Domande Orale teorico Meccanica Razionale

Cap 1 - Vettori

1. Cos'è una terna levogira?

   Una terna contenuta \( (O, x, y, z) \) è detta levogira se è positiva rispetto alla rotazione antioraria attorno all'asse z per sovrapporre l'asse x all'asse y secondo il più piccolo dei due angoli formati dai piani assi in questione.

2. Cosa rappresenta il prodotto misto tra 3 vettori linearmente indipendenti? Come si calcola?

   Per 3 vettori linearmente indipendenti tra loro \( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \), il prodotto misto fra di essi rappresenta il volume del parallelepipedo formato dai 3 vettori applicati a uno stesso punto. È positivo quando la terna levogira, oppure è l'opposto di tale volume se questi formano una terna destrorsa. Nel caso di vettori linearmente dipendenti, il prodotto misto è nullo. Si prende la matrice il cui determinante è il prodotto esterno tra \( \vec{u} = \vec{v} \land \vec{w} \).

3. Quando il doppio prodotto vettoriale tra 3 vettori è associativo?

   Numericamente il doppio prodotto fra 3 vettori non è mai associativo. Tuttavia, se \( m, n \) sono paralleli o entrambi perpendicolari a \( v \), allora diventa \( (k \land v) \land w = u \land (v \land w) \).

4. Spiegare come si può decidere che una terna di vettori linearmente indipendenti è levogira.

   Una regola pratica per stabilire se una terna è levogira è quella detta "della mano destra". Ossia, si chiede il polso della mano destra seguendo il più piccolo fra gli angoli positivi, z e y, la direzione dei pollici indica il verso dell'asse z. Se i pollici sono concordi la terna è levogira, in caso contrario è destrorsa.

Cap 2 - Sistemi di vettori applicati (S.V.A.)

1. Fornire esempi di sistemi di vettori applicati di grande interesse nella meccanica.

   Un vettore applicato è una coppia formata da un vettore e dal suo punto di applicazione \( (P, f) \). Questo rappresenta un modello matematico assai utile in diversi casi, ad esempio:

   • Il sistema quantità di moto \( \sum: \{(r_i, mv_i), i=1, n\} \)
   • Una sollecitazione di forze \( E_{pi}: \{(a_i, F_i); i=1, n\} \) applicati a punti di un corpo.

1) Dimostrare la legge di variazione del momento polare di un S.V.A.

Se il momento polare rispetto a un polo A' e pari al momento polare rispetto ad un altro polo qualunque B aumentato del momento polare del risultante rispetto al primo polo.

Per: Q = Q₁; i rispettivi momenti H_A e H_A'; si ha:

H_A = ∑Ql_A; H_A' = ∑Q'l_A'

Quindi H_A' - H_A = ∑[(P_res . Q₁) - (P_res - Q)] ∧ r_A = ∑(Q-Q₁)l_A = (Q-Q₁) ∧ ∑l_A + (Q-Q₁) ∧ R.

Quindi H_A' - H_A = (Q-Q₁) ∧ R => H_A' = H_G + Q ∧ R, c.v.d.

3) Perché il momento di una coppia non dipende dal polo?

Considerando la coppia Σi: {(A, r₁), (B, r₁)}, preso un qualunque polo Q si ha:

H_Q = GA ∧ r + GB ∧ (r') = GA ∧ r - GB ∧ r = QA ∧ r - QB ∧ r = QA ∧ r + QB ∧ r = (BQ + GA) ∧ r = BA ∧ r