Paniere Segnali e Sistemi - domande aperte

Classificazione delle variabili aleatorie sulla base della loro funzione di distribuzione cumulativa CDF

Dove ho denotato con X conrsivo il codominio della funzione X, ovvero l'insieme dei possibili valori assunti da X.

Una VA X è una funzione X:S→R che associa un numero reale x=X(r) a ciascun punto dello spazio campione r∈S. Inoltre, ogni intervallo di R è immagine, attraverso X, di un evento in S.

Sia data la variabile aleatoria X con la seguente funzione di distribuzione comulativa (CDF)...

Fornire una classificazione delle variabili aleatorie sulla base della loro funzione di distribuzione cumulativa CDF:

• Una variabile aleatoria si dice:
• - Continua se F(x) è continua per tutti i valori x ∈ R
• - Discreta se F(x) è costante a tratti
• - Mista se F(x) non è continua ma neanche costante a tratti

Enunciare e dimostrare le proprietà della funzione densità di probabilità (PDF) di una variabile aleatoria.

La funzione densità di probabilità PDF di una variabile aleatoria X è la derivata della CDF F(x).

Essendo f(x) una funzione non decrescente, essa non può essere negativa². La CDF è una primitiva della PDF. Di conseguenza, essendo la PDF la derivata della CDF, si ha: Fissati x₂=x e x₁=-∞ ed essendo F(-∞) = 0, si ottiene il risultato desiderato.³ Normalizzazione: Dalla seconda proprietà, fissato x=∞, si ottiene il risultato F(∞)=1⁴. Date x₁=exp(1) e x₂=exp(2) con rispettive funzioni di densità di probabilità (PDF) …, spiegare se tale funzione è una PDF corretta o meno. Esempio degli esempi di variabili aleatorie discrete. Per ognuna di esse, disegnare la funzione massa di probabilità (PMF). Utilizzando le delta di Dirac, la PDF di una variabile aleatoria discreta può essere scritta come: In questo caso si può limitare la definizione di X ai soli punti {X₁} in cui si concentra la massa di probabilità. Si ottiene quindi un equivalente spazio campione discreto S’={x₁,x₂…} con probabilità. Definire e fornire unvariabile aleatoria indicatore di un evento. Il teorema fondamentale per le trasformazioni di variabili aleatorie afferma che se X è una variabile aleatoria con densità di probabilità fX(x) e g(x) è una funzione continua e invertibile, allora la variabile aleatoria Y=g(X) ha una densità di probabilità fY(y) data da: fY(y) = fX(g^(-1)(y)) * |(dg^(-1)(y))/dy| dove g^(-1)(y) è la funzione inversa di g(x) e |(dg^(-1)(y))/dy| è il valore assoluto del rapporto tra la derivata di g^(-1)(y) rispetto a y. Il primo punto del teorema afferma che per ogni valore di y che non è soluzione di y=g(x), cioè fuori dal codominio di g(x), la densità di probabilità di Y è zero, fy(y)=0. Il secondo punto del teorema afferma che se g(x) ha tratti orizzontali, allora Y può avere delle delta di Dirac in corrispondenza di questi tratti. Ciò significa che la densità di probabilità di Y può essere diversa da zero solo in corrispondenza di questi punti. Il terzo punto del teorema afferma che per ogni valore di y nel codominio di g(x) che non è orizzontale, la densità di probabilità di Y è data dalla somma delle densità di probabilità di X valutate nei punti x1, ..., xN che sono soluzioni di y=g(x). Per calcolare il valor medio della variabile aleatoria indicatore di un evento, si utilizza la formula: E[I_A] = P(A) dove I_A è la variabile aleatoria indicatore dell'evento A e P(A) è la probabilità dell'evento A. Questa formula si basa sul fatto che la variabile aleatoria indicatore assume valore 1 se l'evento A si verifica e valore 0 altrimenti.variabile aleatoria.
Date due VA Y=g(X) e Z=h(X), entrambe funzione di X, allora per ogni possibile coppia di valori reali (c,d) si ha
Si definisca il momento di ordine n di una variabile aleatoria X.
Data una VA X, si definisce momento di ordine n della VA la quantità (con n intero positivo)
L'uguaglianza è dovuta al teorema dell'aspettazione.
Enunciare e commentare la disuguaglianza di Chebychev.
Enunciare e commentare il teorema della probabilità totale per variabili aleatorie.
Definire la funzione di distribuzione cumulativa (CDF) congiunta di una coppia di variabili aleatorie continue.
Date le variabili aleatorie X e Y costruite su uno stesso spazio di probabilità (Ω, S, P), la loro CDF congiunta è
La CDF congiunta è chiaramente una funzione reale di due variabili reali a valori [0,1]. Essendo una funzione di due variabili, essa risulta più difficile da interpretare e manipolare matematicamente rispetto alla CDF Fx(x) ed Fy(y).

Considerino due variabili casuali X e Y con la seguente funzione densità di probabilità PDF congiunta. Det. La PDF marginale fY(y).

Dimostrare che se due variabili aleatorie X e Y sono indipendenti, allora per qualsiasi coppia di funzioni g(.) e h(.), la variabile aleatoria Z=G(x) e W …..

Dimostrare il teorema della media condizionata nel caso di X continua e Y discreta.

Enunciare e dimostrare la formula di Bayes per coppie di variabili aleatorie continue.

Definire il concetto di MEDIA CAMPIONE e spiegarne un possibile utilizzo applicativo.

Discutere attraverso l'utilizzo di un esempio illustrativo la relazione tra indipendenza e incorrelazione di due variabili aleatorie.

Enunciare la legge dei grandi numeri e darne un'interpretazione.

Partendo dalla definizione di covarianza di due variabili aleatorie, discutere il concetto di diagramma di dispersione.

Supponiamo di effettuare n volte un esperimento con spazio campione S e di ottenere le uscite r1, r2, … ru € S. Definiamo

due VA X e Y, tali per cui ogni ri corrisponde ad una coppia come coordinate di (X(ri), Y(ri)). Se consideriamo queste coppie come coordinate di punti, otteniamo una "nuvola" di punti maggiormente concentrata dove la PDF congiunta f XY(x,y) è più elevata. Tale grafico è noto come diagramma di dispersione. Dovete aprire una porta e ci sono 5 chiavi, di cui solo una è quella effettivamente funzionante. Scegliete a caso una chiave e la provate:... qual è il numero medio di tentativi che dovete fare? Si considerino una variabile aleatoria VA X unif [0,1] e la trasformazione g(x)... Venite chiusi in una stanza e vi vengono date n chiavi (n>1). Solamente una di queste chiavi apre la porta... Definire Energia e POTENZA di un SEGNALE Definire la serie di FOURIER per un generico segnale x(t) Definire i segnali GRADINO e IMPULSO e discuterne le relazioni reciproche. Illustrare le principali operazioni sui segnali: scalatura, ritardo e

finestratura.RITARDO : se un generico segnale x(t) viene traslato rigidamente nel tempo a destra di Ts, si dice che viene ritardato di Ts e viene indicato x(t-T)

SCALATURA: un segnale continuo x(t) può essere dilatato o contratto linearmente nel tempo, ottenendo x(at). Queste operazioni sono dette scalatura ed il segnale x(at) risulta contratto o dilatato a seconda che il valore di a sia maggiore o minore di 1.

FINESTRATURA: con il termine finestratura di un segnale continuo x(t) si intende la moltiplicazione di x(t) per un altro segnale w(t), detto finestra.

Enunciare le pricipali proprietà di un sistema.

Casuale: un sistema è casuale se l'uscita dipende dall'ingresso passato ed attuale, ma non da quello futuro.

Anticasuale: un sistema è anticasuale se l'uscita dipende solo dall'ingresso futuro.

Lineare: un sistema si dice lineare se l'uscita in corrispondenza di una combinazione lineare degli ingressi è la stessa combinazione.

della potenza di un segnale.discreto x[n] al tempo nT, dove T è il periodo di campionamento. La trasformata di Fourier (DFT) di una sequenza x[n] è una trasformata che permette di rappresentare la sequenza nel dominio delle frequenze. Essa fornisce informazioni sulle componenti di frequenza presenti nella sequenza. La DFT è una versione discreta della trasformata di Fourier (DTFT), che è utilizzata per segnali a tempo continuo. Il teorema del campionamento afferma che un segnale a tempo continuo può essere rappresentato in modo univoco da una sequenza di campioni se la frequenza di campionamento è almeno il doppio della massima frequenza presente nel segnale. Questo è noto come criterio di Nyquist-Shannon. Il problema dell'aliasing in frequenza si verifica quando la frequenza di campionamento è inferiore al doppio della massima frequenza presente nel segnale. In questo caso, si verificano sovrapposizioni di frequenze e il segnale campionato non può essere ricostruito correttamente. In sintesi, un sistema lineare tempo-invariante (LTI) ha le seguenti proprietà rispetto alla sua risposta in frequenza: - La risposta in frequenza di un sistema LTI è la trasformata di Fourier della sua risposta all'impulso. - La risposta in frequenza di un sistema LTI può essere utilizzata per analizzare le componenti di frequenza presenti nel segnale in ingresso. - Il teorema del campionamento stabilisce le condizioni necessarie per campionare correttamente un segnale a tempo continuo. - L'aliasing in frequenza è un problema che si verifica quando la frequenza di campionamento è insufficiente per rappresentare correttamente il segnale.

continuo all'istante nT: x[n] = x(nT)

Se la condizione di Nyquist non è rispettata, le repliche spettrali si sovrappongono - fenomeno detto di aliasing

Si può inserire un filtro anti-alias prima del campionamento (che elimina le frequenze f > fs/2)

Si discuta il campionamento effettuato mediante circuiti SAMPLE and HOLD