Appunti orale Meccanica dei solidi

Problema Torsione

di

Il problema problema

torsione corrisponde di

di all'assegnazione di forze

un

tali

sulle bosi chs :

Mes

re 1 me

0

= = 4)

(B

spostamenti

Utilizziamo agli

approccio n

un u

: = ,

{ unitario torsione

B di

angolo

: ingobimento

↑: funzione di

Cerchiamo elastico partire

del

quindi questo

problema

soluziona da

a

una

spostamento

di

campo :

is + ti.es=

Il = My es I >

BXz23x(x

: x2)

BM(x

X3)

(x

dave x2(2) x2)

x2 nuz(x

2 +

= =

, ,,

,

, , ,

e

subito

Da modulo

votazione 0(x3)

che BX3

di

di

s

qui capiamo es

una asse =

torsionale nota

votazione la

! !

bene deforma

chiamata , sezione

non

La dell'osse trave

traslazione direzione

nella della può eliminate

essur

panendo medio sullo della assiale

valore

ugesale componente

il sezione

zero

a :

(Y(X x2) de

,

a di E travo

detto

quanto calcolo

conferma se :

{ (

( ) { E

SynnexM = = = = )

(

Ψ )

B Equazioni

+

con × {

= +

z

. 2

-

2

>

- 1 , →

B(4 )

=

E23 2(x1 x2)-

O x

O

0 congruenza

,

,

,

lo

Quindi caratterizzano

le di E che

componenti stato nel

deformazion

di

tutte nulle

della .

piano sono

sazione

corrispondenti

Gli scorrimenti sono :

1 Viz(x1 x2) B(4 x2)

(x xz)

= -

,,

,,

, )

4 r

(

( ++

223 に , a

, 、

×

× 2 )

( ×

β

, 2 nulle

componenti

uniche

le di

Dunque sforzo sono

non

, :

" { 4 )

4 )

E (

513 GB ,

(

t + }

+

= = x

= 2

2 、

、 , Equazioni costitutive

>

-

B(4 )

23 x2)

G 2(x1

, x

+

= ,

,

Dunque tridimensionale che

equilibrio inizialmente

problema di

il ,

che era

, ,

possiamo dimensioni

in

suivere 2 : Idove 523er)

{

(divT

Quindi divt F

im

diventa o T

o +ze

=

= = +

-

: ,

OF

T o su

= T

. M

m =

-

La problema

delle perisette

rappresentazione di di

ci traduce il

componenti T

bidimensionale

differenziale di

della

termini ingobbimento

funzione P

in :

Vediamolo : 22 D (

4

J )

diVt ,

GB +

4 GB x

523 0

→ ,+

,

= =

=

. + 2

3 4 ,

2

1 ,

/ )

、

GB

=813 st 0

.

T

' 2 2

U µ

= µ

23 +

,

- - au

U

- s

M - 2

4

, Ua

+ 4 +

(

6 装

= taui riu 2

-

Il problema ricondotto P(X

funzione

dunque s alle determinazione 2)

di :

una ,

labbiamo Pl

differenziale

problema

quindi in

un .

Le di costante

problema

soluzione esiste che

i di

ed

questo unica une

e meno

il traslazione direzione

rigida assials

.

nelle

ruolo di

assume

Sappiamo calcolare

che m(X3) andiamo questo momento

Mez

= e :

,

) )x(ze

(xe (2)

u(X3) +

+

= )(x Gi

=> (523-XTegdt -xG(x)lez

x)

+

= ,

Gp) (x x)dt x

Xi integrali a xe

Miz-X is gli rispeto so

= o

+ +

= , & agli

inversi rispetto 192

assi

+

up[) XTc-*4 1) polare Fl Iz

inversio

da

= +

,

_

_ l'inerzia al

rispetto

avero d'area

eutro

tuto detto

vieus

questo RIGIDEZZA TORSIONALE

5 =

M dove strettamente positivo

Gp5 Ji

quindi B

d e

=

: = Io

limitato O JE

:

Dimostriamo limite

il J

superiors Io

:

)

(X -Jg

s)dt

xaY

T

Fo

5 Y Yiz dt

= * e-X

=

- ,

, 2- , ,

, Gf(Ye

(x4s

= -xYs)-r

-XPezdt

dir =

, ,

-

- 装

) 4

(

4 ds

ds

+ =

tau iuz

= =

- る y

by (

る )

fydiv da

uds

04

4 404 =

= =

- -

-

.

y +

2 %

= J )

Sg (

%

( 4

(

- ) 4

44 %

) D dA

4

44 +

+ da =

= 14

z ,

s

) -

e)

,

/4

-Jz 4 da

+

= , √

È negative

sicuramente quantità quindi 5-100 JEIo

une >

-

,

Dimostriamo limite :

inferiore