B).

Terza conseguenza

Dati due eventi A e B, con P(A ∩ B) = 0, si ha P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Calcolo combinatorio

Si consideri l’esperimento di estrazione casuale di due palline da un’urna contenente 6 palline numerate. Utilizzando il calcolo combinatorio, le possibili combinazioni (non ordinate) di palline che si possono estrarre sono:

6! / (6-2)! * 1/2! = 6*5*4*3*2*1/4! * 1/2! = 15

Gioco della briscola

Si sta giocando a briscola. Vengono distribuite le carte in tavola ed esce l’asso di denari. Qual è la probabilità che un generico giocatore abbia 2 briscole servite alla prima mano?

Gioco del poker

Si sta giocando a poker con un mazzo di 52 carte (13 tipi di carte per ognuno dei 4 semi). Si motiva perché un poker batte una doppia coppia.

POKER (4 carte uguali e 1 diversa): T1; T1; T1; T1; T2. T1 può essere scelto tra 13 possibili valori mentre T2 tra 52-4=48 carte.

Doppia coppia (due carte dello stesso valore in combinazione con altre 2 carte con lo stesso valore più una casuale): T1; T1; T2; T2; T3. Il poker batte la doppia coppia perché il poker ha probabilità minore.

Effetto del condizionamento sulla probabilità

Spiegare quale sia l’effetto del condizionamento sulla probabilità di due generici eventi A e B. Per un fissato B, la probabilità condizionale definisce una vera e propria legge di probabilità su S. Pertanto, tutti i risultati e le proprietà validi per le probabilità valgono ugualmente anche per le probabilità condizionali.

Regola della catena

Enunciare e dimostrare la regola della catena: dati n eventi E₁, E₂, ..., E_n, vale la seguente relazione:

Dimostrazione: scrivendo il secondo membro utilizzando la probabilità condizionata. È immediato verificare che dopo le semplificazioni resta esattamente il primo membro.

Teorema della probabilità totale

Enunciare e dimostrare il teorema della probabilità totale. Sia {A_i, i ≥ 1} una partizione dello spazio campione S. Allora per ogni evento B vale:

Dimostrazione: l’idea è quella di decomporre B sulle caselle del "puzzle" che rappresenta la partizione.