Paniere metodi matematici - risposte aperte

La funzione ha come Dominio (-1,0]U(1,+∞)

i seguenti:

e la derivata prima vale

Studiare il segno della derivata prima e disegnarne il grafico. 22

+∞) e come limiti ai confini del campo di

La funzione ha come Dominio (-∞,-1) U(-1,1)U(1,

esistenza:

Calcolarne la derivata prima studiandone il segno e disegnarne il grafico.

La funzione ha il seguente grafico. Calcolarne il Dominio, i limiti e la derivata prima. 23

la funzione ha il seguente grafico. Dedurre dal grafico il segno della derivata prima dando la

spiegazione teorica della relazione tra segno della derivata e andamento della curva.

Osservando il grafico f è decrescente da - fino ad un valore compreso tra -2 e 0(x). Di conseguenza f è decrescente in

tale intervallo. Da x fino a 1 è crescente e quindi la derivata è positiva

ed i limiti ai confini del suo campo di esistenza sono i

La funzione ha come Dominio (-∞,1)

seguenti:

Definirne la derivata prima e disegnarne il grafico. 24

ed i limiti ai confini

La funzione ha come Dominio (-∞,0)U(0,+∞) del suo campo di esistenza sono i

seguenti:

Calcolarne la derivata prima studiandone il segno e disegnarne il grafico.

ed i limiti ai confini del suo campo di esistenza

La funzione ha come Dominio (-∞,-1)U(-1,+∞)

sono i seguenti:

La sua derivata prima vale

Calcolarne gli estremanti e disegnare il grafico. 25

U(1,+∞) ed i limiti ai confini del suo campo di

La funzione ha come Dominio (-∞,-1)U(-1,+1)

esistenza sono i seguenti:

Calcolarne la derivata prima studiandone il segno e disegnarne il grafico

La funzione ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso

né asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, e sapendo che la derivata prima si annulla

per x=-1 mentre la derivata seconda si annulla per x=-1 e x=-2 individuare eventuali punti di flesso,

segnalandone le diversità.

In purché sia flesso e tangente orizzontale discendente 26

Enunciare il teorema di Cauchy, dandone l interpretazione grafica.

Il teorema degli incrementi finiti di Cauchy è una generalizzazione del teorema di Lagrange. Siano R

due funzioni reali di variabile reale continue in e derivabili in . Allora esiste un punto tale che

Quindi

Enunciare il teorema di Lagrange, dandone l’interpretazione grafica

è continua sull’intervallo chiuso e imitato

Se una funzione è derivabile internamente ad esso, cioè in

allora esiste almeno un punto intorno ad , , tale che la retta tangente al grafico della

funzione nel punto sia parallela alla secante che passa per i punti e

Quindi la secante che passa per i due punti e e la tangente in hanno uguale coefficiente

angolare. Due rette con uguale coefficiente

di Rolle, dandone l’interpretazione grafica.

Enunciare il teorema è continua sull’intervallo chiuso e imitato

Se una funzione è derivabile internamente ad esso, cioè in

tale che , cioè assuma lo stesso valore agli estremi, allora esiste almeno un punto appartenente

all’intervallo in cui la derivata prima si annulla. 27

Enunciare i teoremi di de L’Hopital.

Primo enunciato di de L’Hopital 

Siano e due funzioni definite in un intorno completo di un punto che soddisfino le seguenti ipotesi:

a) siano continue in ed inoltre sia

  ,

b) siano derivabili in - cioè esistono finite e in tale intervallo

   

c) sia 0 in -

d) esista

allora esiste anche il e vale la relazione

Secondo teorema di de L’Hopital  punto (finito o infinito), con l’esclusione del

Siano e due funzioni definite in un intorno completo di un

punto che soddisfino le seguenti ipotesi:

a) sia 

b) siano derivabili in

 

c) sia 0 in

d) esista

allora esiste anche il e vale la relazione

Determinare se i seguenti vettori sono linearmente indipendenti:

u = [ 2, -1, 0] ; v = [1, -1, 0 ] ; z = [ 1, 2, 1]

Determinare se i seguenti vettori sono linearmente indipendenti:

u = [ 3, -1, 1] ; v = [1, -1, 0 ] ; z = [ 2, 2, 1] 28

Determinare se i seguenti vettori sono linearmente indipendenti:

u = [3, -1, 1] ; v = [2, -1, 1 ] ; z = [ 2, 2, 0]

Determinare se i seguenti vettori sono linearmente indipendenti:

u = [ 3, -1, 1] ; v = [1, -1, 0 ] ; z = [ 2, 2, 0]

Dare la definizione di minore complementare in una matrice.

Si chiama minore complementare dell’elemento il determinante della matrice che si ottiene da quella considerata

sopprimendo la riga i-esima e la colonna k-esima.

Dare la definizione di complemento algebrico in una matrice.

dell’elemento

Si definisce cofattore o complemento algebrico di una matrice A di ordine n, il determinante

, di ordine n − 1, ottenuta da A sopprimendo l’h−esima riga e la k−esima colonna e moltiplicato per

della matrice

, ovvero

Enunciare la Regola di Sarrus per il calcolo del determinante della matrice 3x3.

La regola di Sarrus consiste in una schematizzazione delle operazioni che si devono compiere per calcolare il valore di

un determinante di ordine 3.

Sia data la matrice

Si ottiene

calcoliamo la somma dei prodotti degli elementi che si trovano sulle diagonali principali e la somma dei prodotti degli

elementi che si trovano sulle diagonali secondarie e poi calcoliamo la differenza fra i due valori ottenuti, ritroviamo il

determinate della matrice di A.

Enunciare il Primo teorema di Laplace per il calcolo del determinante di una matrice.

Il determinante di una matrice quadrata di ordine n è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una

colonna qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.

Dare la definizione di rango di una matrice.

Si chiama rango o caratteristica di una matrice A, e si indica con il simbolo r(A), il massimo ordine dei minori non nulli

che si possono estrarre da A. 29

–

Enunciare il Teorema di Rouchè Capelli per la soluzione dei sistemi lineari

Un sistema di equazioni lineari ammette soluzione se e soltanto la matrice completa ha lo stesso rango della matrice dei

coefficienti del sistema.

1. Se , cioè se il rango della matrice completa è maggiore della matrice incompleta, allora il

sistema lineare è impossibile e non ammette soluzioni.

2. Se , cioè se il rango della matrice completa coincide con il rango della matrice

incompleta allora il sistema è compatibile. In particolare, ricordando che n è il numero di incognite, risulta che:

 Se , allora abbiamo una ed una solo soluzione;

 Se ,allora abbiamo infinite soluzioni.

Discutere il seguente sistema lineare utilizzando il teorema di Rochè Capelli:

(A )

Non ammette soluzioni

Discutere il seguente sistema lineare utilizzando il teorema di Rochè Capelli:

(A )

Non ammette soluzioni

Discutere il seguente sistema lineare utilizzando il teorema di Rochè Capelli:

(A )

Non ammette soluzioni 30

Discutere il seguente sistema lineare utilizzando il teorema di Rochè Capelli:

(A )

Non ammette soluzioni

Discutere il seguente sistema lineare utilizzando il teorema di Rochè Capelli:

(A )

Non ammette soluzioni

Discutere il seguente sistema lineare utilizzando il teorema di Rochè Capelli:

(A )

Non ammette soluzioni 31

Dare l’interpretazione geometrica delle possibili soluzioni dei sistemi lineari a 2 equazioni e 2 incognite

Il sistema lineare di due equazioni nelle due incognite x, y

risolvere il sistema significa determinare l’insieme S delle coppie (x, y) di numeri che verificano entrambe le equazioni,

tali coppie (x, y) si dicono soluzioni del sistema. Detti ed gli insiemi delle soluzioni, rispettivamente, della

prima e della seconda equazione si ha .

  ∅,

Se S il sistema si dice risolubile e si possono presentare i seguenti casi:

a) S è costituito da un solo elemento, cioè il sistema ha una sola soluzione. In tal caso il sistema si dice

determinato.

b) S è infinito, cioè il sistema ha infinite soluzioni. In tal caso il sistema si dice indeterminato.

 ∅,

Se S = il sistema si dice impossibile.

Dare l’Interpretazione geometrica delle possibili soluzioni dei sistemi lineari a 3 equazioni e 3 incognite.

Un sistema a 3 equazioni due solo incognite, avremo nel piano tre rette e questo ci aiuta a prevedere quali potrebbero

essere le possibili soluzioni del sistema algebrico.

Se tutte e tre le rette concorrono in un unico punto, il sistema è determinato ed ha un'unica soluzione. Sedue rette sono

la stessa, il sistema è determinato con un’unica soluzione. Negli altri casi il sistema è

coincidenti e interessano

impossibile.

Un sistema di 3 equazioni e 3 incognite rappresenta nello spazio l’intersezione di 3 punti

 

Sistema pass e det i 3 piani si intersecano in un punto

 ci saranno due piani paralleli tra loto

e il terzo piano no

 tutti i punti sono paralleli

 i punti si intersecano in una retta

 sono tutti coincitenti

Determinato Impossibile 32

Enunciare la condizione di Riemann , condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità.

Una funzione limitata è integrabile su [a, b], se e solo se, per ogni esiste una suddivisione H di

.

[a, b] tale che la differenza tra la somma superiore e a somma inferiore diventi più piccola di questo

se e solo se

Calcolare il seguente integrale indefinito:

Dare la definizione di funzione primitiva della funzione y=f(x).

Si dice che una funzione F(x) è primitiva della funzione in un intervallo [a, b], se F è derivabile in esso e se per

tutti i unti di questo intervallo, vale la relazione

Enunciare il teorema fondamentale dl calcolo integrale ( teorema di Torricelli-Barrow).

è continua nell’intervallo [a, b], la sua funzione integrale

Se la funzione è derivabile e la

sua derivata in ogni punto x di [a, b] è uguale alla funzione nello stesso punto, cioè

Enunciare il teorema della media integrale.

Se è una funzione continua in un intervallo [a, b]. esiste almeno un punto c in [a, b] per il quale vale la relazione

Dare l’interpretazione geometrica del teorema della media integrale.

Se la funzione è positiva, allora esiste un opportuno valore c in [a, b] tale che il rettangolo avente per base il

segmento [a, b] stesso e per l’altezza è equivalente alla superficie sottesa del grafico della funzione.

Se la funzione F non è sempre positiva ugualmente si può interpretare il teorema dicendo che esistono opportuno valore

c in [a, b] tale che il rettangolo avente per base il segmento [a, b] stesso e per l'altezza equivalente alla superficie

che si ottiene considerato le parti positive della curva meno quelle negative.

Il teorema afferma l'esistenza di almeno un punto c, questo significa che potrebbe