Paniere di metodi matematici - risposte aperte

Risposte aperte paniere di

METODI MATEMATICI

Economia

Docente: Fanton Clara

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Per una funzione f(x): R→R, dare la definizione di limite infinito per x che tende ad un valore infinito.Per ogni K

(cioè >M o <-M), allora (cioè >K o <

reale esiste un M, in generale dipende da K, tale che se

di -K). f(x): R→R, dare la definizione di limite finito per x che tende ad un valore infinito.

 ,

Per una funzione Limite di

che tende ad se per ogni esiste un M, in generale dipende da tale che se x >M (x→)oppure se x < -

.

M (x→-), allora dista da almeno

Per una funzione f(x): R→R, dare la definizione di limite infinito per x che tende ad un valore finito.

,

, Per ogni K

meno di allora .

reale esiste un in generale dipende da K, tale che se x dista da

Enunciare il teorema della permanenza del segno, dandone l’interpretazione grafica. Se una funzione ,

, tende ad un limite finito l non nullo, esiste almeno un intorno del punto per tutti i punti del quale

per

(escluso al più il punto ) la corrispondente funzione assume lo stesso segno di .

Enunciare il teorema dell’esistenza e unicità del limite, con la dimostrazione. ammette limite

Se una funzione

per , con che può essere un valore finito o infinito, questo è unico.

finito

Dimostrazione.

Supponiamo per assurdo che la tesi non sia vera, cioè che la funzione, oltre ad ammettere limite l, ammetta anche limite

per e che sia (sarebbe la stessa cosa supporre che sia )

 *

Allora, fissato un numero positivo , dobbiamo poter determinare un intorno ed un intorno di in cui sono

) *)

verificate rispettivamente le relazioni

(in e (in

. 

Allora, per tutti i punti che appartengono all'intersezione dei due intorni, entrambe le relazioni sono vere

contemporaneamente, qualunque sia il valore scelto per Questo significa che, se esiste anche un solo valore di per

cui tali relazioni non sono soddisfatte, allora la posizione iniziale dell'esistenza di due limiti distinti non può essere

; le due relazioni diventano

sostenuta. Diamo allora a e un valore a nostra scelta, ad esempio diciamo che

e

Cioè si ha che

Questa catena di disuguaglianze è però assurda e quindi dobbiamo concludere che il limite è unico.

Si dimostra poi che le relazioni

sono a due a due incompatibili, cioè che una sola di esse può essere vera.

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Enunciare il teorema del confronto detto anche “dei carabinieri”, dandone l’interpretazione grafica.

Consideriamo le funzioni , e e supponiamo che esse valgono le seguenti ipotesi:



 tutte siano definite nello stesso intervallo eccettuato al più un punto x0 di esso;

in ogni punto di tale intervallo sia

 esista il limite delle due funzioni e e sia .

Allora esiste anche il limite di ed è il .

Enunciare il teorema degli zeri, dandone l’interpretazione grafica.

Il teorema degli zeri, chiamato anche teorema di Bolzano, per le funzioni continue reali, assicura l’esistenza di almeno

dell’equazione ottenuta eguagliando a zero la funzione, in un intervallo ai cui estremi la

una matrice (soluzione)

funzione stessa assume valori di segno opposto.

è continua nell’intervallo [a, b] ed agli estremi dell’intervallo (a, b) assume valori opposti

Se cioè

allora l’equazione di ammette in (a, b) almeno una soluzione. Dunque se

la funzione attraverserà una volta almeno l’asse dell’ascisse.

Enunciare il teorema dei valori intermedi, dandone l’interpretazione grafica.

Il teorema di Bordeaux, detto anche dei valori intermedi, si applica alle funzioni continue reali ed assicura che è

l'immagine di un intervallo contenga tutti i valori compresi tra le immagini degli estremi dell'intervallo. Se

continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] essa non può passare da un valore all'altro senza assumere, almeno una

volta, tutti i valori intermedi. In particolare assumerà almeno una volta tutti i valori fra il suo massimo ed il suo minimo

che sappiamo esistere per il teorema di Weierstrass.

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Enunciare il teorema di Weierstrass, dandone l’interpretazione grafica.

Il teorema di Weierstrass è un importante risultato riguardo l'esistenza di massimi e minimi di una funzione di variabile

reale. Se è continua in un insieme chiuso e limitato, allora ammette in x massimo e minimo. La funzione è

solo sufficiente. Anche funzioni non continue possono ammettere massimi e minimi, si pensi alle discontinuità di prima

specie con il salto. La funzione continua nell'intervallo (a, b) ammette un massimo in c ed un minimo in d.

Calcolare l’asintoto obliquo della seguente funzione:

Come si calcolano il coefficiente angolare m ed il termine noto q di un eventuale asintoto obliquo?

ha un asintoto obliquo di equazione , con m0, allora m e q sono

Se il grafico della funzione

dati dai seguenti limiti

Descrivi la relazione fra derivabilità e continuità

è derivabile in un punto allora è anche continua. Se è derivabile in

Il teorema dice che se una funzione

allora è continua in .

Sia allora si può scrivere:

Se è derivabile ipotizziamo continuità

Quindi la derivabilità garantisce la continuità, viceversa la continuità non è sufficiente per avere la derivabilità. Da



questo possiamo dire che:

se è continua in un punto può essere derivabile nel punto, ma non per forza. Se non è continua non sarà

 derivabile.

è derivabile in un punto sarà sicuramente continua in quel punto.

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Determinare gli eventuali asintoti della funzione

Asintoto verticale y=2

Asintoto orizzontale asintoto orizzontale

Asintoto obliquo ha il seguente grafico. Individuare dal grafico eventuali estremanti, esplicitare il

La funzione

segno della derivata prima, dando la spiegazione teorica della relazione tra segno della derivata e andamento

della curva ed esplicitare l’eventuale presenza di punti di flesso specificandone la loro natura ed il loro

significato sull’andamento della curva.

Max P

Minino relativo

Flesso P (0;0)

Flesso orizzontale 0

Nel punto 0 abbiamo una pendenza orizzontale e non abbiamo punti di massimo o minimo relativo, non avendo

cambiato segno della derivata prima, dunque il punto 0 è un flesso.

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Determinare gli eventuali asintoti della funzione

Asintoto verticale

Asintoto obliquo non esiste asintoto obliquo

Determinare gli eventuali asintoti della funzione

Asintoto verticale

Asintoto orizzontale

Asintoto obliquo ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né

La funzione

asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitarne intuitivamente i limiti al confine

del campo di esistenza. Scaricato da rafgio rafgio (gioraf00@gmail.com)

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ha il seguente grafico. Calcolarne il Dominio, i limiti e gli asintoti.

La funzione

Asintoto verticale

Asintoto orizzontale

Asintoto obliquo ha il seguente grafico. Calcolarne il Dominio, i limiti al confine del campo di

La funzione

esistenza, individuare gli asintoti e dare la definizione di limite destro e limite sinistro al tendere della funzione

ad un valore finito l.

Asintoto verticale ] asintoto verticale

Asintoto orizzontale

Asintoto obliquo non esiste perché esiste l’orizzontale

caso a 1, con valori di x che si approssimano a 1 nell’intorno

Un limite destro è un limite per x che tende in questo nell’intorno sinistro del punto. Il limite

destro del punto. Nel caso del limite sinis