Orale Meccanica Razionale

RIASSUNTO DEL LIBRO DI Demeio E DEGLI APPUNTI PRESI A LEZIONE

Appunti di

Meccanica Razionale

di Stefano Bompadre

Domande Orali del 16/03/2020

• Trasformazione B rotazione matrice d'inerzia
• Eq. cardinali della dinamica
• Gradi di libertà punti materiali
• Sistema olonomo solo vincoli olonomi
• Principio di d'Alembert
• Espressione lagrangiana della velocità
• Moto rigido piano (3 definizioni)
• Dimostrazione \vec{WL} \times \vec{R} = ...
• Proprietà punti asse di mori → hanno velocità // a A
• Curva descritta dal C.I.R.
• Teorema di Huygens
• Criterio di Dirichelt → perché rimanere confinato in un
• Simmetria materiale
• Formule di Poisson
• Th. Mozzi → assi di mozi
• Teorema di Cauchy
• Eq. di Lagrange
• Th. König 1° & 2°
• Sistema solidale
• Gdl corpo rigido
• Perché \sum \vec{F}_{A_{int}} = 0 → X la 3^a delle di Newton
• Necessità e sufficienza eq. dinamica

La matrice "R" rappresenta la composizione delle 3 rotazioni ed è data da R = R₃ R₂ R₁

R =

• R₁₁ = cos ψ cos φ - cos θ sin φ sin ψ
• R₁₂ = -sin ψ cos φ - cos θ sin φ cos ψ
• R₁₃ = sin θ sin φ
• R₂₁ = cos ψ sin φ + cos θ cos φ sin ψ
• R₂₂ = -sin ψ sin φ + cos θ cos φ cos ψ
• R₂₃ = -sin θ cos φ
• R₃₁ = sin θ sin ψ
• R₃₂ = sin θ cos ψ
• R₃₃ = cos θ

→ Vettori Applicati: Coppia costituita da un vettore m e dal suo punto di applicazione A

→ Momento polare: M(o) = (A - O) x m

Momento del vettore applicato (A,m) rispetto al polo "O"

→ Sistema di n vettori applicati:

U = {(A_i, M_i)}_i=1^N

con

R = ∑ M_i risultante del sistema di vettori

I sistemi di vettori applicati per cui R = 0 e M(o) = 0 si dicono sistemi equilibrati.

→ Invariante scalare del sistema di vettori applicati La quanta I = M(o) . R

indipendentemente dalla scelta del polo (o), dove

R = risultante del sistema di vettori applicati

M(o) = momento risultante del sistema di vettori applicati

= ∑_i M_i(o)

Esistono delle relazioni tra le coord. polari e le coord. cartesiane dette formule di trasformazione

x = r cos φ

y = r sin φ

⇒

r = √(x² + y²)

tan φ = y/x

→ Vettori fondamentali:

• _ᵣ = versore radiale
• _φ = versore angolare

e si possono scomporre lungo le direzioni dei vettori ̂ e ̂:

• _ᵣ = ̂ cos φ + ̂ sin φ
• _φ = -̂ sin φ + ̂ cos φ

→ Curve nello spazio e nel piano

• Asse curvilinea

L’asse curvilinea s(τ) è una grandezza scalare funzione di τ (che misura le distanze lungo la curva a partire da un punto prefissato P₀).

d/dτ = √((dx/dτ)² + (dy/dτ)² + (dz/dτ)²)

⇒ s(τ) = ∫_₀ᵗ √((dx/dτ)² + (dy/dτ)² + (dz/dτ)²) dτ + s(τ₀)

→ Triedro fondamentale

• è un insieme di tre versori ortogonali definiti punto per punto sulla curva.

Sia P (x(s), y(s), z(s)) = P(s) punto funzione dell’asse curvilinea

Il vettore d/d = lim_∆s→0 (P(s+∆s) - P(s))/∆s

Il modulo unitario disposto lungo la tangente alla curva in P(s).

Introduciamo il vettore w = w₁ n + w₂ f + w₃ r

con w₁ = θβ b₂ = γb₂ = γb₂

w₂ = α₁ ₂ = α₂

w₃ = α₂ = β₁

Abbiamo che w × X =

lo stesso vale per w × f e w × r

• ⇨ Diversriamo uniciicato.

Supponiamo infatti esista un vettore w' tale che:

Abbiamo ancora che:

Per cui si ha:

w' - w × n = 0

w' - w × f = 0

w' - w × r = 0

Ovvero il vettore w' - w deve essere contemporaneamente ortogonale ai 3 vettori normalizzati che sono ortogonali tra loro cioè possibile solo se

w - w' = 0 ovvero w' = w

mẍ_tot + kx_F = F cos wt

 ẍ + w₀² x = ^F⁄_m cos wt   con  ^F⁄_m = k   w₀ = √^k⁄_m

 ẍ + w₀ x = k cos wt

Equazioni di ii ordine lineari non omogenee             = soluz. gen. della equazione omog. + soluz. part. omog. Soluzione generale

X_h(t)

X_h(t) = A₀ cos (w₀ t - φ)

Cerchiamo la soluzione particolare

X_p(t) = b cos wt   con   b = ^k⁄_{w0² - w²}

Soluzione generale

x(t) = A₀ cos (w₀ t - φ) + ^k⁄_{w0² - w²} cos wt(Velocità dello x₀ per w₀ + w)

In condizione in cui w = w₀ vi è risonanza e il sistema oscilla alla frequenza esterna w, con un’ampiezza molto più grande.

Quando w = w₀, c’è del modo dinamico

ẍ + w₀² x = k cos w₀ t

^X_h(t) = ^k⁄_{w0 t}                        → Vedere il  X_p(t) = ^kt⁄_2w0 sin w₀ tGrafico a pag. 9(Graph simile a quello)

Soluzione generalex(t) = A₀ cos (w₀ t - φ) + ^kt⁄_2w0 sin w₀ tPer le curve di risonanza

Oscillatore armonico smorzato e forzato (F = F₀ cos wt)

mẍ_tot + cẋ(t) + kx(t) = F cos wt

   ẍ(t) + ^cẋ(t)⁄_m + ^k⁄_mx(t) = ^F⁄_m cos wt

               =

      ẍ(t) + 2⍸ẋ(t) + w_n² x(t) = k cos wt

i valori di ampiezza X e sfasamento Ψ dipendono dalla pulsazione ω_n. Ez valgono:

X = ¹⁄_{√[(1-^(w/wn)²)]² + (2⍸[w/wn])²} tan Ψ = ^{2⍸ [w/w_n]}⁄_{1 - ^(w/wn)²}

con φm = k/ √^F[c/ w₀/w_n]Brano 0 librino 1

CAMPO DI FORZE

Definito in un dominio omegaxxR^3 è una funzione vettoriale F: R^3->R^3 di cui i componenti sono di classe C^1 continua e differenziabili in omega.

Quindi F(x,y,z) = F_x(x,y,z)i + F_y(x,y,z)j + F_z(x,y,z)k con F_x, F_y, F_z ∈ C^0

Sia γ una curva regolare a tratti → (il cui intervallo può essere suddiviso in un numero finito di intervalli in modo che ognuno di essi sia regolare) contenuta in D, di estremi a^b = AB

Allora il lavoro del campo di forze lungo la curva di estremi A B vale:

L__AB(γ) = ∫_a^b F • dp (per componenti) L__AB(γ) = ∫_a^b (F_x dx + F_y dy + F_z dz)

W = forma differenziale

Se W è esatta (∫_γ ∃ differenziabile tale che dF = W) Allora il campo di forze è conservativo (l'integrale dipende solo dagli estremi)

Quindi esiste una funzione U(x,y,z) detta potenziale del campo tale che

dU = W

→ con Fx = ∂U/∂x Fy = ∂U/∂y Fz = ∂U/∂z

E = ∇U

→ Introduciamo V = U detta energia potenziale→ Un campo conservativo è irrotazionale ∇xF = 0 → poiché R: ∇xE = ∇x(∇U) =

∂^2U/∂y∂x-∂^2U/∂x∂y = 0 () sempre derivati misti

→ Se il dominio è semplicemente connesso (una curva nel dominio può deformarsi fino a diventare un punto) Allora E è conservativo se e solo se Irrotazionale (∇xF = 0)

↓