Paniere metodi matematici - risposte aperte

Definizione di limite infinito e finito

Limite infinito per x che tende a un valore infinito

Per una funzione f(x): ℝ→ℝ, la definizione di limite infinito per x che tende a un valore infinito è la seguente: per ogni K reale esiste un M, che in generale dipende da K, tale che se x (cioè >M o <-M), allora f(x) (cioè >K o <di -K).

Limite finito per x che tende a un valore infinito

Per una funzione f(x): ℝ→ℝ, dare la definizione di limite finito per x che tende a un valore infinito. Limite di ε, che tende a l se per ogni ε esiste un M, che in generale dipende da ε, tale che se x >M (x→∞) oppure se x < -ε.M (x→-∞), allora f(x) dista da l almeno ε.

Limite infinito per x che tende a un valore finito

Per una funzione f(x): ℝ→ℝ, dare la definizione di limite infinito per x che tende a un valore finito: per ogni K reale esiste un ε, che in generale dipende da K, tale che se x dista da x₀ meno di ε allora f(x).

Teoremi di analisi

Teorema della permanenza del segno

Enunciare il teorema della permanenza del segno, dandone l’interpretazione grafica: se una funzione f(x), per x che tende a un punto, tende a un limite finito l non nullo, esiste almeno un intorno del punto per tutti i punti del quale (escluso al più il punto x₀) la corrispondente funzione assume lo stesso segno di l.

Teorema dell'esistenza e unicità del limite

Enunciare il teorema dell'esistenza e unicità del limite, con la dimostrazione: se una funzione ammette limite finito per x che tende a un punto x₀, con x₀ che può essere un valore finito o infinito, questo è unico.

Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che la tesi non sia vera, cioè che la funzione, oltre ad ammettere limite l, ammetta anche limite m per x che tende a x₀ e che sia l ≠ m. Allora, fissato un numero positivo ε, dobbiamo poter determinare un intorno I_l ed un intorno I_m di x₀ in cui sono verificate rispettivamente le relazioni |f(x) - l| < ε (in I_l) e |f(x) - m| < ε (in I_m).

Allora, per tutti i punti che appartengono all'intersezione dei due intorni, entrambe le relazioni sono vere contemporaneamente, qualunque sia il valore scelto per ε. Questo significa che, se esiste anche un solo valore di x per cui tali relazioni non sono soddisfatte, allora la posizione iniziale dell'esistenza di due limiti distinti non può essere sostenuta.

Diamo allora a l e m un valore a nostra scelta, ad esempio diciamo che l < m; le due relazioni diventano: |f(x) - l| < ε e |f(x) - m| < ε. Cioè si ha che |f(x) - l| < ε < |f(x) - m|.

Questa catena di disuguaglianze è però assurda e quindi dobbiamo concludere che il limite è unico. Si dimostra poi che le relazioni sono a due a due incompatibili, cioè che una sola di esse può essere vera.

Teorema del confronto (detto anche "dei carabinieri")

Enunciare il teorema del confronto, detto anche “dei carabinieri”, dandone l’interpretazione grafica: Consideriamo le funzioni f(x), g(x) e h(x) e supponiamo che esse valgano le seguenti ipotesi:

• Tutte siano definite nello stesso intervallo eccettuato al più un punto x₀ di esso.
• In ogni punto di tale intervallo sia f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).
• Esista il limite delle due funzioni f(x) e h(x) e sia L.

Allora esiste anche il limite di g(x) ed è L.

Teorema degli zeri

Enunciare il teorema degli zeri, dandone l’interpretazione grafica: Il teorema degli zeri, chiamato anche teorema di Bolzano, per le funzioni continue reali, assicura l’esistenza di almeno una soluzione dell’equazione ottenuta eguagliando a zero la funzione, in un intervallo ai cui estremi la funzione stessa assume valori di segno opposto.

Se f(x) è continua nell’intervallo [a, b] ed agli estremi dell’intervallo (a, b) assume valori opposti, cioè f(a)f(b) < 0, allora l’equazione f(x) = 0 ammette in (a, b) almeno una soluzione. Dunque se f(x) attraverserà una volta almeno l’asse delle ascisse.

Teorema dei valori intermedi

Enunciare il teorema dei valori intermedi, dandone l’interpretazione grafica: Il teorema di Bordeaux, detto anche dei valori intermedi, si applica alle funzioni continue reali ed assicura che l'immagine di un intervallo contenga tutti i valori compresi tra le immagini degli estremi dell'intervallo.

Se f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] essa non può passare da un valore all'altro senza assumere, almeno una volta, tutti i valori intermedi. In particolare assumerà almeno una volta tutti i valori fra il suo massimo ed il suo minimo che sappiamo esistere per il teorema di Weierstrass.

Teorema di Weierstrass

Enunciare il teorema di Weierstrass, dandone l’interpretazione grafica: Il teorema di Weierstrass è un importante risultato riguardo l'esistenza di massimi e minimi di una funzione di variabile reale.

Se f(x) è continua in un insieme chiuso e limitato, allora ammette in x massimo e minimo. La funzione è solo sufficiente. Anche funzioni non continue possono ammettere massimi e minimi, si pensi alle discontinuità di prima specie con il salto. La funzione continua nell'intervallo (a, b) ammette un massimo in c ed un minimo in d.

Calcolo dell'asintoto obliquo

Calcolare l’asintoto obliquo della seguente funzione: Come si calcolano il coefficiente angolare m ed il termine noto q di un eventuale asintoto obliquo? Se il grafico della funzione ha un asintoto obliquo di equazione y = mx + q, con m ≠ 0, allora m e q sono dati dai seguenti limiti.

Relazione fra derivabilità e continuità

Descrivi la relazione fra derivabilità e continuità: Il teorema dice che se una funzione è derivabile in un punto allora è anche continua. Se f(x) è derivabile in x = x₀, allora è continua in x₀.

Sia f allora si può scrivere: Se è derivabile ipotizziamo continuità. Quindi la derivabilità garantisce la continuità, viceversa la continuità non è sufficiente per avere la derivabilità. Da questo possiamo dire che:

• Se f(x) è continua in un punto può essere derivabile nel punto, ma non per forza. Se non è continua non sarà derivabile.
• Se f(x) è derivabile in un punto sarà sicuramente continua in quel punto.

Determinazione degli asintoti

Determinare gli eventuali asintoti della funzione:

• Asintoto verticale y = 2
• Asintoto orizzontale
• Asintoto obliquo

La funzione ha il seguente grafico. Individuare dal grafico eventuali estremanti, esplicitare il segno della derivata prima, dando la spiegazione teorica della relazione tra segno della derivata e andamento della curva ed esplicitare l’eventuale presenza di punti di flesso specificandone la loro natura ed il loro significato sull’andamento della curva.

• Max P
• Minimo relativo
• Flesso P (0;0)
• Flesso orizzontale 0

Nel punto 0 abbiamo una pendenza orizzontale e non abbiamo punti di massimo o minimo relativo, non avendo cambiato segno della derivata prima, dunque il punto 0 è un flesso.

Altri asintoti della funzione

Determinare gli eventuali asintoti della funzione:

• Asintoto verticale
• Asintoto obliquo non esiste

Determinare gli eventuali asintoti della funzione:

• Asintoto verticale
• Asintoto orizzontale
• Asintoto obliquo

La funzione ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitarne intuitivamente i limiti al confine del campo di esistenza.

Calcolo del dominio, limiti e asintoti

La funzione ha il seguente grafico. Calcolarne il dominio, i limiti e gli asintoti:

• Asintoto verticale
• Asintoto orizzontale
• Asintoto obliquo

La funzione ha il seguente grafico. Calcolarne il dominio, i limiti al confine del campo di esistenza, individuare gli asintoti e dare la definizione di limite destro e limite sinistro al tendere della funzione ad un valore finito l:

• Asintoto verticale
• Asintoto orizzontale
• Asintoto obliquo non esiste perché...