Paniere svolto di Segnali e sistemi (2025) - Risposte aperte

DOMANDE APERTE SEGNALI E SISTEMI

LEZIONE 02

DOMANDA 04-Si fornisca un esempio, tratto dalla vita quotidiana, di frequenza

relativa. Si descriva un esempio differente dal lancio del dado e della moneta

Nella tabella seguente sono elencate età di un gruppo di amici: 15, 15,16, 17, 15, 16, 15, 14, 15, 16.

Età Freq. Assoluta Freq relativa

14 anni 1 1:10=0,1

15 anni 5 5:10=0,5

16 anni 3 3:10=0,3

17 anni 1 1:10=0,1

Totali 10 1 LEZIONE 03

DOMANDA 04-Scelto un esperimento aleatorio a piacere, definire lo spazio

campione, disegnare il diagramma di Venn ed illustrare almeno due eventi

Prendiamo come esempio il lancio dei dadi, un esempio di evento è dato dal risultato dispari. I risultati

r1,r3,r5 si dicono favorevoli all’evento. Il diagramma di Venn risulterà il seguente

Prendiamo come secondo esempio il caso in cui l’esempio di evento è dato dal risultato pari. I risultati

r2,r4,r6, si dicono favorevoli all’evento. Il diagramma di Venn risulterà il seguente

LEZIONE 04

DOMANDA 04- Illustrare le proprietà di unione ed intersezione di due insiemi

Proprietà di unione e intersezione:

• ∪ = ∪ ⇒ =

Commutativa:

• (

∪ ) ∪ = ∪ ∪ ) ⇒ () = ()

Associativa:(

• ( () () () (

∪ ) = ∪ ⇒ ∪ = ∪ )( ∪ )

Distributiva

Se prendiamo in considerazione due insiemi A e B, possiamo ottenere l’unione di A e B: ovvero

quell’insieme i cui elementi appartengono ad A o B oppure ad entrambi. Possiamo ottenere

l’intersezione di A e B: ovvero quell’insieme i cui elementi appartengono sia ad A che a B. in fine,

possiamo ottenere gli insiemi disgiunti: ad intersezione nulla. Sugli insiemi ricadono tre importanti

proprietà inerenti l’unione e l’intersezione. Il simbolo di intersezione può essere omesso, mentre il

simbolo dell’unione può essere sostituito, se si preferisce, dal simbolo +.

1

LEZIONE 05

DOMANDA 01-Enunciare la definizione assiomatica di probabilità

→ ℝ) che soddisfa i seguenti assiomi:

La probabilità: funzione reale definita sulla classe degli eventi (:

()= () ≥ 0 ∀ ∈ , , … , ∈

1; per ogni sequenza di eventi mutuamente esclusivi (cioè

1 2,

= ∅ ≠ )

tali che se si ha:

( )

(⋃ ) = ∑

=1

=1

LEZIONE 06

DOMANDA 06-Enunciare le tre conseguenze degli assiomi e darne una

spiegazione intuitiva utilizzando i diagrammi di Venn

–

. ∪

1° conseguenza degli assiomi: data , si ha = 1 Dimostrazione: poiché S = si ottiene

=1 −()=0.

1 = = ∪ = () + ( ). ∅ ,allora (∅)

facilmente Essendo = 2° conseguenza

−

( ∪) () () (B).

degli assiomi: dati due eventi A e B, si ha = + Dimostrazione intuitiva:

≥ 0, ≤

(∪) ()+ ().

essendo per definizione P(AB) si ottiene la diseguaglianza di Boole

Generalizzando (Union Bound) ( )

(⋃ ) ≤ ∑

=1

=1 ⊂ ,

Terza conseguenza degli assiomi: dati due eventi A e B, con si ha

≤

() ()

Dimostrazione intuitiva: gli assiomi, una dimostrazione intuitiva può essere fornita osservando il diagramma

di Venn.

Considerando l’analogia tra la misura probabilità e peso, il peso dell’evento A non può essere maggiore del

peso dell’evento B, essendo in esso contenuto. ≤

⊂ , () ().

Dati due eventi A e B, con si ha

Dimostrazione rigorosa

➢ B

La dimostrazione risulta banale osservando che =

➢ () = () + ( )

➢ ( ) ≥ 0

Essendo per definizione

➢ () ≥ ()

Ne segue LEZIONE 07

DOMANDA 04-Si consideri l'esperimento di estrazione casuale di due palline da un'urna

contenente 6 palline numerate. Utilizzando il calcolo combinatorio, spiegare quante sono le

possibili combinazioni (non ordinate) di palline che si possono estrarre

n k

è 6 (il numero totale di palline) e è 2 (il numero di palline che sto estraendo).

! ! ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

(, ) = ∗ ≜ = ∗ = ∗ = =

( ( )

− ) − ! ∗∗∗

2

LEZIONE 8

DOMANDA 07- Si sta giocando a briscola. Vengono distribuite le carte ed in tavola

esce l’asso di denari. Qual è la probabilità che un generico giocatore abbia 2

briscole servite alla prima mano?

9 8 30 9 30 8 30 9 8 9 8 7

() = ∗ ∗ + ∗ ∗ + ∗ ∗ + ∗ ∗ = 0,17

39 38 37 39 38 37 39 38 37 39 38 37

Domanda 08- Si sta giocando a poker con un mazzo di 52 carte (13 tipi di carte

per ognuno dei 4 semi). Si motivi perché un poker batte una doppia coppia.

, ; ; ;

Poker (4 carte uguali e una diversa) 1 1 1 1 2

, può essere scelto tra 13 possibili valori, mentre T_2 tra le rimanenti 52-4=48 carte

1 48

13 ∗ ( )

1 −4

{} = ≃ 2 ∗ 4 ∗ 10

52

( )

5

Doppia coppia

{2 ù }

, ; ; ;

1 1 2 2 3 48 4

13 ∗ 12 ( ) ( )

1 2

= 52

( )

5

Poiché un poker è molto più raro di una doppia coppia, un poker batte una doppia coppia nel gioco

del poker. LEZIONE 09

DOMANDA 04- Spiegare quale sia l'effetto del condizionamento sulla probabilità

di due generici eventi A e B

Eseguito il primo esperimento, si ottiene l’informazione parziale “si è verificato M”. L’originaria

(∙) (.|)

funzione di probabilità (detta a priori), diventa una nuova funzione (detta a posteriori).

La probabilità di ogni evento disgiunto da (esterno a) M, avrà probabilità nulla

(|) = = ∅

Per ogni coppia di eventi A e B in M, si ha

() ()

(|) = ≥ () (|) = ≥ ()

() ()

sono non minori di quelle a priori. L’osservazione parziale di M,

Cioè le probabilità a posteriori

mantiene inalterate le proporzioni degli eventi in M:

(|) ()

=

(|) ()

= ∪

Per ogni evento A, si ha: . Da cui

3

(|) = (

⏟ |) + (

⏟ |)

⊂ =0

La parte di A inclusa in M ha probabilità “riscalata” e la parte esterna ha probabilità nulla

3

LEZIONE 10

DOMANDA 04-Enunciare e dimostrare la regola della catena

, , … ,

Enunciato: dati n eventi 1 2

) )( | )( | ) | )

( , , … , = ( … ( …

1 2 1 2 1 3 1 2 1 −1

Dimostrazione: scrivendo il secondo membro utilizzando la probabilità condizionata

) ) )

( ( ( …

1 2 1 2 3 1 2

)

( ∗ ∗ ∗ …∗

1 ) ) )

( ( ( …

1 1 2 1 2 −1

Dove, con le semplificazioni, resta soltanto il primo membro

LEZIONE 11

DOMANDA 05 Enunciare e dimostrare il teorema della probabilità totale

{ , ≥ 1}

Sia una partizione dello spazio campione S

∞

(⋃ )

= = ∅ ≠

=1

Allora per ogni evento B vale: ∞ ∞

( ) (| )(

() = ∑ = ∑ )

=1 =1

Dimostrazione: decomponiamo B sulla partizione:

∞ ∞

(⋃ ) (⋃ )

= = =

=1 =1

Applicando la probabilità a entrambi I membri

∞ ∞ ∞

3 ( ) (| )(

(⋃ )

() = = ∑ = ∑ )

=1 =1

=1

Si applica a catene di esperimenti, la partizione rappresenta le realizzazioni del primo esperimento

LEZIONE 12

DOMANDA 04- Descrivere e dare una definizione formale del concetto di

indipendenza tra un numero generico n di eventi.

Nella teoria della probabilità, due eventi si dicono indipendenti se la probabilità che si verifichi uno

non influisce sulla probabilità che si verifichi l’altro. Gli eventi E1, E2, ..., En si dicono indipendenti

se, per ogni sottogruppo di eventi, la probabilità dell’intersezione di questi eventi è uguale al prodotto

delle singole probabilità degli eventi in quel sottogruppo. Formalmente, non basta verificare

l’indipendenza a coppie, ma bisogna controllare che questo sia vero per ogni sottoinsieme di indici.

4

LEZIONE 13

DOMANDA 04-Descrivere il metodo di calcolo della probabilità che in n prove

indipendenti con singola probabilità di successo p ci sia almeno un successo.

La probabilità di avere almeno un successo in n prove indipendenti, ognuna con una probabilità di

successo p, può essere calcolata utilizzando il complemento della probabilità di non avere successi.

(1 − )

La probabilità di non avere successi in n prove è data da , dove (1-p) è la probabilità di

fallimento di una singola prova e n è il numero di prove. Elevando (1-p) alla potenza n, otteniamo la

probabilità di fallimento in tutte le n prove:

(1

( ≥ 1) = 1 − ( = 0) = 1 − − )

LEZIONE 14

DOMANDA 04- Descrivere il concetto di spazio campione uniforme continuo

Gli sp