Paniere misure meccaniche e termiche - domande aperte

Risposte aperte paniere MMET

Pag. 9 N° 09 (Lez. 4)

Descrivere e riportare un grafico nel dominio del tempo di un segnale periodico, di

un segnale transitorio e di un segnale casuale

1) Segnale periodico

Un segnale periodico è un particolare tipo di segnale deterministico che si manifesta

identico dopo ogni intervallo di tempo T= 1/f detto periodo (dove f è la frequenza). Un

esempio di segnale periodico è il segnale sinusoidale esprimibile mediante la seguente

espressione analitica:

x(t)= A*sen(ωt+α)= A*sen(2πft+α).

I principali parametri che la costituiscono sono i seguenti:

- il periodo T [s] nel quale la funzione assume tutti i suoi possibili valori;

- la frequenza f= 1/T [Hz] che indica il numero di periodi al secondo;

- il valore massimo A assunto dalla grandezza (Ampiezza dell’onda sinusoidale);

il valore efficace RMS (Root Mean Square) A = A =A/√2;

- eff RMS

- la pulsazione ω= 2πf [rad/s] che indica la velocità angolare del vettore corrispondente alla

grandezza sinusoidale;

l’angolo di fase α [rad] che indica l’angolo iniziale di fase all’istante t = 0.

- 0

2) Segnale transitorio

Un segnale transitorio è un particolare tipo di segnale deterministico che si manifesta in un

certo intervallo di tempo limitato, passato il quale si esaurisce. Un esempio di segnale

transitorio è il segnale impulsivo Delta di Dirac: 1

3) Segnale casuale

Un segnale casuale o stocastico od aleatorio è un segnale che non può essere definito

analiticamente in modo deterministico ma può soltanto essere previsto per mezzo della

statistica/probabilità, in termini della sua evoluzione, basandosi sulla sua evoluzione

passata.

Un esempio di segnale aleatorio stazionario (ovvero le cui caratteristiche statistiche come

media e varianza non variano nel tempo) è il rumore generato dalla pioggia: 2

Pag. 11 N° 09 (Lez. 5)

Descrivere i principali descrittori statistici dei segnali nel dominio del tempo (valor

medio, RMS, funzione di distribuzione dell'ampiezza)

Valor medio V : Il valor medio di un segnale equivale alla somma dei valori assunti dal

m

segnale su tutto il tempo di acquisizione, ovvero in termini matematici equivale al

seguente limite: T

1 (t)

q dt

(t)

V = q- = lim

m l i

T

T→ oo o

Valore efficace V o valore RMS V (Root Mean Square= Radice Quadratica Media): Il

eff RMS

valore efficace RMS di un segnale è il valore che avrebbe un segnale costante di pari

potenza media. In termini analitici equivale alla radice quadrata del valor medio del

quadrato del segnale, ossia: T

1

2 (q 2

(t)) dt

= q- (t) = lim

V = V = q (t)

eff RMS i RMS l i

T

T→ oo o

Funzione distribuzione dell’ampiezza W(q ) (o Funzione Densità di Probabilità FDP): La

i

Funzione Densità di Probabilità FDP descrive la probabilità che una certa variabile

d’ingresso q (t) assuma un valore all’interno di un intervallo Δq (t), ovvero in termini

i i

matematici: ∑ ∆t i

lim

]

P[q , q + ∆q T

(q )

FDP = W = lim il il i T→ o o

l i = lim

∆q ∆q

∆q →o ∆q →o

i i

i i

Dove rappresenta il tempo totale in cui q (t) si trova nella banda Δq durante

∑ ∆t i i

i

l’intervallo di tempo T.

La probabilità dunque che q (t) cada tra q e q varrà dunque:

i i1 i2

q i2 (q )

p = W dq

l i i

q il 3

Pag. 11 N° 10 (Lez. 5)

Descrivere la funzione di autocorrelazione e disegnarne il grafico

La funzione di autocorrelazione R(τ) di un segnale fornisce una misura di quanto un segnale

si assomigli con se stesso dopo un tempo τ. In altre parole il segnale all'istante t viene

confrontato con un altro valore dello stesso segnale ritardato di una quantità τ (senza tale

ritardo il segnale è logicamente uguale) per verificare quanto si somigli (più precisamente

quanto si correli) all'avanzare del tempo. Possiamo dedurre che se un segnale varia

lentamente nel tempo, il valore degli istanti x(t) e x(t+τ) sarà pressoché simile

(l'autocorrelazione avrà segno positivo), mentre se varia rapidamente, il valore in tali

istanti sarà molto diverso e l'autocorrelazione assume un valore prossimo allo zero. In

termini matematici si può dunque scrivere che:

T

1 (t) (t

R(τ) = lim q ∗ q + τ) dt

i i

T

T→ oo o

Tale funzione è una funzione pari e ci permette quindi di valutare la periodicità e

pseudoperiodicità di un segnale. 4

Pag. 13 N° 10 (Lez. 6)

Rappresentare graficamente un segnale sinusoidale nel dominio del tempo e nel

dominio della frequenza riportandone ampiezza e fase

Dato ad esempio il segnale in tensione sinusoidale:

v(t)= A*sen(ω t)= A*sen(2πf t)= 2*sen(2π20t)

0 0 2

di ampiezza A= 2V, frequenza fondamentale f = 20Hz, pulsazione fondamentale ω = πf t e

0 0 0

periodo T= 1/f = 1/20= 0,05s, esso è rappresentabile nel dominio del tempo come segue:

0

E dunque nel dominio della frequenza, in termini di ampiezza e fase, come di seguito:

da cui si può notare che i grafici costano di un

picco di ampiezza 2V alla frequenza di 20Hz ed un

picco di ampiezza π/2rad alla stessa frequenza,

rispettivamente per il grafico dell’ampiezza e della

fase. 5

Pag. 14 N° 07 (Lez. 7)

Descrivere il fenomeno del campionamento del segnale, il teorema del

campionamento e il problema dell'aliasing che si genera se il teorema non viene

rispettato

Il campionamento è una tecnica utilizzata per convertire un segnale x(t) continuo nel

tempo in un segnale discreto x[n], valutandone l'ampiezza ad intervalli temporali

equispaziati.

Supponiamo ad esempio di voler digitalizzare il seguente segnale sinusoidale:

v(t)= A*sen(ω t)= A*sen(2πf t)= 2*sen(2π20t)

0 0

di ampiezza A= 2V e frequenza fondamentale f = 20Hz.

0

Campionandolo ad una determinata frequenza f di campionamento per un tempo di

C

acquisizione T , si otterrà quindi una sequenza v[n] costituita da N= f *T = T /t

acq C acq acq C

campioni equispaziati temporalmente di un tempo t = 1/f detto di campionamento.

C C

La risoluzione in frequenza di tale processo di campionamento sarà inoltre Δf= 1/T = f /N.

acq C

Ma tale sequenza discreta x[n] sarà utile a ricostruire il segnale tempo-continuo v(t)?

La sequenza x[n] sarà utile solo se la scelta della frequenza di campionamento f soddisfa il

C

teorema del campionamento, ossia:

il teorema del campionamento di Shannon-Nyquist afferma che un segnale

tempo-continuo x(t) può essere ricostruito esattamente dalla sequenza x[n] dei suoi

campioni se la frequenza di campionamento f è maggiore del doppio della frequenza

C

massima f del segnale x(t), ossia:

MAX

> < /2=

f 2*f od analogamente f f f

C MAX MAX C Ny

dove è detta frequenza di Nyquist.

f

Ny

Per cui nel nostro caso, se scegliessimo f > 2*f = 2*20= 40Hz, il teorema appena enunciato

C 0

sarà soddisfatto. viene invece scelta al di sotto del doppio di f , ci si

Se la frequenza di campionamento f

C 0

imbatterebbe nel problema dell’aliasing.

Il problema dell’aliasing in frequenza nel campionamento di un segnale tempo-continuo

x(t) si verifica allorquando non si rispetta appunto il teorema del campionamento ossia

quando si campiona il segnale con una frequenza di campionamento f < 2*f : in questo

C MAX

caso mediante la sequenza generata x[n] non sarà possibile ricostruire il segnale x(t). In

generale per non imbattere in tal problema si cercherà dunque di campionare sempre ad

una frequenza in linea col teorema del campionamento od ancor meglio superiore ad un

10% in più rispetto a 2*f , ed inoltre prima di campionare il segnale x(t) si provvederà a

MAX

filtrarlo mediante un filtro passa-basso che taglierà le componenti spettrali indesiderate

che escono fuori dalla banda di x(t). 6

Pag. 14 N° 08 (Lez. 7)

Descrivere la differenza tra Digital Fourier Transform e Fast Fourier Transform

Nell’implementazione pratica della DFT (Discrete Fourier Transform):

Per ottenere N componenti in frequenza a partire da N campioni sono necessari N 2

operazioni di numeri complessi.

Per facilitare il calcolo, si implementa la trasformata di Fourier su un calcolatore, usando la

FFT (Fast Fourier Transform), il quale algoritmo più utilizzato è quello di Cooley-Tukey, che

utilizza soltanto N*log N operazioni (moltiplicazioni); unica condizione necessaria è che N

2

deve essere una potenza di 2.

Pag. 17 N° 18 (Lez. 8)

Descrivere la procedura per la stima dell'incertezza di tipo A mediante misure

ripetute e dell'incertezza estesa

Stima dell’incertezza di tipo A

1) Si effettua un numero n di misure ottenendo così un campione di misure;

2) Si calcola la media aritmetica tra i valori assunti dagli n elementi:

n

∑ x

i

l

i=

µ = m = n

3) Quindi si procede col calcolare la deviazione standard che rappresenta l’indice

dell’incertezza della misura:

n (x

∑ 2

− µ)

a = i

i=l

n − 1

4) Si può dunque stimare l’incertezza di tipo A calcolando la deviazione standard della

media: a

a(m) = √n

ovvero all’aumentare delle misure n, l’incertezza di tipo A diminuisce in quanto n si

avvicina all’universo (N), mentre al diminuire della deviazione standard diminuisce anche

tale incertezza. 7

Stima dell’incertezza estesa

1) Si effettua un numero n di misure ottenendo così un campione di misure;

2) Si stima la Funzione Densità di Probabilità:

f %

z = f(x) = lim ∆x

∆x→o

3) Si calcola la media aritmetica tra i valori assunti dagli n elementi:

n

∑ x

i

l

i=

µ = m = n

3) Quindi si procede col calcolare la deviazione standard che rappresenta l’indice

dell’incertezza della misura:

n

∑ (x 2

− µ)

a = i

i=l

n − 1

4) Si può dunque stimare l’incertezza estesa come:

I: = k ∗ a = 3a

Con k fattore di copertura che dipende dal grado di confidenza della distribuzione che, se

gaussiana, vale k= 1 per grado di confidenza del 68,3%, k= 2 per 95,5% e k= 3 per 99,7%;

5) Il valore della misura sarà dato quindi nella seguente forma:

X = µ ± 3a

N.B. Nelle applicazioni industriali e commerciali si preferisce usare l’incertezza estesa per

dare un intervallo all’interno del quale ci si aspetta sia compresa la maggior parte della

distribuzione dei valori assunti dal misurando. 8

Pag. 18 N° 03 (Lez. 9)

Descrivere la procedura di taratura statica per la determinazione della curva di

taratura mediante la regressione ai minimi quadrati e definire le caratteristiche

che permette di determinare oltre i parametri che rappresentano la retta di

taratura

La taratura statistica è un processo di taratura che viene eseguito variando solo l’ingresso

che si vuol studiare in maniera quasi statica (e mantenendo costanti gli altri) e misurando

quindi l’uscita dello strumento, il tutto all’interno di un ambiente controllato. I valori che

assume l’ingresso in esame devono essere ben noti oppure controllati con uno strumento

con accuratezza almeno di un ordine di grandezza superiore allo strumento da tarare.

Mediante taratura statica si determina la sensibilità statica dello strumento o coefficiente

di taratura, la linearità, l’accuratezza e la sensibilità ai disturbi.

La procedura di taratura statica consiste per grandi linee nei seguenti punti:

1) Si sollecita lo strumento di misura da tarare con N valori d’ingresso diversi e si misurano

sia tali valori sia la risposta in uscita allo strumento;

2) Si riportano tali coppie di valori in un diagramma cartesiano: sull’asse x vanno gli N

ingressi q , mentre sulle y vanno le N uscite q .

I O

3) Ciò che ci interessa calcolare in primis è dunque la curva di taratura, ovvero quella

funzione che approssima meglio la distribuzione dei valori. Se quindi tale funzione può

essere assunta come una retta, si potrà calcolare la sua espressione matematica mediante

la tecnica della regressione ai minimi quadrati ottenendo così la retta dei minimi quadrati

q = m*q +b.

O_rett I

Questa tecnica si basa sul seguente postulato:

il valore più probabile x di una quantità misurata è tale che la somma dei quadrati delle

deviazioni delle misure da questo valore sia minimo, ovvero si tende a minimizzare la

N 2

somma degli scarti quadratici .

∑ (x )

− x i

i=

l

4) Si calcola dunque il coefficiente m, detto sensibilità, mediante la relazione:

∑ ∑ ∑

N ∗ q q − q ∗ q

i I O I O

m = 2 )

∑ (∑ 2

N ∗ q − q I

I

5) Si calcola pure il coefficiente b mediante la seguente relazione:

2

∑ ∑ (∑ ) ∑

q ∗ q − q ∗ q ∗ q

O I O I

I

b = 2

∑ (∑ ) 2

N ∗ q − q

I I

Si possono quindi calcolare i valori di q dalla relazione q = m*q +b;

6) O O_rett I 9

Una volta calcolati gli q dall’equazione della retta si può determinare lo

7) O_rett

scostamento di tali valori da quelli misurati ovvero la sua varianza:

2

∑(q 2

∑(m )

− q ) ∗ q + q − q

O_rett O I O

2 =

S = N

q N

O

E quindi anche lo stesso si può fare per l’ingresso:

2

S

q O

2

S =

q m 2

l

8) Analogamente è possibile calcolare l’incertezza di misura, ovvero la deviazione standard

sia per l’uscita che per l’ingresso, ossia:

∑(m )

2

∗ q + q − q

S I O

=

q N

O S q O

S

q =

l m ’, possiamo determinare il

Pertanto se in uscita allo strumento otteniamo il valore q O con k

corrispondente valore in ingresso q ’= (q ’-q)/m con un incertezza di ±k ∗ S

I O q

l

fattore di copertura (1, 2 o 3);

9) Si possono calcolare anche le varianze di m (detta deriva di sensibilità) e di b (detta

deriva di zero) mediante le seguenti relazioni:

2

N ∗ S q

2 O

S =

m 2

∑ (∑ ) 2

N ∗ q − q I

I

2 2

∑

S ∗ q

q I

2 O

S =

b 2

∑ (∑ ) 2

N ∗ q − q I

I

Che permettono di identificare l’accuratezza della stima dei valori misurati mediante la

retta ai minimi quadrati, ovvero l’incertezza di linearità. 10

Pag. 19 N° 04 (Lez. 10)

Descrivere le principali caratteristiche statiche; riportare schemi e grafici per

rendere più chiare le definizioni

Le principali caratteristiche statiche di uno strumento di misura sono:

1) Campo di misura: è l’insieme dei valori su cui lo strumento può fare una misura. Per cui

in base al campo di valori di una grandezza che ci interessa misurare andremo a scegliere il

campo di misura dello strumento.

In campo dinamico si usa il dB per definire il campo di misura: dB= 20*log (MAX/min).

10

2) Portata o Fondo Scala: è il più grande valore che lo strumento può misurare, ovvero in

pratica è il limite superiore del campo di misura. Spesso le altre caratteristiche statiche

vengono espressi in termini % della portata (o fondo scala) nella seguente notazione: %fs.

3) Risoluzione: indica la più piccola variazione dell’ingresso che

lo strumento riesce a rilevare e quindi misurare. Se ad esempio

un voltmetro ha una risoluzione di 0,2V vuol dire che potrà

cogliere variazioni di tensione in ingresso maggiori od uguali di

0,2V.

4) Sensibilità: è il rapporto tra la variazione della grandezza

in uscita rispetto alla variazione della grandezza in ingresso,

dq

ossia in buona sostanza equivale alla pendenza O

S = dq l

della curva di taratura in ogni suo punto all’interno del

campo di misura. Se la curva di taratura è un segmento di

q

retta allora lo strumento è lineare e la sensibilità O

S =

lin q l

è costante per ogni valore dell’ingresso.

5) Soglia: è il più piccolo ingresso misurabile.

6) Ripetibilità: è il grado di

concordanza tra una serie di misure

consecutive della stessa grandezza

in condizioni ambientali equivalenti.

Essa viene espressa come

deviazione standard s del campione

di misure effettuate. 11

Si possono inoltre definire l’incertezza di ripetibilità come il doppio (fattore di copertura 2)

della deviazione standard ed il campo di ripetibilità come la differenza tra il valore

±2s,

massimo ed il valore minimo del campione.

7) Stabilità: è l’attitudine a fornire valori di lettura differenti tra loro in letture eseguite

indipendentemente sullo stesso misurando in un intervallo di tempo definito.

8) Isteresi: proprietà di fornire valori di lettura diversi in

corrispondenza di una medesima grandezza quando

questa viene fatta variare per valori crescenti e per

valori decrescenti. Le isteresi sono generalmente dovute

ad irreversibilità interne come attriti meccanici i

dissipazioni di energia elettrica o magnetica. Essa è data

dalla differenza massima tra la curva di carico (fase

crescente) e quella di scarico (fase decrescente) sull’asse dell’uscita, in genere al 50% del

fondo scala.

9) Linearità: è la misura della massima deviazione dei punti di taratura dalla retta

interpolante dei minimi quadrati, ossia: 12