Paniere Metodi matematici - risposte aperte

I E

LEZIONE 30 DOMANDA 19. La funzione ha il seguente grafico.

Grafico indicato sul paniere

(il grafico è sbagliato) Grafico reale della funzione

(questo è il grafico corretto della funzione)

Calcolare il Dominio, i limiti e la derivata prima /

I

LEZIONE 30 DOMANDA 20. La funzione ha il seguente grafico.

Calcolarne la derivata prima studiandone il segno e dando la spiegazione

teorica della relazione tra segno della derivata e andamento della curva.

Segno mai escluso 0

Il segno della derivata pria indica il segno del coefficiente angolare della tangente, se la

tangente è

crescente, se la tangente è decrescente

!

E

LEZIONE 30 DOMANDA 21. La funzione ha il seguente grafico.

Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né asintoto oltre

a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitare

intuitivamente il segno della derivata prima.

Lo 0 è escluso dal dominio !

E

LEZIONE 30 DOMANDA 22. La funzione Determinare il dominio della funzione, la derivata ed

J\405

eventuali flessi.

Dominio: 2

Derivata prima: 1

Punti di flesso: > !

LEZIONE 30 DOMANDA 23. La funzione Determinare il dominio e la derivata prima.

[

: 1,0: ∪:1,

Dominio: ∞

√ ! ! !

!

√

Derivata prima: KL M

LEZIONE 30 DOMANDA 24. La funzione ha il seguente grafico.

Calcolare il segno della derivata prima.

N!

La derivata prima della nostra funzione è

La derivata è negativa per tutti i valori di x nel dominio della funzione, poiché il denominatore 4 – x è

sempre positivo quando x<4.

Quindi possiamo concludere che la derivata prima f’(x) è sempre negativa per x appartenente al dominio di

f, cioè per x<4. Difatti la funzione ha un andamento sempre decrescente.

KL !

!M

LEZIONE 30 DOMANDA 25. La funzione ha il seguente grafico.

Esplicitare intuitivamente il segno della derivata prima.

Osservando il grafico possiamo affermare che il segno della derivata prima di f(x) è positivo per x<1, il che

indica che la funzione è crescente in quell’intervallo.

/

I

LEZIONE 30 DOMANDA 26. La funzione ha il seguente grafico.

Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso

né asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico

riprodotta, esplicitarne intuitivamente i limiti al confine del

campo di esistenza.

lim

Limiti ai confini del campo di esistenza:

. ∞

lim 0

→ / 1

→

lim O 1

→∞

lim O

!

→ ∞ /

I

LEZIONE 30 DOMANDA 27. La funzione ha il seguente grafico.

Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso

né asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico

riprodotta, esplicitare intuitivamente il segno della

derivata prima.

Segno della derivata prima:

La funzione è decrescente sia per x>0 che per x<0

·

LEZIONE 30 DOMANDA 28. La funzione ha il seguente grafico.

Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né

asintoto oltre a quelli in figura, calcolare il segno della derivata

prima.

La derivata prima è

Per determinare il segno di f’(x), dobbiamo considerare i segni dei fattori nel numeratore e nel

denominatore.

2

2 1 0 1

è il numeratore

è sempre positivo per ogni perché un quadrato è sempre positivo e il coefficiente 2 non

cambia il segno. 2

2 0 0 2

Quindi il segno di f’(x) dipende dal segno del numeratore

2 ' 0 ' 0 & 2

• quando o

2 & 0 2 & & 0

• quando o

• quando

' 0 P & 2

Concludendo possiamo affermare che il segno della derivata prima della nostra funzione è:

2 & & 0

• Positivo per 0 P 2

• Negativo per

• Zero per ·

LEZIONE 30 DOMANDA 29. La funzione ha il seguente grafico.

Calcolare gli eventuali asintoti.

Osservando il grafico possiamo vedere già che esiste un asintoto verticale e uno obliquo (non sono presenti

asintoti orizzontali).

ASINTOTO VERTICALE

ASINTOTO OBLIQUO 6 !

LEZIONE 30 DOMANDA 30. La funzione ha il seguente grafico.

Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né

asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico

riprodotta, esplicitarne intuitivamente il segno della derivata

prima.

∈ , 1 ∈ 1,

La derivata prima è negativa per (la funzione è decrescente) e positiva per (la

∞ ∞

funzione è crescente. 6 !

LEZIONE 30 DOMANDA 31. La funzione ha il seguente grafico.

Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né

asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico

riprodotta, esplicitarne intuitivamente i limiti al confine del

campo di esistenza.

lim

Limiti ai confini del campo di esistenza:

! / ∞

lim 0

→ ∓ 1

lim

→

lim 1

→∞

!

→ ∞ E E

LEZIONE 30 DOMANDA 32. La funzione ha il seguente grafico.

Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né asintoto

oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitarne

intuitivamente il segno della derivata prima.

% 0 0,

G

La derivata prima è sempre negativa per quindi la

0 0

funzione f(x) è sempre decrescente per

E E

LEZIONE 30 DOMANDA 33. La funzione ha il seguente grafico.

Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né asintoto

oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitarne

intuitivamente il segno della derivata seconda.

H è positiva per x>0 e negativa per x<0.

La derivata seconda

Questo indica che la funzione è concava verso l’alto (convessa) per x>0 e

concava verso il basso (concava) per x<0.

E

!

LEZIONE 30 DOMANDA 34. La funzione ha il seguente grafico.

Calcolarne la derivata prima studiandone il segno e dando la spiegazione

teorica della relazione tra segno della derivata e andamento della curva.

,

! possiamo utilizzare

Per calcolare la derivata prima della funzione

R S ℎ 1

%

la regola del quoziente: dove e

!R

R T [ :

La derivata della funzione, secondo la regola del quoziente è:

3 2

S ℎ

Calcoliamo le derivate di g(x) e h(x):

% ! % !

U U

V! V!

, G

! !

Quindi: % !% ! !%

G G G

! !

Semplificando il numeratore !%

!

1 W1,

Adesso analizziamo il segno della derivata prima f’(x):

• Denominatore: è sempre positivo tranne nei punti dove dove la funzione non è

3

definita (asintoti verticali).

• Numeratore:

3 ' 3, ' P & & &

√3 √3, √3 √3

è sempre positivo o zero

o è positivo quando cioè e negativo quando

o '

' 0 & √3

√3

Riassumendo il segno di f’(x):

& & 0

& 0 √3

√3

• e (la funzione è crescente in questi intervalli).

per

0 0).

• tranne in (la funzione è decrescente in questo intervallo, ma

per

Andamento della curva ' 0,

Il segno della derivata prima f’(x) ci dà informazioni sull’andamento della funzione f(x):

& 0,

• la funzione f(x) è crescente, cioè la curva sale.

dove

Crescente: 0

• dove la funzione f(x) è decrescente, cioè la curva scende.

Decrescente:

• sono i candidati a essere massimi, minimi o punti di flesso, a

i punti in cui

Punti critici:

seconda della concavità della funzione. E

!

LEZIONE 30 DOMANDA 35. La funzione ha il seguente grafico.

Calcolarne i limiti e gli asintoti, enunciando la condizione necessaria

affinché una funzione ammetta un asintoto ammetta asintoti obliqui ed

enunciando la definizione di limite nel caso di asintoto verticale.

Un si verifica dove la funzione tende all’infinito (positivo o

asintoto verticale

negativo) mentre x si avvicina a un valore finito. Questo avviene dove il

denominatore della frazione si annulla, a meno che anche il numeratore si

annulli nello stesso punto (in quel caso occorre un’analisi più dettagliata).

1 W1.

Il denominatore si annulla in Quindi dobbiamo considerare i limiti di f(x) quando x tende a

±1:

Quindi ci sono asintoti verticali in x=1 e x=-1 ∞

Un si verifica se il limite della funzione tende a un valore finito quando x tende a o

asintoto orizzontale

–∞. Esaminiamo i limiti della funzione:

Quindi non ci sono asintoti orizzontali poiché i limiti tendono a infinito. X Y

Un esiste se il limite della differenza tra la funzione e una retta tende a zero

asintoto obliquo

per x→∞ o x→-∞. La condizione necessaria affinché una funzione ammetta asintoti obliqui è che i limiti

Siano finiti e diversi da zero.

Calcoliamo questi limiti:

X 1-

Quindi,

Per trovare q:

Quindi, l’asintoto obliquo è

Definizione di limite nel caso di asintoto verticale

Nel caso di asintoti verticali, il limite della funzione quando x si avvicina a un valore dove il denominatore

c

lim

si annulla può essere infinito positivo o negativo. Formalmente si dice che:

C . ∞

Z ' 0, [, [ \ ' Z.

→

se per ogni esiste un intervallo tale che per ogni x in questo intervallo

lim

Analogamente

C / ∞ ] & 0, [ \, [ & ].

→

se per ogni numero esiste un intervallo tale che per ogni x in questo intervallo,

! , ^ ∪ ^,

E

LEZIONE 30 DOMANDA 36. La funzione ha come Dominio ed i limiti ai

∞ ∞

_`a

confini del suo campo di esistenza sono i seguenti:

∞

_`a

→ ∞

^

/ ∞

_`a

→

^

. ∞

→

Calcolarne la derivata prima con il relativo segno e rappresentarne il grafico.

! ,

LEZIONE 30 DOMANDA 37. La funzione ha come Dominio e come limiti ai confini

∞ ∞

_`a

del campo di esistenza:

!

_`a

→ ∞

→ ∞

Calcolarne la derivata prima studiandone il segno e disegnarne il grafico.

E

E

LEZIONE 30 DOMANDA 38. Data la funzione calcolarne la derivata prima ed

eventuali estremanti. !

E

LEZIONE 30 DOMANDA 39. La funzione ha il seguente grafico.

Calcolarne il Dominio, i limiti e gli eventuali estremanti.

, 0 ∪ 0,

Dominio: ∞ ∞

W 0 W

estremanti ∞ !

E

LEZIONE 30 DOMANDA 40. La funzione Calcolarne la derivata pr