Meccanica Razionale - Simulazione Esame orale

FORMULARIO

Proiezioni e Componenti

_nv = P_n(_nv) + O_n(_nv)

C_i(_nv) = _iv ||_nv||

1. Prodotto scalare

U·V = ||U||||V|| cos θ

2. Prodotto vettoriale

||U x V|| = ||U||||V|| sin θ

3. Doppio prodotto vettoriale

U x (V x W) = (U·W)V - (U·V)W

4. Divisione vettoriale

x = V₃V₂ + V₁V₃ + V₂V₁

5. Prodotto tensore

[U Ø V] =

_u1_v1 _u1_v2 _u1_v3

_u2_v1 _u2_v2 _u2_v3

_u3_v1 _u3_v2 _u3_v3

_u Ø _v x'= (_u·_v) x'

M₀₂ = R x (O₂ - O₁) + M₀₁

Asse centrale

|nP₁| = |nP₂|

|R_xH₀| = |R₁|

(P - O) = R_xH₀/_R||_R

|M₀₂|² = |M₁|² + |R x (Q - P_l)|² = |M_nl|

Cinematica

ẋ(t) = rs(t) e(t)

ẍ(t) = v(t) e(t) + a(t)e(t) + ė(t) M⃗( t)

ẋ̇(t) = v(t) e(t) + a(t) e(t)

v_P = v_A + w x (P - Q)

FORMULA GENERALE DELLA CINEMATICA RIGIDA

v_P = v_P o + v_P (p(t))

τ = velocità/ocloclone...

v_P = ocl

o v x(P - o₁) + tup( t)

TEOREMA DI COMPOSIZIONE DELLA

VELOCITÀ ANGOLARE

w = w(R) + w(T)

BASE = Transizione di V

BASE nel sistema S se questa e fissa

RU _____ R vi S_________S (__________S)

MOMENTO DI INERZIA I = ∫ 2M╷||p_k - p*_k□□━

TEOREMA DI MO

ω = ωxyzozoal

Legge di Variazione del Momento

M_O2 = Σγ x [(O₂-P_i) + (O₂-O₁)] =

= Σγ x (O₂-P_i + O₁-O₂) + Σγ x (O₁-P_i) =

= Σγ x (O₂-P_i) + M_O1

M_O2 = R x (O₂-O₁) + M_O1

Teorema sui Vettori Applicati

Dati S, R, M_O esiste S’, S’ = S (equivalente)

1. Se R = 0 ⇒ S’ è una coppia di momento pari al momento risultante di S
2. Se R ≠ 0
   1. Se γ = 0 ⇒ S’ è costituito da un vettore applicato in un punto dell'asse centrale
   2. Se γ ≠ 0 ⇒ S’ è costituito da un vettore applicato in O e una coppia.

Formula Generale della Cinematica

(di un solido in moto di rotazione e traslazione)

(P - O) = (P - Q) + (Q - O)

^d/dt Σγ_kJ_k + γQ

P = Σγk [w(t) x J_k] + γQ

v_p = w(b) x (P - Q) + γQ

γP = vQ + w x (P - Q)

Invariante Scalare

γ = R. M_O

Valore che non dipende dal polo o di riferimento

Asse Centrale

Def. luogo dei punti che scelti come polo danno un momento che o è || a R o si annulla se risultante esterna non nulla.

• {p | M_P è parallelo ad R oppure nullo: {p | M_P-δR, γ∈R}}

Equazione dell'Asse Centrale

p - Q = ¹/_||R|| x [R x M_o + γR]    (R≠0)

(Il momento calcolato su un punto proporzionale all'asse devia dalle impresse γ) ^M/||R||² R

Dim.

M_P = γR R. M_o = γ [J]_||R|| [γR/||R||² R]

Teorema di composizione delle velocità angolari

_P, _Q ∈ ^↵

_v^(R)_P=_v^(R)_Q+^w(^(T))×(_P-_Q)

_v^(R)_P-_v^(R)_Q=^w×(_P-_Q)

_v^(r)_A=_v^(r)_A+_v^(T)

_v^(R)_P=_v^(R)_P+_v^(T)

_v^(T)_p=_v^(T)_p+^w(^(T))×(_P-_Q)

_v^(T)_P-_v^(T)_Q=^w(T)(_P-_Q)

Dimostriamo quindi che:

_v^(R)_P-_v^(R)_Q-^w(^(T))×(_P-_Q)=

^w(^(R))(_P-_Q)+^w(^(T))×(_P-_Q)

^w=(^w(^(R))+^w(^(T)))

Dovremmo studiare l’energia cinetica in riferimento a corpi rigidi.

Supponiamo quindi di associare dei parametri lagrangiani

X_i = X_i(q₁, … , q_n), per un corpo rigido soggetto a vincoli se posizioni invarianti nel tempo per vincoli dei parametri lagrangiani

che può essere scritto come:

matrice Jacobiana applicata a