Orale meccanica dei solidi e delle strutture

STATICA DEI MEZZI CONTINUI

Relazione di Cauchy

€+3

Ì necessaria

forza superficie

di

di

SFORZO unità

ta CAUCHY per

= = traslazione

equilibrio del

alla

l'

' per

, continuo

-21 corpo

0nA

\

'

02522 ↳ dipende posizione di

dalla

' rana P

• e

, ha

normale

dalla

P

i •

|

\ Xz

-

. -

- -

-

- - -

- -

-

"

i impongo equilibrio faccia

traslazione

l' tra la obliqua

→ alla le

e

- tasta

•

i. perpendicolari

tre facce

i

É Ai

µ 03923 -22=015211-0%22+0;D

↳ LÌ -15

tornar

DIA )

tridimensionale A2a

-23

continuo

corpo nas

non

=

I. A2a )

i

cosina

DEI hai

→

noi =

= - ,

- .

- 021

021 031

Tu 022 032

Jaz 012 Naz

t ha

t

= Mae }

023 023 033

013 .

-

531

021 hai

911

= Ti Mai

Od

° Naz

012 022 032 ]

=

] !

RELAZIONE

023 033

013 ha 3 . di

¥

- CAUCHY

di

componenti

di

TENSORE l'

lungo xs

Xi ↳

ha e

2

,

CAUCHY i. giacitura

J cartesiano

asse

=

3) normali

componenti

li

Ti 1,2

• i =

= ,

li

ti ) tangenziali

componenti

FJ

• ] =

,

↳ di

la

piano

al agisce

ortogonale

i cui componente

- su

one

- sforzo

7- direzione sforzo

di

della componente

Simmetria del tensore di sforzo

↳ imponendo

dimostra equilibrio

l'

si xi

all'

intorno G parallelo

rotazione

alla ponente e

per

asse ,

Xi

a ↳ il analogo ami

gli

vale ragionamento altri

per

»

µ

i forze

le che

uniche

• distanti

932023

intervengono -22

Orsa

rotazione

nella sono e ,

facce

i taxi baricentro delle

entrambe altre

dai

-21

0nA

'

'

02522 i

q 1 G

, " Volume -220¥

@ -23

' 0¥

=D

A

, = ( )

:-, di

ah CAUCHY

di

-

.

. SFORZO

. .

. . . . -

. tensore

, Il

/

/

. SIMMETRICA

. - MATRICE

UNA

% E

" " I'

. -22 -23

° 023=932

9¥

523 032

" Dj →

A O

A →

- .

-

→

'

A

ti 03523

Componenti idrostatica e deviatorica .fi Si

Ti =p +

] ]

> i.

E COMPONENTE

COMPONENTE

di DEVIATORI CA

IDROSTATICA tu

SFORZO

ta [

{ [

)

011 -1933

( +022 033

2911 922

=

p 31

21

- -

3

↳ IDROSTATICA [

PRESSIONE § tra

= -933

-12922

-511 32

3

Iei

{

[

fi In -511-022+2033

[

}

= 23

, 3

↳ Prodotto di KRONECKER

tra

- -

0

p O a

• -

Tasi

- tra

o -

O

P 011 p

0 O

p -

o o p tra t

- [ 022

+

- o o »

= p

p -

ti T2 033

3

3 p

o

o p - .

.

- vuole

rispetto si

al sistema ( Xi )

Xz

di sforzo xs

lo stato

moto

→ , , ,

Rotazione di un tensore col sistema di riferimento di

giaciture

alle un nuovo

rispetto 3

sforzo

lo

valutare di

stato

di riferimento

sistema

X2

①

y

A ×

i • µ

Da

+3 Tt

Z - -

- -

-

_

- _

Tzx I

ÒXX Tyx tra

nei Nn

011

NXZ nyn n

hx -21

31

}

/ a

TZY •

tsz

[

ltyy hyihyz.my 022

( = NXZ h

NYZ -22

xy 12

}

TXZ tyz ti I

Ozz }

3

NX

ha MI NZ

hzz 033 3

hz 23

} }

- - .

- - - -

- ""

'"

e e

TENSORE

TRASPOSTA

MATRICE tensore

=

del tensore e - -

-

degli

motrice Oh oze

071

q # =

=

. normali

sforzi OZZ

0×2 012 023

-0×3 973

Ho

quieti "

' ?

"

È E E

= . .

Sforzi e direzioni principali voglio lungo

trovare o na

→

Ia

{ Ida

= ottano

(

Ena

Faa

→ Ea

→

- -

E. ora ,

= sottrazione

nella

scolora

inserire

di

↳ lo

identità

↳

Relazione motrice

[ per

→

I =

CAUCHY SFORZI

PRINCIPALI

SFORZI e

gli

autovolori sono

gli DIREZIONI

PRINCIPALI

autoveicoli PRINCIPALI

DIREZIONI

le

gli sono I

- -

- . .

Tra I

011 9 hai 0

31

- rt

{ O

I

I ,

03

°

Tre T.io?tJzo-Js=o

T TÌ

dette

→ O

ore o

»

o naz =

o

= -

- =

- ¥ n

Ti

t' simmetrica

è

motrice

la

033 o

o

13 ha O

}

- quindi lineare

era

- alga

dall'

- -

- ,

, radici reali

esistono 3

{ 911 +033

In +022

=

gli tartan testa

52=0 test

di

33

] INVARIANTI

Jz 2033

} +511533

SFORZO

E →

1 sono 32

; - - -

, 53 = giacitura

TENSIONE tensione

della

LO PRINCIPALE

) valore rispetto

• SFORZO quale

su alla

una

: solo

ha )

(

tensoriale

lo 9 componenti

solo

stato NORMALI

direzioni perpendicolari

PRINCIPALI alla giacitura

direzioni :

•

Equilibrio in forma forte e al contorno

+3

§ 03 do

+ 3

! parallelepipedo lati

di

→ dxs

dai dxz e

,

l 91

' - èoeoi

i lungo ha

direzione si sforzo superficiale

→ ogni o

uno uno

e

- ,

^ i faccia

superficiale pari

parallela

sulla a

sforzo

; È

forza

volume ha di volume

sul si

→ una

Oz :

- -10102

Oz

da

,

'

DX

} : impongo

→ equilibrio

l'

I. traslazione

alla

xz

→

e

- -

-

. -

-

-

-

.

. .

'

D , È È

dm

i DÌ

dxs.at/3-CoI-dJddX1dX3v

È )

Judo dxzdxst ( dxzdxs

- + -

'

, , te

- e ,

, Ens

)

[

'

dxz }

f è } Èdxndxzdx

dà

= }

, è )

di ( d Xzd

Xzdxat

- Xe +

+

3=0×1

← " 03 ¥

- → → →

DI

DI dal tf

+ O

=

+ DX

da d Xz 3

tu

→ → →

dose

DI dare

{ # FE O

t

+ DX

da d Xz 3

→ → →

dj

daII' dj AM F

ti i

E- o

0 + ] =

]

t

- ,

→ → →

dei

3+0102-3

↳ Ff O

t

+ DX

da d Xz 3

→ impone

l' equilibrio simmetria tensore

la

rotazione del ois

alla osi

-

-

2011 dati ttf Fa

+ o

+ =

EQUILIBRIO

→ lungo

FORMA FORTE

IN ,

: ×

, IÌ

sultane : :

euro .

lungo +3

impone

→ che superficie

in

che affiora

EQUILIBRIO lo sforzo

al sia

contorno uguale alla

: F

di superficie

forza

¥

SULLA SUPERFICIE |

" ciò equivale tetraedro

isolare P

ad attorno punto

un ad un

superficie di

relazione

la Cauchy

applicare

di ad

e

f

→ È

n ttf

* ,

① ×

✓ 3

* fj

Ti di

→ RELAZIONE CAUCHY

mi

] =

Enti È

' " tornatene

\ µ =

011M¥

~ 5 fa

+031

-1021

{ M3

ha = fa

032

012 T ha M3

he t t

22 = F

+923 +933

013 nn }

=

ha ns

te

lungo fa

Trina Tsnh

{ 511

XI nn + +

}

+ o

=

lungo Ti fa

nztt

022

ha

XZ ns O

+ +

32

2 =

lungo f-

T T 033

X 3 +

h 3=0

13 t

nei 3

23 ha +

¥ equazioni incognite cioè

in tutto 6

ho 3 e ,

il continuo è indeterminato

storicamente

generico

↳ equilibrio

le di

sole equazioni di

permettono

non

in

risposta termini di

calcolare la stato

sua

di sforzo effetto di azioni

interno note

esterne

per

↳ delle al CONTORNO

condizioni

servono

Stato di sforzo piano e CERCHIO DI MOHR

f- Tnt

-

on

tttt tu

→ motrice simmetrica piano ora

sul E =

×

, ① .

-

Ai ¥

" ÷

⇐ In 2

\ X2 .

a

I y nx.LI?o.aB=fIII }

&

'

i. . ×

.

ora CI

:}

'

musico }

: " -

un

in -

• • +1 "

Tnz "

'

È e

* 0

=

911 511 ÷

iii.

ix. i.

Ty

# :

Da nx :

ha 2 :

×

×

÷ a. -

*

Tan :D

a ÷

sina.ae ÷

cosa

. .

n

→ DÌ tazzina

{ costa

ctxx Zthzninacosa

011

fax +

= +

= STATO

UNO

DI

ROTAZIONE

tay di

sink PIANO

→

cos' SFORZO

Ztiz

011 n'

Oyy E ora

+ a -

ay na

=

= cosa

tyonx tnzccosea

nina

Txy siria

ora )

con cosa + )

=

= - - - a)

XZ { }

III

:

Di aàona { }

aliena sino

→ componente a.

a. cosa

>

% !

• ' × cos'

011 rinata terrina

ora

a e 2

t.ie cosa

→

,

011 % %) }

{ III

" :

o E-

* Esima

da aioataaa

ds }

piena

• componente cosa

=

!

Tu dai Tizlcoss siria

( ) sinuosa

Jin ora )

+

- - -

in

•

4

Tra n'

f- nza

Nina

:[ cosa =

!

022 cos' { ( )

1 cosa

+

e =

~

, GEE Frignone

a. riso !

%

cos'

¥ n

a-

→ terrina

0=21 { ) )

(

Con 022

-1022 (

) on 2a +

+ cos

R -

te tra

( COSCZX

) )

{ sinza

Tar ora +

a -

• o

C fa

' ' \ elevando quadrato

al sommando

e

~ R2

!

it

di

CERCHIO ( o

→ c)

-

MOHR

E

componenti

fornisce le '

+022 con tra

ora )

011 R -

= +

=

e

tangenziale

normale 4

2

e ad stato

corrispondenti uno

in

di sforzo piano dato

un

qualsiasi

punto una

su

giacitura

di

del

→ UTILIZZO MOHR

CERCHIO OZ ?

N A

" @ H T'

• 21

• [

B T )

Tu 511

( J =

A 12

= -

q

-

- . .

. ,

pg ~

| 12

C

A

I Tar )

(

Da E

O

B

- 022

= =

911$ On

' A ,

•

I 011

I 08 Da fa

jonze ,

ora a

o

, tra

' oraria

positiva

e se

' 41

| Tan

↳

T a di

- - positiva

- O

- -

- - -

-

.

n rotazione

se

522

giaciture

esistono la

cui

→ 2 tensione

tra CIR

SI

è

t nulla =

tangenziale ,

↳ definiscono direzioni

giaciture le

queste tiri

I

due fan ( 2a ) =

agiscono gli

principali quali

sulle fiori

, 0221

-

↳

SFORZI PRINCIPALI , Imax Il

↳ ott

OI -

=

gli sforzi principali o sono

e

, gli

minimo

il

il massimo tra

e ↳ le tensioni tangenziali

normali

sforzi al variare delle si trovano

massime

in su

punto

giaciture un di

giaciture 450 rispetto

ruotate

principali

quelle CHI

a di

→ cerchio Mohr gli

nel

No B . raddoppiati

angoli sono

CINEMATICA DEI MEZZI CONTINUI

to

X3 t

da d. o re

M

P deformato

descrivere del

OBIETTIVO continuo

lo

• stato

pop :

→

X X coordinate lagromgiane materiali

° = o

× coordinate

X

° euleriano spaziali

o

=

a

Xz (

§ X.tt

→ del

moto corpo × =

Da xn

→ Due deformato

lo stato

descrivere continuo

del

utilizzati

approcci essere per corpo

possono :

1) indipendenti lagromgiane

coordinate

DESCRIZIONE GRANGIA le

NA quelle

LA : sono in

principalmente

il MSS

Usate

tempo t

e .

.

2) indipendenti euleriano il

quelle

coordinate

le tempo

EULERIANA

DESCRIZIONE sono e

: e .

meccanica fluidi

dei

principalmente in

usato .

di

cambiamento

→ configurazione

un dice

si congruente se :

continua

{ -

§ X

( )

è (

solo

ti compenetrazioni

valore di

: X

un

a no

-

, condizioni al

delle contorno

rispettosa

-

IPOTESI

→ SPOSTAMENTI

PICCOLI

DI

L' è

ipotesi approssimazione

piccoli

dei spostamenti un' cui

secondo : il equilibrio

spostamenti in cui l'

influenzare

deformazioni piccoli da

così

e

- non

sono modo

struttura

instaura nella

si equazioni equilibrio

imporre

di di

le configurazione

ciò iniziale

nella

↳ consente

↳ II. detto

II in r

+ + .

2×3

è

- traiettoria

possibile la lo cinematica

confondere assimilare la

spostamento ovvero

con , iniziale

di dalla

partire configurazione

di

finita atto moto a

quella un

a

CONFIGURAZIONE

DEFORMATA

IN configurazione

\ DEFORMATA

/

da R - -

-

- -

fai -

II

¥

'

da da

. 0¥

È

0¥ TYDX

dà

da

dsz ' =

o

= ,

,

TÈ E

TÈ da

ds

↳ }

è 2×3

incremento

l' infinitesimo

ds il

è

-

.

. . pi

. TE

del P -

spostamento

dello punto i

del B ↳

punto

allo

rispetto spostamento +2¥ di

2¥ GRADIENTE

osi dxs

da

due

es =

. ,

, SPOSTAMENTO

Lo

→ del da

può essere

spostamento P

punto causato :

RIGIDA

TRASLAZIONE

1 RIGIDA

ROTAZIONE

2 di di

volume

variazione forma )

e

(

pura

DEFORMAZIONE

3

↳ tutte

devo che racchiude

trovare formulazione le

una

↳ termini

di

suppongo 2

somma :

u n a E- È

fate

¥4

Il # + -

- -

parte parte

simmetrica

anti

simmetrica

¥

¥ E o

= +

- ,

il A 0 - .

- . . .

!

. . .

-

E- ÷

753

tiff .

.

.

.

, µ

quindi scrivere

posso ODX

So Ed

S X

+ -1

= !

← * DEFORMAZIONE

ROTAZIONE

TRASLAZIONE PURA

RIGIDA

RIGIDA

↳ spostamenti deformazioni finita

assimilare la cinematica

così piccoli quella

da poter

e sono a

configurazione (

parare dalla iniziale )

to

di

di a

moto

atto

un ÈH il

Po vale

sia

cui

DX so

spostamento

distante

Lo d a

P :

di punto

un

spostamento ,

,

dj d§

Soia DXJ

So DX

S →

t si

= = ¥ ti DX Ei

Si DX

Sai +

= + ]

] ]

]

la

ROTAZIONE ;)

ff '

Ois ¥

rigida → = -

, TÈ

;)

(

E 12 +

i

DEFORMAZIONE → ] =

pura

Significato fisico delle componenti del tensore di sforzo E )

(

) {

f- ( sen se

E Seat

sul tss

' su } .

+ , ,

t )

{ #

( Isi

¥

{ + si

=

= ]

= ,

{ ( (

51,2 { )

52,1 ) 52,3

( {

sa ) 53,2

52,2 t

t t

a

,

{ ( ) § (

53,1 §

51,3 (

S )

53,2

t 53,3

) 53,3

t t

2,3

dhtsni.IS#dH-si)7(sztfIdxn-sa)--------i

(

Olga =

; { III. IIII

#

dei HEI

fanno . .

)

I-II

( DI

dei En

dei

= 1 su

→ - =

=

# dei ¥

gli spostamenti molto

sono

*

• loro

la ,

piccoli così come

, variazione di

variazione di

lunghezza

11-2845=11-4

fi ) unitaria

y fiera

• = una

d dei

52 + sa

_

tanca

di )

= = =

Han

dei si

Se t

+ -

"

¥

.ae !÷÷a⇐

= è ipotesi

↳ di

piccoli

spostamenti

)

Ita

(

tanca

da dea

= ) set #

= - =

dXtktffI.pk

! se