Paniere di metodi matematici - risposte aperte

Teorema del confronto

Enunciare il teorema del confronto detto anche "dei carabinieri", dandone l'interpretazione grafica.

Consideriamo le funzioni f(x), g(x) e h(x) e supponiamo che esse valgono le seguenti ipotesi:

• Tutte le funzioni sono definite nello stesso intervallo eccettuato al più un punto x0 di esso;
• In ogni punto di tale intervallo esiste il limite delle due funzioni f(x) e g(x) e sia lim f(x) = lim g(x);

Allora esiste anche il limite di h(x) ed è il lim h(x).

Teorema degli zeri

Enunciare il teorema degli zeri, dandone l'interpretazione grafica.

Il teorema degli zeri, chiamato anche teorema di Bolzano, per le funzioni continue reali, assicura l'esistenza di almeno una matrice (soluzione) dell'equazione ottenuta eguagliando a zero la funzione, in un intervallo ai cui estremi la funzione stessa assume valori di segno opposto. Se cioè una funzione è continua nell'intervallo [a, b] ed agli estremi dell'intervallo (a, b) assume valori opposti, allora esiste almeno un punto c in (a, b) tale che f(c) = 0.

L'equazione di ammette in (a, b) almeno una soluzione. Dunque se la funzione attraverserà una volta almeno l'asse dell'ascisse.

Enunciare il teorema dei valori intermedi, dandone l'interpretazione grafica.

Il teorema di Bordeaux, detto anche dei valori intermedi, si applica alle funzioni continue reali ed assicura che è l'immagine di un intervallo contenga tutti i valori compresi tra le immagini degli estremi dell'intervallo. Se continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] essa non può passare da un valore all'altro senza assumere, almeno una volta, tutti i valori intermedi. In particolare assumerà almeno una volta tutti i valori fra il suo massimo ed il suo minimo che sappiamo esistere per il teorema di Weierstrass.

Scaricato da rafgio rafgio (gioraf00@gmail.com)

Enunciare il teorema di Weierstrass, dandone l'interpretazione grafica.

Il teorema di Weierstrass è un importante risultato

Riguardo l'esistenza di massimi e minimi di una funzione di variabile reale. Se è continua in un insieme chiuso e limitato, allora ammette in x massimo e minimo. La funzione è solo sufficiente. Anche funzioni non continue possono ammettere massimi e minimi, si pensi alle discontinuità di prima specie con il salto. La funzione continua nell'intervallo (a, b) ammette un massimo in c ed un minimo in d.

Calcolare l'asintoto obliquo della seguente funzione: Come si calcolano il coefficiente angolare m ed il termine noto q di un eventuale asintoto obliquo? Ha un asintoto obliquo di equazione , con m≠0, allora m e q sono.

Se il grafico della funzione è dato dai seguenti limiti. Descrivi la relazione fra derivabilità e continuità. È derivabile in un punto allora è anche continua. Se è derivabile in. Il teorema dice che se una funzione allora è continua in. Sia allora si può scrivere: Se è derivabile ipotizziamo.

continuitàQuindi la derivabilità garantisce la continuità, viceversa la continuità non è sufficiente per avere la derivabilità. Da questo possiamo dire che:

• se è continua in un punto può essere derivabile nel punto, ma non per forza. Se non è continua non sarà derivabile.
• è derivabile in un punto sarà sicuramente continua in quel punto.

se Scaricato da rafgio rafgio (gioraf00@gmail.com)lOMoARcPSD|8082126 4Determinare gli eventuali asintoti della funzione

Asintoto verticale y=2

Asintoto orizzontale asintoto orizzontale

Asintoto obliquo ha il seguente grafico. Individuare dal grafico eventuali estremanti, esplicitare ilLa funzione segno della derivata prima, dando la spiegazione teorica della relazione tra segno della derivata e andamento della curva ed esplicitare l’eventuale presenza di punti di flesso specificandone la loro natura ed il loro significato sull’andamento della curva.

Max PMinino

relativoFlesso P (0;0)Flesso orizzontale 0Nel punto 0 abbiamo una pendenza orizzontale e non abbiamo punti di massimo o minimo relativo, non avendocambiato segno della derivata prima, dunque il punto 0 è un flesso.Scaricato da rafgio rafgio (gioraf00@gmail.com)lOMoARcPSD|8082126 5Determinare gli eventuali asintoti della funzioneAsintoto verticaleAsintoto obliquo non esiste asintoto obliquoDeterminare gli eventuali asintoti della funzioneAsintoto verticaleAsintoto orizzontaleAsintoto obliquo ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso néLa funzioneasintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitarne intuitivamente i limiti al confinedel campo di esistenza. Scaricato da rafgio rafgio (gioraf00@gmail.com)lOMoARcPSD|8082126 6ha il seguente grafico. Calcolarne il Dominio, i limiti e gli asintoti.La funzioneAsintoto verticaleAsintoto orizzontaleAsintoto obliquo ha il seguente grafico. Calcolarne il Dominio,

Limiti al confine del campo di esistenza: Per individuare i limiti al confine del campo di esistenza, dobbiamo analizzare il comportamento della funzione quando x si avvicina ai valori estremi del dominio. Asintoto verticale: Un asintoto verticale si verifica quando la funzione tende all'infinito o meno quando x si avvicina a un certo valore. Asintoto orizzontale: Un asintoto orizzontale si verifica quando la funzione tende a un certo valore quando x tende all'infinito o meno. Asintoto obliquo: Un asintoto obliquo si verifica quando la funzione tende a una retta obliqua quando x tende all'infinito o meno. Limite destro: Il limite destro di un punto è il limite della funzione quando x si avvicina a quel punto da destra. Limite sinistro: Il limite sinistro di un punto è il limite della funzione quando x si avvicina a quel punto da sinistra. Dominio: Il dominio di una funzione è l'insieme di tutti i valori di x per cui la funzione è definita. Derivata prima: La derivata prima di una funzione rappresenta il tasso di variazione istantaneo della funzione rispetto alla variabile indipendente x.La funzione ha il seguente grafico. Calcolarne la derivata prima studiandone il segno, La funzione natura ed il significato sull'andamento della curva. individuare eventuali punti di flesso specificandone la Segno Mai estremanti sono è un punto di flesso a tangente orizzontale poiché annulla a derivata prima è un punto di flesso poiché si ha un cambio di concavit La funzione ha il seguente grafico. Calcolarne la(gioraf00@gmail.com) ha il seguente grafico. Calcolarne il Dominio , i limiti e gli asintoti. La funzione ha il seguente grafico. Calcolarne il Dominio , i limiti e la derivata prima. La funzione ha il seguente grafico. Individuare dal grafico eventuali estremanti, esplicitare il segno della derivata prima, dando la spiegazione teorica della relazione tra segno della derivata e andamento della curva ed esplicitare l’eventuale presenza di punti di flesso specificandone la loro natura ed il loro significato sull’andamento della curva. Segno Flesso orizzontale 0 Nel punto 0 abbiamo una pendenza orizzontale e non abbiamo punti di massimo o minimo relativo, non avendo cambiato segno della derivata prima, dunque il punto 0 è un flesso.

(gioraf00@gmail.com)lOMoARcPSD|8082126 11ha il seguente grafico. Calcolarne la derivata prima studiandone il segno e dando la spiegazione teorica della relazione tra segno della derivata e andamento della curva. Segno mai escluso 0

Il segno della derivata pria indica il segno del coefficiente angolare della tangente, se la tangente è crescente, se la tangente è decrescente.

La funzione ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitare intuitivamente il segno della derivata prima. Lo 0 è escluso dal dominio

Scaricato da rafgio rafgio (gioraf00@gmail.com)lOMoARcPSD|8082126 12ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitare intuitivamente il confini del campo di esistenza. ha il seguente grafico.

Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitare intuitivamente il segno della derivata prima. La funzione ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitare intuitivamente il segno della derivata prima (x= 1-e punto di minimo). Scaricato da rafgio rafgio (gioraf00@gmail.com) La funzione ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitarne intuitivamente i limiti al confine del campo di esistenza. La funzione ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitare intuitivamente i limiti al confine del campo di esistenza.

Il segno della derivata prima ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitarne intuitivamente i limiti al confine del campo di esistenza.

La funzione ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitare intuitivamente il segno della derivata prima (si annulla per x = -3 e per x = 0).

La funzione ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitare intuitivamente il segno della derivata prima (si annulla per x = -3 e per x = 0).