Paniere completo (multiple e aperte) Geomatica

Lezione 021

Secondo la definizione di probabilità di Von Mises si definisce probabilità dell'evento A il limite per il numero di prove n che tende a infinito della frequenza relativa dell'evento A su n prove. Secondo la definizione di Laplace, si definisce probabilità di un evento A il prodotto fra il numero di casi favorevoli all’evento e il numero di casi totali possibili.

Lezione 033

L'evento A è stocasticamente indipendente dall'evento B se P(A|B) = P(A). Condizione necessaria e sufficiente affinché due eventi A e B siano stocasticamente indipendenti è P(A∩B) = P(A)P(B).

Lezione 055

La legge di propagazione della varianza nel caso n-dimensionale quando il legame funzionale fra la v.c. X e la v.c. Y è del tipo Y = AX + b è data dalla seguente relazione C = AC_YY A^T_XX.

La varianza è: un indice che misura il grado di concentrazione di una v.c. X attorno alla sua media. L'operazione di media è un'operazione lineare.

Si individui il valore corretto della varianza della v.c. Y per X=2 sapendo che Y = -3X + 1 e la varianza di X è 0.54.

• Varianza = - -

Si individui il valore corretto della varianza della v.c. Y per X=2 sapendo che e la varianza di X è 0.25.

• Varianza = - -

Si individui il valore corretto della varianza della v.c. Y per X=2 sapendo che e la varianza di X è 0.52.

Si individui il valore corretto della varianza della v.c. Y per X=60° sapendo che Y=cosX e la varianza di X è 2 rad² 1.5 / rad³.

Si individui il valore corretto della varianza della v.c. Y per X=30° sapendo che Y=cosX e lo scarto quadratico medio di X è 2 rad¹.

Sapendo che il legame funzionale fra la v.c. Y e la v.c. X è: Y = X² + X + 5. Calcolare il valore di Y per X=2 e la sua varianza sapendo che la varianza di X è 4×10^-4m.

Lezione 07

Qual è la probabilità per cui una variabile statistica X con varianza σ_X cada nell'intervallo [μ_X-2σ, μ_X+2σ]? 75%

Lezione 08

Data una variabile casuale discreta X, la moda è 1. Quale fra queste affermazioni è corretta: nella distribuzione gaussiana la media, la moda e mediana coincidono. La moda è un indice di posizione che rappresenta il punto c in cui la distribuzione di probabilità f(X) raggiunge il suo valore massimo in assoluto. La mediana è un indice di posizione ed è definito come quel valore c per cui P(X ≤ c) = P(X ≥ c) = 0.5.

Lezione 10

Indicare la matrice di covarianza del vettore delle osservazioni delle distanze misurate Y = (d₁, d₂) = (100, 150) km, sapendo che σ = 10 mm + 2 mm d[km].

C = [2(0.0102) 0, 2(0.0103) 0]

Quale fra le seguenti matrici potrebbe essere una matrice di covarianza?

• C = [1 -2, 2 4]

La matrice di covarianza di una v.c. X è una qualsiasi matrice quadrata. Data una v.c. X a n dimensioni, come è definita la varianza della i-esima componente di X? La matrice di covarianza di osservazioni indipendenti è una matrice diagonale.

Se la v.c Y è linearmente dipendente da X, l'indice di correlazione lineare è uguale a ±1. Una matrice di covarianza è necessariamente simmetrica. Gli elementi lungo la diagonale della matrice di covarianza della v.c. X a n dimensioni sono le varianze dell'i-esima componente della v.c. X.

Se la matrice di covarianza di un insieme di osservazioni è nota a meno di un fattore di proporzionalità, la soluzione ai minimi quadrati è corretta.

Data la variabile casuale doppia discreta riportata in tabella, calcolare il vettore media e la matrice di covarianza.

μ_x = -1 × 0.45 + 0 × 0.20 + 1 × 0.35 = 0.1925

μ_y = 1 × 0.20 + 2 × 0.50 + 3 × 0.30 = 1.23

Varianza x: (-1)² × 0.45 + (0)² × 0.20 + (1)² × 0.35 - (0.1925)² = 0.060

Varianza y: (1)² × 0.20 + (2)² × 0.50 + (3)² × 0.30 - (1.23)² = 2.583

Covarianza xy: Σ((-1 - 0.1925)(1 - 1.23) + (0 - 0.1925)(2 - 1.23) + (1 - 0.1925)(3 - 1.23)) = 1.67

Matrice di covarianza: [0.060 1.67, 1.67 2.583]

Lezione 14

Che cosa è un modello deterministico? Sia dato un vettore di valori osservati Y₀ = {Y₁, Y₂, …, Y_n} tratto da una v.c. n-dimensionale Y, di cui non si conosce in generale la distribuzione, ma di cui si sa che il valore medio, y = E{Y}, appartiene a una varietà lineare a m dimensioni (m < n), detta varietà dei valori ammissibili.

Che cosa è un modello stocastico? È un modello costituito da un insieme finito di v.c. che dipendono da un parametro, con il quale si indica generalmente il tempo, e dai valori che le singole v.c. hanno assunto nel passato, cioè con riferimento a una base statistica di partenza.

Che cosa è la matrice normale nella soluzione del problema dei minimi quadrati? È una matrice con rango massimo.

Che cosa è la matrice dei cofattori nella soluzione del problema dei minimi quadrati? È una matrice nota e strettamente positiva da cui si può affermare che la covarianza delle osservazioni Y₂ C = σ² Q, σ² Q (matrice ha la forma con incognito e dei cofattori).

Lezione 15

Il metodo dei minimi quadrati con pure equazioni di condizione è utilizzato per compensare ad esempio i dislivelli di una rete di livellazione. Il metodo dei minimi quadrati con pure equazioni di condizione e il metodo dei minimi quadrati con parametri aggiuntivi forniscono entrambi i valori di parametri incogniti quali le coordinate di vertici topografici.

Il metodo dei minimi quadrati con equazioni di condizione è utilizzato ad esempio per determinare le coordinate (X,Y) di una poligonale chiusa. Il metodo dei minimi quadrati con pure equazioni di condizione è utilizzato per determinare i parametri incogniti di un modello funzionale.

Nel definire il modello stocastico di un problema ai minimi quadrati avente 4 osservazioni di distanza indipendenti, sappiamo che la prima osservazione ha una deviazione standard doppia rispetto alle altre tre osservazioni. Qual è la matrice Q dei cofattori del problema?

• Q = [2 0 0 0, 0 1 0 0, 0 0 1 0, 0 0 0 1]

Come si imposta un problema ai minimi quadrati con pure equazioni di condizione? Si imposta andando a eliminare la deficienza di rango andando a conoscere, e quindi fissare, il valore della gravità di punto. Facendo così si riduce il numero di incognite e il vettore dei termini noti non è più nullo.

Lezione 16

Dato un fenomeno fisico descritto dalla relazione y = a·cos(ωt) + b·sin(ωt), si vogliono determinare i parametri a e b con il metodo dei minimi quadrati. Sapendo che ω = 1, e che le misure di y sono state effettuate ai tempi 2001, 2002, 2003, 2004, qual è la matrice disegno A corretta?

• A = [cos(2001) sin(2001), cos(2002) sin(2002), cos(2003) sin(2003), cos(2004) sin(2004)]

Quale fra le seguenti matrici può essere una matrice normale N, come è stata definita quando è stato introdotto il metodo dei Minimi Quadrati?

• N = [1 4, 4 3]

Perché N sia una matrice simmetrica normale deve essere simmetrica e si deve verificare che anche N^-1 è simmetrica.

Lezione 17

Dato un insieme di misure della grandezza fisica y in funzione del tempo t (y = a·e^-bt), nel caso in cui si volessero determinare i coefficienti a e b con il metodo di stima dei minimi quadrati bisognerebbe utilizzare il modello con pure equazioni di condizioni. Se il legame funzionale fra una grandezza fisica misurata e i parametri incogniti non è lineare: si può applicare il metodo di stima dei minimi quadrati dopo aver linearizzato le equazioni di osservazione.

Nel caso di una stima ai minimi quadrati non lineari, all'iterazione I è stata ottenuta una varianza a posteriori pari a 5×10^-3 m e all'iterazione II una varianza a posteriori di 3×10^-3 m. Sapendo che il coefficiente ε prefissato è uguale a 0.5, è possibile interrompere il processo iterativo? No, in questo caso il calcolo dà il valore di 0.64.

Dato un insieme di misure della grandezza y in funzione del tempo t (y = a e^-bt), nel caso in cui si volessero determinare i coefficienti a e b con il metodo dei minimi quadrati bisognerebbe necessariamente utilizzare il metodo dei minimi quadrati come pure equazione di condizione. Se la relazione funzionale fra osservazioni e parametri da stimare è non lineare la soluzione ai minimi quadrati è non lineare.

Come si risolve un problema ai minimi quadrati non lineari? Dal punto di vista analitico i problemi vengono affrontati per mezzo della linearizzazione del modello deterministico e la soluzione può non essere unica. L’unicità della soluzione è garantita se il raggio della zona di interesse per la distribuzione di Y è assai più piccolo della curvatura della varietà V.

Quando si arresta la procedura iterativa nel problema ai minimi quadrati non lineari? Quando il raggio della zona di interesse per la distribuzione di Y è assai più piccolo della curvatura della varietà V.

Lezione 18

Si misurano, in maniera indipendente e con egual precisione i lati del triangolo rettangolo indicato in figura, ottenendo i seguenti risultati d_AB = (3.001 ± 0.001) m, d_BC = (3.998 ± 0.001) m, d_CA = (4.999 ± 0.001) m. Sulla base di tali osservazioni dirette si ricavi l'area e il perimetro del triangolo. Determinare la matrice di covarianza della coppia area-perimetro.

Area = cateto × cateto ± 0.001 = (3.998 × 3.001) ± (0.001 × 0.001)

Perimetro = 3.001 + 3.998 + 4.999 ± (0.001 + 0.001 + 0.001)

Lezione 21

Che cosa è il geoide? È la superficie equipotenziale del campo della gravità che meglio approssima la superficie media dei mari a mano di correnti, moto ondoso e che si prolunga sulle terre emerse. Come è definita la quota ortometrica e come si misura? È la coordinata che viene definita rispetto al geoide, ed è la lunghezza della linea della verticale da P₀ a P₁ sul geoide. È strettamente legata al campo di gravità terrestre.

Quali sono le proprietà di una superficie di riferimento? La superficie della terra è una forma irregolare e discontinua, non descrivibile con una formula matematica. Per questo la superficie di riferimento ha le seguenti proprietà: esprimibile analiticamente in modo semplice, forma prossima a quella della terra, è facilmente definibile una geometria su di essa ed è tale da poter riferire ad essa in maniera univoca un qualsiasi punto appartenente alla superficie terrestre.

Come è definito l’ellissoide di rotazione? È una superficie geometrica generata dalla rotazione di un’ellisse attorno al proprio asse minore (asse polare). L’ellissoide di rotazione modella la forma del globo terrestre e costituisce una superficie di riferimento per il calcolo di angoli e distanze e, di conseguenza, per il calcolo di coordinate relative alle posizioni di punti sulla superficie dell’ellissoide stesso. In particolare, la posizione di un punto sulla Terra, approssimata tramite un ellissoide di riferimento.

Che relazione intercorre fra la quota ellissoidica, quella ortometrica e l’ondulazione del geoide? H = h - N dove H è la quota ortometrica, distanza di un punto P dalla sua proiezione P’ sulla superficie del Geoide, misurata lungo la linea di forza (verticale); h è a quota ellissoidica, distanza di P dalla sua proiezione P’ sulla superficie ellissoidica, misurata lungo la normale all’ellissoide; N è l’ondulazione del geoide, differenza tra la quota ellissoidica h di P e la corrispondente quota ortometrica H, varia da punto a punto.

Quali sono le proprietà di un sistema di riferimento? Un sistema di riferimento è un sistema rispetto al quale viene osservato e misurato un certo fenomeno fisico o un oggetto fisico oppure vengono compiute determinate misurazioni.

Lezione 22

La forza di gravità terrestre è la somma della forza gravitazionale e della forza centrifuga. Dato un punto sulla superficie terrestre, in prima approssimazione qual è la relazione fra la quota ortometrica, la quota ellissoidica e l’ondulazione del geoide? h = H + N.

Le sezioni normali principali sono le sezioni normali che hanno il minimo ed il massimo raggio di curvatura. La geodetica di una superficie è la linea sulla superficie che, in ogni suo punto, ha la normale coincidente con la normale alla superficie stessa.

Il teorema di Clairaut afferma che le geodetiche su una superficie di rotazione sono caratterizzate da un'equazione che stabilisce che per ogni punto della geodetica di azimut α, r(φ)sinα = cost.

Presi due punti non troppo distanti sulla superficie di un ellissoide, la geodetica che li congiunge è unica. Per passare da un sistema di riferimento S₁ ad uno S₂ è necessario effettuare una rototraslazione nello spazio con fattore di scala. Se si effettua una trasformazione di sistema di riferimento, necessariamente si effettua una trasformazione di sistema di coordinate.

Lezione 23

Nelle coordinate cartesiane locali (e, n, u), la coordinata n è l’ordinata, dove n indica il Nord. Date le coordinate cartesiane ellissoidiche X₁ definite in un sistema di riferimento I, per poterle trasformare in coordinate cartesiane ellissoidiche X₂ definite in un diverso sistema di riferimento II è sufficiente conoscere i parametri della trasformazione di Helmert.

Note le coordinate geografiche ellissoidiche di un vertice topografico inquadrate in un sistema di riferimento S₁, per ottenere le coordinate cartesiane ellissoidiche in un sistema S₂ diverso dal sistema S, occorre effettuare un cambio di sistema di coordinate e un cambio di sistema di riferimento.

Lezione 24

Nel campo geodetico l'ellissoide è approssimato con una sfera di raggio R dove R = √N. Si può parlare di campo geodetico se l'area in cui viene effettuato il rilievo è compresa in una zona di 100 km di raggio.

Si può parlare di campo topografico se l'area in cui viene effettuato il rilievo è compresa in una zona di 10 km di raggio.

Lezione 25

Le quote fornite dalla rete geodetica nazionale sono altezze ortometriche. Come è materializzato il datum altimetrico italiano? Da contrassegni verticali e orizzontali.

Sapendo che la quota ellissoidica di un punto sulla superficie terrestre è 395.34 m e che la quota ortometrica è pari a 349.73 m, l’ondulazione del geoide è N = h - H = 395.34 - 349.73 = 45.61.

Il campo di gravità terrestre è la somma del campo gravitazionale e del campo della forza centrifuga.

Che cosa è il campo geodetico? È la zona entro cui è lecita la sostituzione di una sfera locale all'elissoide per le operazioni planimetriche, cioè per misure di angoli e distanze.

Che cosa è il campo topografico? È la parte della superficie terrestre intorno ad un punto, entro cui si può ritenere trascurabile l'errore di sfericità ai fini planimetrici ed entro cui è possibile, pertanto, eseguire un rilievo planimetrico senza commettere errori che influiscano sensibilmente sui risultati delle operazioni topografiche.

Come è definito il datum altimetrico italiano? Il datum altimetrico richiede una materializzazione attraverso una rete di punti con quota ortometrica nota, e questo avviene mediante l’utilizzo di un mareografo che è uno strumento costituito da un galleggiante disposto in un pozzo posto in comunicazione con il mare all’interno di un porto.

Lezione 27

Quale delle seguenti relazioni è corretta? ΔH = -ΔH_{AB BA}.

I teoremi della Geodesia operativa affermano che qualunque misura di azimut, angolo o distanza, eseguita con i mezzi a disposizione dei topografi, può ritenersi eseguita con riferimento ad archi di geodetiche sulla superficie di riferimento.

Considerati due punti A e B sulla superficie fisica della terra, si definisce distanza fra A e B la lunghezza dell’arco di geodetica che congiunge le proiezioni dei due punti e sull’ellissoide di riferimento.

Scrivere la definizione di distanza geodetica fra due punti? Considerati due punti A e B sulla superficie fisica della terra, si definisce distanza fra A e B la lunghezza dell'arco che congiunge le proiezioni dei due A₀ e B₀ punti sull'ellissoide di riferimento. È quindi la lunghezza dell'arco di geodetica che congiunge le proiezioni dei due punti sull'ellissoide di riferimento.