Paniere Aperte Fondamenti di Automatica

1. Riportare la rappresentazione nello spazio di stato di un generico sistema di ordine n.

Commentare il ruolo dei vari coefficienti, delle variabili e delle funzioni coinvolte.

descrizione nello spazio di stato di un sistema è

() = (, (), ())

� (0) = 0�

() = (, (), ())

dove:

- x(t) ϵ R è il vettore n-dimensionale di stato, con n detto ordine del sistema

n

- ϵ R è il vettore – dimensionale delle condizioni iniziali

n

(t ) = x

0 0

- y(t) ϵ R è il vettore – dimensionale delle variabili di uscita

q

- u(t) ϵ R è il vettore dimensionale delle variabili di ingresso

m

La funzione definisce l’equazione di stato. La funzione è detta funzione di

f() ()

trasformazione di uscita.

Nella rappresentazione con lo spazio di stato, quindi, il legame funzionale causa – effetto è

rappresentato tramite due equazioni:

- L’equazione di stato descrive come, in funzione delle variabili di ingresso e delle

condizioni iniziali, lo stato del sistema varia

- La funzione di trasformazione d’uscita descrive l’andamento temporale delle variabili di

interesse in funzione delle variabili di ingresso e dello stato del sistema

2. Si definisca formalmente e si commenti la proprietà di stabilità asintotica

Si consideri un sistema stazionario con ingressi costanti:

() = ((), �)

� (0) = 0�

���

() = ((), )

Uno stato di equilibrio è detto stabile se tutti i movimenti dello stato che si

̅ ()

generano da stati iniziali sufficientemente vicini a rimangono in suo intorno i.e. se

̅

0j

> 0:

∃, ∀

- �� − ̅ �� <

0

- |

�|() − ̅ � ≤

L’equilibrio è anche detto equilibrio nominale.

̅

Uno stato di equilibrio che non è stabile è detto instabile.

Uno stato di equilibrio si dice asintoticamente stabile se è stabili e se inoltre si ha:

lim ||() − ̅ ||

→∞

3. A partire da un sistema descritto nello spazio di stato, mostrare il procedimento per il

calcolo degli stati di equilibrio.

SE consideriamo un pendolo forzato di massa M, connesso al sostegno tramite una fune

inestensibile, di massa trascurabile, e di lunghezza l. Si assuma che sia presente una forza di

attrito viscoso proporzionale alla velocità angolare del pendolo di coefficiente k.

La sua rappresentazione nello spazio di stato (con x1=0, x2=ω, dove ω = ϴ indica la velocità

angolare della massa) : =

� − +

= −

il punto di equilibrio si ottiene ponendo x = 0: 2 = 0

1

( , �) = �

− 1 − 2 + = 0

Si può osservare che la condizione necessaria per avere equilibrio è x2=0 ossia che la

velocità angolare sia nulla. Dalla seconda equazione si ricavano le condizioni per annullare

l’accelerazione.

4. Si descriva il fenomeno della risonanza in riferimento a sistemi dinamici di secondo grado

Quando si forza un oscillatore con un segnale che ha la stessa frequenza del sistema ( N

= ) si ha quindi un incremento anche notevole dell’ampiezza della risposta. In assenza di

F

smorzamento tale incremento porta al valore ꚙ.

Nel caso generale (reale), in cui sia presente una forza di smorzamento, l’ampiezza per N

è:

= F 1

0

= =

0

2 2 2

2 2

�( − ) +

ossia per della risposta del sistema cresce.

→ 0 ’ampiezza

L’interpretazione fisica di questo risultato è che se un sistema viene sollecitato da un

segnale che ha la stessa frequenza del sistema, in assenza di un opportuno valore dello

smorzamento, il sistema tende ad esplodere.

La risonanza (armonica), dunque, è un fenomeno che si presenta in sistemi dinamici che

hanno movimenti oscillatori e che sono forzati con un segnale la cui frequenza è pari a

quella del sistema in condizioni libere (senza forzamento)

5. Derivare le condizioni matematiche per cui un oscillatore forzato entra in risonanza

Si consideri l’equazione differenziale a coefficienti costanti del secondo ordine:

2

() ()

+ + () =

2

con a, B ϵ R>=0.

La soluzione dell’equazione è del tipo:

() = () + ()

con

- x (t) soluzione dell’equazione omogenea (u = 0) che assume la forma:

omog

− 2

− −

+ ( + )

1 2

1 2 0

() = =

2 2

> 4 < 4

- X (t) soluzione particolare dovuta alla presenza del forzamento

part

Considerando un forzamento di tipo sinusoidale:

=

0

con F0 e (omega_f) che sono ampiezza e frequenza del segnale di forzamento, ponendo

= 2 e = è la frequenza naturale del sistema e è detto coefficiente di

dove

N2

N N

smorzamento. L’equazione dinamica dell’oscillatore forzato si può quindi riscrivere come:

2

() () 2

+ 2 + () =

0

2

Si può dimostrare che la soluzione di questa equazione differenziale è nella forma:

−

() + () = ( + ) + ( + )

() =

0

Infatti:

Considerando x (t) = K cos t

part 1 F

Le derivate prima e seconda del termine sono: F2 F2

' ''

e

x (t) = - K sin t + K cos t x (t) = - K cos t - K sin t

F 1 F F 2 F 1 F 2 F

part part

Dato che: 2

d x(t) dx(t)

+ + x(t) = F sin t

0 F

2

dt dt

I valori delle costanti K1 e K2 si ottengono uguagliando i coefficienti dell’ultima eguaglianza

6. Quale relazione sussiste tra l'evoluzione dello stato di un sistema LTI e i suoi modi

naturali? Fornire un esempio pratico

per un sistema lineare il moto e la relativa risposta si possono scomporre in due contributi:

– uno dipendente SOLO dalle condizioni iniziali (moto libero e risposta libera)

– uno dipendente SOLO dall’ingresso (moto forzato e risposta forzata)

7. Per quale motivo è importante conoscere la risposta all'impulso di un sistema? Scrivere

l'espressione della risposta dell'uscita all'impulso di un sistema LTI nel dominio del

tempo

Le risposte all’impulso sono molto impostanti dal punto di vista di un sistema dinamico:

a partire dalle risposte all’impulso e è possibile ottenere le

()| ()|

= () = ()

risposte (dello stato e dell’uscita) in presenza di un qualsiasi ingresso.

(−) (−)

y() = C x + � () + () = C(t)x + C(t) + Du(t)

0 0

t0

8. Per quale motivo è importante conoscere la risposta all'impulso di un sistema? Scrivere

l'espressione della risposta dello stato all'impulso di un sistema LTI nel dominio del tempo

Le risposte all’impulso sono molto impostanti dal punto di vista di un sistema dinamico:

a partire dalle risposte all’impulso e è possibile ottenere le

()| ()|

=() =()

risposte (dello stato e dell’uscita) in presenza di un qualsiasi ingresso.

(−) (−)

x() = x + � () = ()x + ()

0 0

t0

9. Scrivere l'espressione del movimento dell'uscita y(t) di un sistema LTI descritto nello

spazio di stato mettendo in evidenza l'evoluzione libera e quella forzata

Dato il sistema LTI (stazionario e lineare nello stato e nell’ingresso), l'espressione del

movimento dell'uscita y(t) può essere scritta in forma generale come:

y() = ( , , , ) = ( , , , 0) + ( , , , )

0 0 0

dove: è detto movimento libero (u = 0)

l

è detto movimento forzato

f

10. Scrivere l'espressione del movimento dello stato x(t) di un sistema LTI descritto nello

spazio di stato e commentare i vari termini

Dato il sistema LTI (stazionario e lineare nello stato e nell’ingresso), l'espressione del

movimento dell'uscita y(t) può essere scritta in forma generale come:

, , , ) = ( , , , 0) + ( , , , )

() = (

0 0 0

dove: è detto movimento libero (u = 0)

l

è detto movimento forzato

f

11. Mostrare la struttura della forma canonica di Jordan e discutere della dimensione e

struttura dei vari blocchi

Si consideri il caso in cui una matrice A diagonalizzabile, in questo caso è possibile ottenere

una matrice diagonale a blocchi, detta matrice di Jordan che ha una struttura:

1

= [ ]

...

La struttura dei blocchi Ji dipende dal tipo (reale o complesso coniugato) e dalla

molteplicità dell’i-esimo autovalore, nel caso in cui l’autovalore è:

- Reale con molteplicità uA = uG = 1 allora Ji = [ʎi]

- Reale con molteplicità uA = uG = k allora Ji ϵ M (k x k)

Per quale motivo è stato affrontato il problema della diagonabilizzità di una matrice nel

12. contesto dei sistemi LTI?

Per poter calcolare l’evoluzione (libera e forzata) del sistema è necessario saper calcolare

l’esponenziale della matrice dinamica, si distinguono due casi:

diagonalizzabile: si devono introdurre i concetti di autovettore e autovalore di una matrice

-

- non diagonalizzabile: forma canonica di Jordan

13. Quale relazione sussiste tra i modi naturali di un sistema LTI e i suoi autovalori? Mostrare i

possibili andamenti dei modi naturali al variare degli autovalori

La matrice di Jordan ha una struttura:

1

= [ ]

...

- Nel caso in cui gli autovalori della matrice di stato siano tutti reali e distinti,

necessariamente la forma di Jordan è una matrice diagonale.

- Nel caso in cui gli autovalori della matrice di stato siano complessi coniugati e distinti, del

tipo λi = σi ± ωi i due modi corrispondenti ad una coppia di autovalori complessi coniugati non

possono venire eccitati indipendentemente. Pertanto, per ogni coppia di autovalori complessi

coniugati σi ± ωi, nell’espressione del movimento libero compariranno due termini.

14. Qual è l'utilità del criterio di Routh? Quando tale criterio fornisce condizioni necessarie e

sufficienti?

Il criterio di Routh: a partire dai coefficienti del polinomio caratteristico, si costruisce una

tabella seguendo certe regole (riassunte nella prossima slide): se gli elementi della prima

colonna di tale tabella sono tutti dello stesso segno allora si può concludere che il sistema

ha tutti autovalori a parte reale negativa. Si noti come la verifica della stabilità asintotica di

un sistema si sia ulteriormente semplificata: usando questo criterio, infatti, si riduce alla

costruzione di una tabella. A titolo di esempio, per un sistema di grado = 5 il criterio di

Routh richiede 3 operazioni..

Questo risultato è molto utile in quanto permette di decidere sulla stabilità asintotica di un

sistema guardando solo i coefficienti del polinomio caratteristico. Tuttavia, nel caso in cui

> 2 e almeno un coefficiente sia negativo il teorema non consente di affermare nulla.

15. Enunciare il criterio di Routh mostrando il procedimento per poterlo applicare

Per un sistema LTI:

- se = 1,2 stabilità asintotica > 0,

⇔ ∀

se > 2 stabilità asintotica > 0,

- ⇒ ∀

Si consideri un generico polinomio di grado

() :

- Nella prima riga della tabella di Routh si riportano i coefficienti _, _(−2)….

- Nella seconda riga della tabella di Routh si riportano i coefficienti _(−1), _(−3)…

- Nella terza riga della tabella di Routh si devono inserire coefficienti _i

- Nella quarta riga della tabella di Routh si devono inserire coefficienti _i

- Nelle righe successive si itera il procedimento

- Quando le ultime due righe della tabella sono nella forma

k1,1 k1,2 0 k1,1 k1,2 0

| oppure |

k2,1 k2,2 0 k2,1 k2,02 0

si calcola l’ultimo coefficiente

k1,1 k1,2

det |

k2,1 k2,02

k = e la costituzione della tabella si arresta.

-k2,1

16. Fornire la definizione formale della trasformata di Laplace e commentarne i limiti di

validità

La trasformata di Laplace è un operatore matematico che consente di associare ad una

funzione variabile reale (ad esempio il tempo), una funzione nella variabile complessa s.

L’utilità della trasformata è dovuta al fatto che consente di trasformare sistemi di equazioni

differenziali lineare a coefficienti costante in equazioni algebriche lineari.

L’integrale che definisce la trasformata di Laplace non è detto che esista i.e. la trasformata

di Laplace di una generica funzione può non esser definita.

Una condizione sufficiente affinché la trasformata di Laplace esista è che ci sia un valore

reale positivo per cui

∞ -t

� |f(t)|e dt < ∞

0

Se questa condizione vale, allora si può concludere che la trasformata è ben definita

()

per ogni la cui parte reale è maggiore o uguale a tale valore (i.e. ≥

e[s] ).

I segnali che sono fisicamente realizzabili possiedono sempre una trasformata di Laplace

17. Si consideri un sistema con uno zero e due poli. Commentare (anche mediante grafici)

l'andamento della risposta al gradino al variare della posizione reciproca dei poli e degli

zeri

- Zero a dx: sempre sottoelongazione, tanto maggiore quanto più lo zero è piccolo (cioè

“lento”) rispetto al polo dominante (in modulo).

- Zero a sx: sovraelongazione solo se lo zero è piccolo rispetto al polo dominante (in

modulo)

18. Si consideri un sistema con uno zero e un polo. Commentare (anche mediante grafici)

l'andamento della risposta al gradino al variare della posizione reciproca del polo e lo

zero

nel sistema con un polo e uno zero l’uscita assume all’istante t=0 un valore diverso da 0,

nonostante le condizioni iniziali siano sempre ipotizzate nulle

L’uscita del sistema è pertanto discontinua nella risposta al gradino (per sua natura

discontinuo). Ciò è tipico dei sistemi con grado relativo r = 0, per i quali l’ingresso influenza

direttamente l’uscita Nei sistemi con grado relativo r > 0 ciò non avviene, perché l’uscita

y(t) è l’integrazione r-esima della variabile influenzata dall’ingresso (cioè dry(t)/dtr), il che

ne filtra le discontinuità

19. Si consideri un sistema asintoticamente stabile caratterizzato da due poli complessi

coniugati. Mostrare graficamente e commentare i vari parametri che possono esser

associati alla risposta a gradino

Dato un sistema:

G(s) = = G(0) = 2 2

+

(s - + j)(s - - j)

Si ottiene:

t t t>=0

y(t) = μ [1 - e cost + e sint ]

Vi è la possibile presenza di oscillazioni smorzate

Scrivere una generica funzione di trasferimento in forma di Bode commentando la natura

20. e