Paniere Aperte Fondamenti di Automatica

P

sia ben definito e risulti =

52. Si consideri un sistema caratterizzato da un polo reale. Dimostrare il legame che lega il

tempo di assestamento della risposta al gradino del sistema e il polo

il tempo di assestamento dipende in maniera direttamente proporzionale dalla costante di

tempo associata al polo reale.

- Esiste quindi una relazione diretta tra la posizione del polo nell’asse reale e il tempo di

assestamento: per soddisfare la specifica sulla percentuale di assestamento è sufficiente

porre

= − ; −0 < ≤ − ln

/ s

53. Definire le funzioni di sensititivà e commentarne l'utilità

E’ utile investigare l’effetto dei disturbi e e del segnale di riferimento sui segnali di

errore e di uscita y, risulta evidente il ruolo delle seguenti funzioni di trasferimento:

Funzione di Sensitività

- (s) rappresenta la funzione di trasferimento

-- tra l’uscita e il disturbo

-- tra l’errore e il riferimento

-- tra l’errore e il disturbo , cambiata di segno

- Funzione di Sensitività Complementare c(s) rappresenta la funzione di

trasferimento:

-- tra l’uscita e il riferimento

-- tra l’uscita e il disturbo , cambiata di segno

-- tra l’errore e il disturbo

- Funzione di Sensitività del Controllo rappresenta la funzione di trasferimento

()

-- tra il riferimento e il segnale di controllo

tra il disturbo e il segnale di controllo cambiata di segno

-- ,

-- tra il disturbo e il segnale di controllo cambiata di segno

,

54. Ricavare l'espressione delle funzioni di sensitività e commentarne le approssimazioni nel

dominio della frequenza

55. In riferimento alla funzione di sensitività complementare, commentare il rapporto tra le

specifiche sulla fedeltà di risposta e sull'errore a regime in risposta a disturbi costanti

Le prestazioni statiche di tale funzione dipendono dal comportamento per → 0:

- Per avere un’ottima fedeltà della risposta a regime è necessario avere > 0

- Per avere un errore a regime nullo in presenza di disturbi costanti è necessario avere <0

56. Descrivere le specifiche ideali da imporre sulla funzione di sensitività complementare e

quelle invece raggiungibili

I requisiti ideali da imporre sulla funzione di sensitività complementare sono:

= 1 e = 0

c() ()

Se si considerano i limiti di tali funzioni per → 0 Risulta evidente che i requisiti ideali sono

irrealizzabili.

Ne segue che il comportamento desiderato per la funzione di sensitività complementare è

il seguente:

- Nella banda di frequenze in cui è necessario inseguire il riferimento si vuole avere

1

|c(s)|≅

- Nella banda di frequenze in cui si vuole attenuare il disturbo si vuole avere

()

0

|c(s)|≅

57. Descrivere le specifiche ideali da imporre sulla struttura della funzione di sensitività e

quelle invece raggiungibili

Tale funzione rappresenta la funzione di trasferimento

-- tra l’uscita e il disturbo

-- tra l’errore e il riferimento

-- tra l’errore e il disturbo , cambiata di segno

Ne segue che, se si avesse = 0, l’effetto dei disturbi sull’errore sarebbe nullo

Tale situazione ideale è irrealizzabile: essendo una funzione strettamente propria per

→ ∞ si ha = 1

()

- Quello che si può invece ottenere è una limitazione del modulo della funzione di

sensitività in corrispondenza delle frequenze in cui si suppone che i disturbi agiscano

58. Descrivere le specifiche ideali da imporre sulla struttura della sensitività del controllo e

quelle invece raggiungibili

Funzione di Sensitività del Controllo rappresenta la funzione di trasferimento

()

-- tra il riferimento e il segnale di controllo

tra il disturbo e il segnale di controllo cambiata di segno

-- ,

-- tra il disturbo e il segnale di controllo cambiata di segno

,

In corrispondenza del requisito ideale (e non realizzabile) = 1, si avrebbe =

c() ()

() =

c() ^(−1) ^(-1) (s)

Essendo la strettamente propria, il grado del numeratore della sarebbe

() ()

maggiore di quello del denominatore.

- Questo comporterebbe un’amplificazione delle componenti ad alta frequenza dei segnali

esogeni sul segnale di controllo in contrasto con il requisito di moderazione del segnale

:

di ingresso.

L’obiettivo che si vuole raggiungere in riferimento alla funzione di sensitività del controllo è

quello di far si che il modulo della funzione complessa sia il più piccolo possibile,

(ω)

almeno in corrispondenza delle frequenze in cui il segnale di controllo presenti componenti

significative, al fine di ridurre le sollecitazioni a cui è sottoposta la variabile di controllo (e

quindi, di riflesso, le sollecitazioni al sistema da controllore).

59. Descrivere qualitativamente il metodo del luogo delle radici specificando in quale modo

risulta esser utile nella sintesi di un controllore

La variazione parametrica della posizione delle radici nel piano s permette di determinare

la combinazione di parametri per cui la stabilità, il grado di stabilità e la qualità delle

prestazioni nel transitorio siano pienamente in linea con gli obietti del controllo.

metodo del luogo delle radici

Tale metodologia di controllo è detta appunto

Il metodo del luogo delle radici può essere applicato quando, fissati gli altri parametri, è

possibile esprimere il polinomio caratteristico in funzione del parametro nella

-esimo

forma: 1 + (s).

Il luogo delle radici è particolarmente utile quando il parametro da selezionare è il

guadagno della legge di controllo in un sistema a catena chiusa.

60. Descrivere il problema della ricostruzione dello stato

Il problema della ricostruzione dello stato fa riferimento alla stima dello stato di un sistema

a partire dalla conoscenza del segnale di ingresso e del segnale di uscita. È stato mostrato

come la completa osservabilità del sistema sia condizione necessaria e sufficiente affinché

tale problema abbia soluzione.

In particolare, il problema della ricostruzione dello stato può esser formulato come un

problema di assegnamento degli autovalori.

- Una volta costruito l’osservatore, sotto l’ipotesi di completa osservabilità, è possibile

assegnare ad arbitrio gli autovalori dell’osservatore in modo tale da fissare ad arbitrio la

velocità di convergenza dell’errore di stima.

61. Descrivere il problema dell'assegnamento ad arbitrio degli autovalori

Il problema dell'assegnamento ad arbitrio degli autovalori mira a determinare se, con

un’opportuna scelta della matrice sia possibile fare in modo che assegnare ad arbitrio gli

,

autovalori della matrice .

In altre parole, considerando che la matrice rappresenta la matrice dinamica del

-

sistema controllato, si vuole determinare se sia possibile modificare ad arbitrio la dinamica

del sistema controllato.

È possibile dimostrare che tale problema ammette soluzione se e solo se il processo è

completamente raggiungibile.

62. In cosa consiste il principio di separazione? Descrivere il problema di riferimento

La progettazione delle due matrici di guadagno e può esser fatta indipendentemente

l’una dall’altra.

La matrice di guadagno può esser progettata come se lo stato fosse misurabile.

()

La matrice di guadagno può esser progettata come se il sistema di cui si vuole stimare lo

stato fosse in anello aperto

come principio di separazione

- Questo risultato è noto

Per risolvere il problema dell’assegnamento degli autovalori quando lo stato non è

misurabile è quindi necessario:

- Scegliere gli autovalori del sistema controllato grazie alla matrice

Scegliere ulteriori autovalori per assegnare la dinamica dell’osservatore usando la

-

H.

matrice

63. In riferimento ad un controllore PID in configurazione in parallelo, descrivere le tipologie

e l'utilità delle nonlinearità che si possono introdurre?

Lo schema di tipo parallelo era utilizzato in prevalenza per la realizzazione di dispositivi di

elaborazione con tecnologie meccaniche e pneumatiche, attualmente in disuso.

Attualmente una modalità di controllo di tipo proporzionale, integrale e derivativo viene

resa operativa su un dispositivo di elaborazione a microprocessore in cui è inserito un

opportuno algoritmo.

- L’azione proporzionale e integrale precede quella proporzionale e derivativa per ottenere

che l’azione integrale effettui una parziale attenuazione del rumore collegato al dispositivo

di misura e alla digitalizzazione delle variabili coinvolte nell’azione di controllo a

controreazione.

Le nonlinearità che si devono inserire per tener conto dei limiti imposti dagli attuatori

sono:

- Massima escursione

- Rapidità di variazione

- Sovraccarico transitorio

64. Descrivere il fenomeno del wind-up (carica integrale) descrivendo nel dettaglio tutte le

problematiche legate

Si consideri uno scenario in cui l’attuatore sia in saturazione:

- Se l’errore continua a crescere, l’azione integrale del controllore crescerà a sua volta

- Tale incremento dell’azione integrale, tuttavia, non ha un impatto sull’errore in quanto

l’attuatore si mantiene sul suo valore limite.

- Inoltre, se l’errore dovesse decrescere o anche invertirsi di segno, il controllore sarebbe

inefficace: il segnale di controllo () inizierebbe ad avere effetto solo quando rientra

∗

nella zona di linearità della caratteristica dell’attuatore.

- Questo fenomeno è noto come carica integrale (in inglese integral wind-up).

65. Descrivere il fenomeno del wind-up (carica integrale) commentando un possibile schema

di controllo in grado di mitigare tale fenomeno

Si c