Paniere di Segnali e sistemi (2025) - Risposte multiple

INGEGNERIA INFORMATICA E DELL'AUTOMAZIONE (D.M. 270/04)

Docente: Callegari Christian

Lezione 011

01. La probabilità relativa alla scelta dell'urna è P(u)=1/3.

La probabilità di pescare una pallina rossa nella prima urna è P(r1)=3/5; la probabilità di pescare

una pallina rossa nella seconda urna è P(r2)=2/5; la probabilità di pescare una pallina rossa nella

terza urna è P(r3)=0/5.

Di conseguenza, la probabilità complessiva di estrarre una pallina rossa è data da:

P(r)=[P(r1)xP(u)]+[P(r2)xP(u)]+[P(r3)xP(u)]=(1/5)+(2/15)+0=5/15=1/3

02. La probabilità che il pesce sia un delfino è P(A)=0.9.

La probabilità dell'evento condizionante, nonché il riflesso della luce solare, è pari a P(M)=0.7.

Tramite il teorema della probabilità totale: P(A)=P(A|M)P(M)=[P(AM)/P(M)]P(M)=P(AM)=0.9x0.7=0.63

03. Conoscendo le rispettive probabilità del maggiordomo e della cameriera, la probabilità che il colpevole

sia uno dei due è pari alla somma P(E)=P(m)+P(c)=0.6+0.2=0.8. Sapendo che la somma delle

probabilità di eventi mutuamente esclusivi è pari ad 1, allora l'evento complementare (ovvero la

probabilità che non sia stato né il maggiordomo né la cameriera) è dato da P(Ec)=1-P(E)=1-0.8=0.2

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Set Domande: SEGNALI E SISTEMI

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Docente: Callegari Christian

04. E' intuitivo comprendere che, a prescindere da quali palline siano distribuite nelle scatole, la divisione

avviene rispetto ad una equiprobabilità su 2 possibili casi (pallina bianca o pallina nera).

Tramite calcolo combinatorio:

-la probabilità relativa alla scelta della scatola è pari a Ps=1/2

-la probabilità relativa alla distribuzione delle 50 palline nelle scatole è Pn=Pb=1/2 (poiché divise in 25 e 25)

Dunque: P=(Ps*Pn)+(Ps*Pb)=(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)=(1/4)+(1/4)=1/2

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Docente: Callegari Christian

Lezione 012

01.

02. La probabilità che esca la faccia numero 2 sul dado equivale a P(A)=1/6.

La probabilità che escano due teste su quattro monete è data dalla distribuzione binomiale (con m

successi su n prove):

P(B) = C x [P(B)]^m x [P(Bc)]^(n-m) = D{4,2} x (1/2)^2 x (1/2)^2 = 6 x (1/4) x (1/4) = 3/8

Si ricava dunque, dalla def. di indipendenza tra eventi: P(AB)=P(A)P(B)=(1/6)x(3/8)=3/48=1/16

03. Si può considerare il complementare, osservando che l'evento "nessuna testa" su 5 lanci è dato

da: P(Ec)=(1/2)^5=1/32.

Di conseguenza, la probabilità dell'evento sarà pari a P(E)=1-P(Ec)=1-(1/32)=31/32

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Docente: Callegari Christian

Lezione 013

01. Intuitivamente si può considerare che, essendo 6 chiavi già state provate, il restante numero di chiavi è

54. Di queste, 14 sono quelle rimanenti nel mazzo scelto e 40 quelle negli altri due mazzi. Di

conseguenza la probabilità che tale chiave NON sia nel mazzo scelto è di P=40/54=20/27.

Chiaramente si giunge allo stesso risultato sfruttando la probabilità condizionata, per cui

P(M|i)=40/(60-i) con i=1,...,20 (fino a 6 in questo caso, come le chiavi già provate)

02. La probabilità di estrarre ALMENO tre palline rosse è dipesa dalla possibilità di averne (tra le 5 palline estratte) 3 rosse e

2 bianche, 4 rosse e 1 bianca, oppure 5 rosse. Ciò significa che:

P(3)=10 x [(20/70)*(19/69)*(18/68)*(50/67)*(49/66)]=0.1153

P(4)=5 x [(20/70)*(19/69)*(18/68)*(17/67)*(50/66)]=0.02

P(5)=[(20/70)*(19/69)*(18/68)*(17/67)*(16/66)]=0.00128

Dunque la probabilità totale è data dalla somma delle tre: P(E)=P(3)+P(4)+P(5)=0.136

Equivalentemente si può svolgere sfruttando le combinazioni, e quindi i binomiali:

C=D{70,5}=12103014; P(3)=D{20,3}xD{50,2}=1140x1225=1396500; P(4)=D{20,4}xD{50,1}=4845x50=242250;

P(5)=D{20,5}=15504

Quindi, in definitiva: P(E)=[P(3)+P(4)+P(5)]/C=0.136

03. La possibilità di risposta esatta su 4 possibili risposte è di 1/4, da cui il complementare (risposta

errata) è di 3/4.

Essendo eventi disgiunti, la probabilità di ricevere 18 come votazione è calcolata tramite la

distribuzione binomiale:

P=D{30,18} x (1/4)^18 x (3/4)^12= 4x(10)^-5

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Lezione 014

01. La probabilità che il punto ricada nel cerchio più piccolo pari a 0.25 implica che il complementare sia pari

a 0.75. Dunque, poiché P(C)=3xP(c), il raggio R è 3 volte maggiore di r. Difatti: r=R/2 ---> R=3*r

02. P=misura(segmento)/misura(intervallo)

03. La lunghezza coperta dal portiere senza tuffarsi in anticipo, arrivando a mezzo metro dal palo, è pari a

l=7.32-(0.5x2)=6.32m

Di conseguenza, la probabilità di parare il rigore sarà data dal rapporto tra tale valore e la lunghezza

complessiva della porta, ovvero: P=6.32/7.32=0.863

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Docente: Callegari Christian

Lezione 015

01. La probabilità coincide con l'integrale della f(x) dx rispetto all'intervallo [a,b]=[3,5] in questo caso

02. Poiché la funzione gradino unitario è pari a 1 se x>=0 o 0 se x<0, in questo caso quando:

t=0 --> f(t)=1 visto e^(-t)=1 <--> A=1

03. Integrando i valori rispetto agli intervalli in cui assumono tali valori ci

accorgiamo che sono tutti unitari, infatti:

- integrale tra 2 e 1 di [dx]=2-1=1

-integrale tra 1 e 0 di [dx]=1-0=1

-integrale tra 2 e 0 di [(1/2)*dx]=2/2=0

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Lezione 016

01. Tramite proprietà della delta di Dirac (la quale possiede area unitaria), si riduce l'integrale

considerando solo il membro sin(2t). La sua primitiva sarà dunque [-cos(2t)]/2 che, calcolato

tra TT e -TT, ha valore 0=cos(TT/2)

02.

03. La funzione delta è la derivata della funzione gradino

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Docente: Callegari Christian

Lezione 017

01. Formula: D{n,m}*(p)^m*[1-p]^(n-m)=D{3,1}*p^1*[1-p]^(3-1)=3p(1-p)^2

cioè la probabilità di ottenere m successi su n prove (rispetto al complementare sugli n-m tentativi)

02. P(X<x)=P(x-)=F(x-)=F(x=0)=p

03. Le V.A. sono funzioni F: S->R cioè con dominio S e codominio R

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Lezione 018

01. La probabilità di avere su due estrazioni meno di due palline bianche è data dalla probabilità di

estrarne 1 oppure 0, in quanto nel sacchetto sono presenti 3 palline bianche.

La prima possibilità ha probabilità pari a: P(X=1)=(3/8)x(5/7)=30/56

La seconda invece: P(X=0)=(5/8)x(4/7)=20/56

Dunque P(X<2)=P(X=1)+P(X=0)=50/56=25/28

02.

03. F(x)=P(X<1/2)=P(X>=0) U P(X<1/2)=F(0)+F(1/2)=0+(1/2)^2=1/4

Si dovrebbe considerare l'integrale fra 0 e 1/2 di [x^2 dx], per cui: P=1/24

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Lezione 019

01. Per essere valida, una CDF deve soddisfare le proprietà per cui:

-NON decrescente, cioè F(x1)<=F(x2) se x1<=x2

-limitata, cioè 0<=F(x)<=1

-continua da destra, cioè lim(x->c+) F(x)=F(c)

02. Poiché gli eventi sono equiprobabili, si può dire che: P(X=x)=P(X=1)+...+P(X=N).

Considerando il complementare, sappiamo che P(X>x)=1-P(x<=X)=1-(1/N)=(N-1)/N

Si può dunque ricavare che: x/N=(N-1)/N ---> x=N-1

03. Una VA discreta è graficamente costante a tratti

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Lezione 020

01.

02. Una PDF valida deve verificare le proprietà per cui:

-NON negativa, cioè f(x)>=0

-normalizzazione, cioè l'integrale tra -inf e inf di [f(x) dx] converge al valore 1 su tutto il dominio

Verificando la proprietà di normalizzazione:

l'integrale tra meno infinito e più infinito di e^(-|x|), scomposto in una somma di due integrali di

e^(-x) calcolati tra -inf/0 e 0/+inf, è pari a 1+1=2. Di conseguenza c'è bisogno di una costante di

moltiplicazione 1/2 per far sì che tale integrale sia unitario.

03. La prima funzione assume valore 1 per x-1>=0 (cioè x>=1) e valore 0 per x-1<0 (cioè x<1), e la proprietà di

normalizzazione NON è verificata.

La seconda funzione assume valori opposti alla precedente, cioè 1 per x<=1 e 0 per x>1, ed anche il suo

integrale sull'asse reale NON è unitario, quindi NON vale la normalizzazione.

La terza funzione assume valore 1 per x<0 e 0 per x>=0, con proprietà di normalizzazione verificata.

La quarta funzione assume valore 1 per x>=0 e 0 per x<0, tuttavia anch'essa NON soddisfa la proprietà di

normalizzazione.

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Docente: Callegari Christian

Lezione 021

01. F(