Orale fisica 2

Elettrostatica

Carica elettrica+ Campi elettrici+ Legge di Gauss+ Potenziale elettrico+ Capacita’ elettrica

Elettrodinamica

Correnti+ Campi magnetici+ Induzione e induttanza+ Equazioni di Maxwell+ Onde elettromagnetiche

La maggior parte dei corpi sono costituiti da carica elettrica, che può essere positiva o negativa. Alcuni corpi hanno carica neutra. Nel senso che le cariche positive e negative sono bilanciate ma, quando questo bilancio viene disturbato, la natura rivela gli effetti di una carica positiva o negativa.

Quando un corpo ha questo squilibrio di cariche positive o negative ed è vicino ad un altro corpo avviene un’interazione tra i due corpi. In particolare si viene ad instaurare una forza elettrica che può essere:

La materia è fatta di carica, la cui unità di misura è il Coulomb (C); ed è fatta di atomi che sono composti da particelle che si dividono in protoni (di carica positiva), elettroni (di carica negativa) e neutroni (di carica neutra).

In particolare protoni ed elettroni hanno stessa carica, ma uno positivo e l'altro negativo.

Cioè espressa come multipli di una carica minima, cioè la carica dell’elettrone.

Cioè, in un sistema, la carica iniziale è sempre uguale alla carica finale.

I materiali hanno un diverso comportamento quando c’è un passaggio di carica al loro interno. Si dividono in due grandi gruppi: isolanti e conduttori.

E possono essere carichi anche solo in parte, cioè una parte del corpo diventa carica e il resto rimane neutra.

In generale, se dei corpi sono isolanti dal punto di vista elettrico, lo sono anche dal punto di vista termico.

Tipicamente la maggior parte dei non metalli sono isolanti.

Tipicamente i metalli fanno parte di questa categoria che sono buoni conduttori di elettricità e anche buoni conduttori termici.

In generale, la grande differenza tra le due categorie sta nel fatto che gli elettroni degli orbitali più esterni, che costituiscono gli atomi dei materiali, sono debolmente legati e riescono ad allontanarsi facilmente dal nucleo e, quindi, trasportare carica all’interno del corpo.

I cui comportamenti rispetto al movimento di carica dipende anche dalle condizioni in cui si trovano, se esse risultano poi conduttori o isolanti.

Dove k è la costante della forza elettrica.

Campi elettrici

Il campo elettrico è la regione di spazio in cui agiscono le forze elettriche su altre cariche eventualmente presenti. Come per il campo gravitazionale, si dice che una carica elettrica, o una distribuzione di cariche elettriche, genera attorno a sé un campo elettrico, nel senso che modifica le proprietà dello spazio circostante in modo che una qualunque altra carica posta nelle vicinanze viene sollecitata da una forza di natura elettrica.

Il campo elettrico è un campo vettoriale, perché caratterizzato dalla forza elettrica, ed è conservativo, perché il lavoro che si compie per passare da un punto a un altro del campo dipende dai punti iniziale e finale.

Il vettore campo elettrico

Per verificare l'esistenza del campo elettrico generato da una carica q si introduce una carica di prova q₀, di intensità molto più piccola, nella regione di spazio occupata da q (è importante sottolineare che il campo generato da q esiste indipendentemente dalla presenza della carica di prova q₀). La forza esercitata da q su q₀, divisa per il valore di q₀, è indipendente dalla carica di prova.

Essendo e visto che si ha che², dove r è la distanza tra la carica q e il punto nel quale viene misurato il campo (con la carica q).

Nel Sistema Internazionale si misura in newton/coulomb (N/C).

L'intensità del campo elettrico dunque non dipende dalla carica di prova q, ma dalla distanza alla quale il campo viene misurato allontanandosi dalla carica q generatrice del campo, la sua intensità diminuisce.

Un campo elettrico può essere rappresentato graficamente attraverso le linee di forza: ciascuna di esse corrisponde, in ogni punto, alla traiettoria che verrebbe percorsa da una carica elettrica posta in quel punto.

Inoltre in ogni punto di una linea di forza l'intensità del campo è rappresentata da un vettore tangente alla linea in quel punto.

Le linee di forza sono orientate: il loro verso va dalla carica positiva (o dai corpi positivi) alla carica negativa (o ai corpi negativi).

La rappresentazione attraverso le linee di forza è abituale in fisica per visualizzare i campi vettoriali, ma corrisponde a qualcosa di realmente esistente, ma viene usata per individuare direzione e verso del campo in ogni punto dello spazio.

Dipolo elettrico

Un dipolo elettrico è un sistema composto da due cariche elettriche uguali e opposte di segno e separate da una distanza costante nel tempo.

Ci si mette nel punto p a una distanza r dal dipolo elettrico e in questo punto ci saranno due componenti, E+ (dovuta dalla carica positiva) ed E- (dovuta dalla carica negativa).

Nel punto p il campo elettrico sarà dato dalla sovrapposizione, quindi dalla somma vettoriale, dei due vettori.

• (Θ) θ = l’angolo formato tra la congiungente delle cariche positive e quella della cariche negative, e il punto p.
• A = distanza tra punto medio tra le due cariche e carica –q.
• √ + (ipotenusa triangolo rettangolo) = distanza tra p e -q.
• (Cateto del triangolo rettangolo) Cos θ = √ +.

Per procedere alla somma vettoriale dei due vettori E+ ed E- bisogna notare che:

Distribuzione lineare di carica

Generalizziamo ora al caso di distribuzioni continue di carica.

Ci riferiremo ora a densita’ di carica e useremo il calcolo infinitesimale per determinare il campo prodotto da alcune distribuzioni continue caratteristiche.

Elemento di carica dq in ds.

dq = λds.

All’elemento dq compete un elemento di campo dE.

dE = 1 dq / 4π� r² = 1 λds / 4π� r² = 1 λds / 4π� (R² + z²) � � � � θ dE forma un angolo con l’asse della distribuzione.

dE tutti contributi nella stessa direzione di uguale intensita’ // dE contributi uguali ed opposti a 2 a 2T.

Distribuzione lineare di carica.

z z cosθ = = 1 / r² 2 2(z² + R²) 2.

zλ dEcosθ = ds / 4π� (z² + R²)^3/2 0.

Sommo ora su tutti i contributi dq (=λds), ovvero per s che va da 0 a 2πR.

� � 2πR zλ zλ(2πR) E = dEcosθ = ds = / 4π� (z² + R²)^3/2 = / 4π� (z² + R²)^3/2 0 0.

Cioe’ la carica totale nell’anello, posso scrivere E come:

λ2πR = q. 1 qqz z>>R ∼ E / 4π� z³ 0. E = / 4π� (z² + R²)^3/2 0. z = 0 E = 0.

Energia potenziale del dipolo elettrico in un campo

E+ dipende dal suo orientamento nel campo.

p E+ sara’ minima quando ed sono allineati+ e’ simile ad un pendolo (ad una molla).

θ=90°.

Definiamo U = 0 se 0 θ.

Per ogni posso calcolare U(θ). Come? ΔU.

Considero = L ma un dipolo in un campo ha un momento meccanico. θ

Il lavoro sara’ dunque quello corrispondente ad una rotazione dal momento della forza agente � � � �� θ θ θ −L − −L− − −U = = τ dθ U == = pEsinθ τ dθ = L = τ dθ o o o 90 90 90.

�−pEcosθ −� ·U (θ) = = p E θ θ.

Quando un dipolo ruota da θ_i a θ_f, il campo E svolge un lavoro sul dipolo pari: L = -ΔU = -(U_f - U_i).

Legge di Gauss

dS = dA (stessa cosa), superficie gaussiana cilindrica, raggio R immersa in un campo elettrico uniforme asse del cilindro parallelo al campo Φ quanto vale il flusso di E attraverso la superficie?

� � � �� � � � � � � �· · · · φ = E d A = E d A + E d A + E d A a b c.

� � �� � o · −E −EA E d A = E(cos180 )dA = dA = a.

� �� � o · E d A = E(cos0 )dA = EAc.

� �� � o · E d A = E(cos90 )dA = 0b.

La legge di Gauss mette in relazione il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa con la carica contenuta in essa. Ɛ0.

Essendo: dS = 4πr² (perché area della superficie della sfera).

Simmetria cilindrica

φ = EAcosθ = E(2πrh)cos0 = E(2πrh).

q_int = λh.

� E(2πrh) = λh 0.

λ E = / 2π� r 0.

Simmetria piana

σ sottile lamina isolante di densita’.

� � �·� E d A = q_int 0.

� (EA + EA) = σA 0.

σ E = / 2� 0.

02 piastre conduttrici.

Caso (a) e (b): le 2 piastre, lontane, una con carica +σ e l’altra con carica -σ1 1.

Caso (c): le 2 piastre sono sufficientemente vicine. Le cariche di una piastra migrano per effetto dell’induzione causata dalla carica opposta sull’altra piastra, cosi’ il campo tra le 2 piastre sara’: 2σ σ1 1 E = = / 2� �0 0.

Simmetria sferica

Teoremi del guscio conduttore:

• Il campo elettrico esterno di un guscio carico conduttore e’ analogo al campo generato da altrettanta carica concentrata nel centro.
• Il campo elettrico all’interno di un guscio conduttore carico e’ nullo.

Dal teorema di Gauss: 1 q S1 (r>R) E = / 4π� r² 0.

E = 0 S2 (r<R).

Simmetria sferica - distribuzione uniforme di carica.

Caso A: semplice, sfruttiamo il risultato precedente.

Caso B: 1) la carica esterna contribuisce con E=0 (risultato precedente su S1), il campo sulla superficie dipendera’ solo dalla carica interna.

2) la carica interna q’ e’ pari a q’: q = V’:V (se la distribuzione e’ uniforme).

34 3 � rπrq �3 q = q= / 3R4 3q πR³ 3.

1 r q {} (r < R) E = q = r / 3 2 3 4π� R r 4π� R 0 0.

1 q E = (r > R) / 4π� r² 0.

Potenziale elettrico

Il generatore di forza elettromotrice è un dispositivo in grado di convertire energia di altra specie in energia elettrica, applicando una differenza di potenziale ai capi di un conduttore.

Se il generatore è in equilibrio e non è attraversato da corrente, la f.e.m. è pari alla d.d.p. esistente fra i morsetti.

Si chiama superficie equipotenziale il luogo dei punti dello spazio in cui il potenziale elettrico assume lo stesso identico valore: 1 V(r)= 4Ɛ.

Se la carica è positiva abbiamo delle superfici equipotenziali con centro nella carica. Tali superfici sono sempre perpendicolari alla linea di campo elettrico che passa per quel punto, quindi:

• Se il campo è radiale le superfici sono circonferenze.
• Se il campo è uniforme le superfici sono piani paralleli tra di loro e perpendicolari alle linee parallele del campo.

Se le cariche sono in numero maggiore la forma della superficie dipende dalla forma del campo rispettando sempre la condizione di perpendicolarità.

Come calcolare U conoscendo E

Calcolare il lavoro L svolto da E su una carica di prova positiva tra una configurazione iniziale e una finale. ΔV sara’ infine pari a -L/q.

� �� F = q E ·dL = F d�s.

� ·dL = q E d�s.

� f � ·L = q E d�s i.

� f �− − ·V V = E d�s f i i.

� f �− ·V = E d�s se V_i = V (∞) = 0 i.

Casi specifici: potenziale di una carica puntiforme

Spostiamo una carica q da un punto P a distanza infinita 0.

� ·E d�s = Ecosθ ds = Eds→(ds dr).

� ∞− −V V = Edr f i R.

1 q E = / 4π� r² 0.

� �� ∞∞ q 1 q 1 1 q − − −0 V = dr = = / 4π� r 4π� r 4π� R 0 0 0 R R.

1 q V (r) = / 4π� r 0.

In generale: potenziale di un dipolo

� �−q 1 q V = V + V = + =−+ / 4π� r r −0 +.

� �−q r r− + / 4π� r r −0 +.

r - r ~ dcosθ - +.

r r ~ r² - +.

� � q dcosθ q pcosθ −q1 q V = = V = V + V + =−+ / 4π� r r4π� r 0 0 −0 +.

� �−q r r− + / 4π� r r −0 +.

Dipoli indotti

Abbiamo visto il caso di dipoli permanenti come le molecole d’acqua: la distribuzione della nuvola elettronica e’ tale da sbilanciare spazialmente la carica nella molecole: risulta un momento di dipolo non nullo. Non polare.

In generale: se mettiamo pero’ un atomo o una molecola in un campo elettrico intenso, questo puo’ modificare la distribuzione spaziali degli elettroni, parliamo di momento di dipolo indotto.

Ci sono due casi:

• Distribuzione di carica lineare.
• Disco carico.

In conclusione:

Ma in ogni punto dell’asse del disco, il potenziale è:

Potenziale per un conduttore carico isolato

In un conduttore con carica in eccesso, questa si distribuisce sulla superficie.

Tutti i punti sono equipotenziali sia internamente che esternamente.

La proprieta’ vale anche per conduttori cavi.

� f �− − ·V V = E d�s = 0 V = V f i f i i (E = 0).

Capacita’ elettrica

E’ un dispositivo in grado di immagazzinare la carica elettrica. È costituito in linea di principio da due conduttori isolati e posti a distanza finita, detti armature. Caricando i due conduttori con carica opposta, si forma tra di essi un campo elettrico, e si produce quindi una differenza di potenziale.

Il condensatore come elemento circuitale

• Il simbolo del condensatore è il seguente:
• Se una corrente I giunge sull’armatura positiva del condensatore, allora in un intervallo di tempo ∆t la carica aumenta di una quantità ∆Q=I ∆t.
• Una corrente uguale porterà via una quantità di carica uguale ed opposta dall’altra armatura.
• Si dice comunemente che nel condensatore “scorre corrente” anche se in realtà tra le due armature non si ha un reale movimento di cariche.

Costante relativa dielettrica

• La presenza di un materiale tra le armature di un condensatore ne aumenta la capacità di un fattore (numero puro) ε_r detto costante dielettrica relativa che dipende dalla caratteristica del materiale.
• Valori comuni della costante dielettrica relativa sono compresi tra 2 e 10 (carta, olio, gomma, mica, vetro porcellana...) ma ad esempio l’acqua presenta un valore di 81 e per altri materiali come ad esempio gli ossidi di titanio si riescono a raggiungere valori compresi tra 100 e 200.
• In presenza di campi elettrici intensi, però, si possono creare scintille tra le armature in grado di distruggere i condensatori. Il minimo campo in grado di produrre una scintilla è detto rigidità dielettrica e vale tipicamente qualche decina di kV/mm.

Condensatore piano

Consideriamo la superficie gaussiana in figura.

q = � EA 0.

� � f dV = Eds = E ds = Ed i 0.

q � A 0 C = = / V d.

−12 2 2 · · →� = 8, 85 10 C /N m F/m 0.

� = 8, 85 pF/m 0.

Condensatore cilindrico

2 cilindri lunghi L, coassiali, di raggio a e b.

Scelgo una superficie gaussiana chiusa una cilindrica di raggio r.

q = � EA = � E(2πrL) 0 0.

q E = / 2π� rL 0.

� �+ a q dr q b −V = Eds = = ln( ) / 2π� L r 2π� L a 0 0.

− bL C = 2π� 0 / ln(b/a).

Densita’ di energia

u = energia/unita’ di volume.

2U CV u = = / Ad 2Ad.

q � A 0 C = = per un condensatore piano V d.

1 V 1 cioe’ 2 2 u = � ( ) u = � E 0 0 / 2 d 2.

Se esiste un campo elettrico E in un certo punto dello spazio e’ associata a quel punto una certa quantita’ di energia.

Elettrostatica

Carica elettrica+ Campi elettrici+ Legge di Gauss+ Potenziale elettrico+ Capacita’