Opzioni, appunti

Praticamente il moto Browniano è uno strumento matematico che tiene conto

dell’aleatorietà.

_ è consentita la vendita allo scoperto del sottostante, come dello strumento derivato

_ non sono ammesse opportunità d'arbitraggio non rischioso

_ il sottostante e lo strumento derivato sono scambiati sul mercato in tempo continuo

_ non sussistono costi di transazione, tassazione, né frizioni di altri tipo nel mercato

_ vige la perfetta divisibilità di tutte le attività finanziarie (è possibile scambiare frazioni

arbitrariamente piccole di ogni titolo sul mercato)

_ il tasso d'interesse privo di rischio r è costante, e uguale per tutte le scadenze.

Sono possibili diverse derivazioni dell'equazione di Black-Scholes. Nel loro lavoro originale

del 1973, Black e Scholes costruiscono un portafoglio neutrale al rischio (approccio

hedging, in cui cioè il rischio del portafoglio è reso nullo), approcci alternativi sono la

derivazione sulla base di un portafoglio che replica il valore del titolo derivato, nonché una

derivazione tramite l'approccio standard del fattore di sconto stocastico.

Una volta derivata l'equazione di Black-Scholes, la definizione di condizioni al contorno

alternative consente di caratterizzare i diversi strumenti derivati.

Si consideri uno strumento derivato il cui prezzo è denotato da f(St; t) , dove St è il prezzo

del sottostante, l'obiettivo dell'analisi è determinare le condizioni che devono essere

soddisfatte da f() , sotto l'ipotesi di assenza di opportunità d'arbitraggio. Si ipotizza che il

sottostante segua un processo di moto browniano geometrico, descritto tramite

l'equazione differenziale stocastica: dS = Sdt + SdWt

La formula del modello Black Scholes pel le opzioni call è:

c= S0N (d1)- Ke^-RT N (d2)

invece per le opzioni put è: p = Ke−rT N(−d2 ) − S0N(−d1)

in cui:

ed N (·) è la funzione di distribuzione cumulativa per una variabile normale standardizzata.

Le proprietà della formula di Black Scholes sono:

• Quando S0 diventa molto elevato, c tende a S0 – Ke–rT e p tende a zero

• Quando S0 diventa molto basso, c tende a zero e p tende a Ke–rT – S0

Il prezzo dipende dal prezzo del sottostante, dal prezzo strike (prezzo al quale il titolo

sottostante può essere acquistato o venduto all’esercizio), dal tempo mancante alla

maturità dell’opzione e dal tasso di interesse del titolo privo di rischio, tutte variabili

osservabili nelle specifiche del contratto o nel mercato. L’unica variabile che deve essere

stimata in modo ragionevole è la volatilità σ. Quindi è spesso considerata la variabile più

significativa nell’option pricing.

Quando si utilizza in pratica la formula di Black and Scholes. tutte le variabili di stato e i

parametri devono essere identificati, tra questi un ruolo chiave ha ovviamente la volatilità.

La volatilità implicita però non fa riferimento ad alcuna nozione statistica e il concetto

fondamentale su cui si basa è quello secondo il quale in un mercato ricco di liquidità sono

le leggi dell’offerta e della domanda fissano i prezzi di equilibrio del mercato.

Una contraddizione evidente col modello teorico nasce dal fatto che in questo modo non

c’è una sola volatilità implicita per ogni titolo, ma ce ne sono tante quante i diversi prezzi di

esercizio.

La determinazione della volatilità nel modello di Black Scholes è l’aspetto più

problematico. Contrariamente alle ipotesi del modello sembra che la volatilità subisca

variazioni nel tempo e non possa essere approssimata da valori costanti per periodi di

tempo abbastanza lunghi. Metodo Montecarlo

I modelli di valutazione delle opzioni finanziarie, data la loro complessità, utilizzano spesso

il metodo Monte Carlo poiché non è possibile esplicitare, come è invece possibile in Black

e Scholes, il prezzo oggi del contratto di opzione. Alla base di ogni applicazione c’è

sempre l’ipotesi di non arbitraggio.

La denominazione Monte Carlo è stata introdotta all’inizio della seconda guerra mondiale

da Von

Neumann e Ulam mentre lavoravano al progetto Manhattan, presso il centro di ricerche

nucleari Los Alamos nel New Mexico, nella scelta del nome gli studiosi si ispirarono

all’aleatorietà dei guadagni che caratterizza la celebre casa da gioco del principato

monegasco.

Von Neumann e Ulam utilizzarono la simulazione di numeri casuali per generare i

parametri delle equazioni che descrivevano la dinamica delle esplosioni nucleari. Era così

possibile ottenere le soluzioni delle equazioni senza utilizzare i dati sperimentali che

avrebbero dovuto avere un

numero troppo alto. Il termine Monte Carlo Method può essere anche utilizzato come

sinonimo di Simulazione Stocastica.

Generalmente il valore dell’opzione si ottiene attualizzando il valore atteso del payoff

dell’opzione al tasso privo di rischio R, nel caso di una call europea tale attualizzazione

sarà: C0 = e−R(T −t)E [max (ST − E, 0)]

dove T −t è il tempo mancante alla scadenza e E è al solito il prezzo di esercizio.

Per valutare il prezzo dell’opzione oggi è necessario individuare una serie di possibili path

(sentieri) per il prezzo futuro del bene sottostante, sfruttare l’ipotesi di assenza di rischio e

ricavare il prezzo come media attualizzata dei possibili payoff futuri.

In questo modo si genera una sequenza di processi che rappresentano le possibili

traiettorie del prezzo SiT per i = 1, ..., N dove N deve essere un numero grande intorno a

10000, tale generazione sfrutta degli algoritmi per la generazione di numeri casuali.

Noto il prezzo di esercizio si calcolano gli N payoff, uno per ogni processo di prezzo

generato e la media campionaria di tali payoff attualizzati è la stima del prezzo

dell’opzione oggi. Le greche

Le greche rappresentano numericamente, in forma sintetica e semplice, le diverse

dimensioni del rischio connesso al possesso di opzioni. Sono il risultato di specifiche

funzioni ed in base al diverso fattore di rischio analizzato, si hanno greche diverse. Le

greche sono una collezione di valori statistici (espressi in percentuale) che forniscono

all’investitore una migliore visione generale sulla performance di un titolo. Questi valori

statistici possono essere utili nella scelta della migliore strategia d’investimento.

Delta: il Delta di un'opzione indica la sensibilità del premio dell'opzione stessa rispetto alle

variazioni del sottostante.

In termini più formali, il Delta è la derivata prima del premio dell'opzione rispetto al prezzo

del sottostante. Per opzioni vanilla il delta è:

positivo per compratori di call e venditori di put;

• negativo per compratori di put e venditori di call.

• vicino a zero per le opzioni out of the money;

• vicino all'unità per le opzioni in the money;

•

Per opzioni non plain vanilla, o esotiche, il valore del delta può, in condizioni particolari,

essere maggiore dell'unità.

In un'ottica di hedging, il delta indica la quantità di sottostante da comprare/vendere per

compensare le perdite/guadagni derivanti dal movimento del premio dell'opzione (strategia

Delta neutral). Una strategia delta neutral, data dall'acquisto di 100 opzioni Call e dalla

vendita di 4000 azioni sottostanti, non sia soggetta né a perdite né a guadagni; il rischio

legato all'andamento del prezzo del sottostante è stato coperto. Non bisogna dimenticarsi

che, trattandosi di una derivata di prim'ordine, il Delta indica la quantità esatta di

sottostante da acquistare/vendere solo per piccoli movimenti del prezzo del sottostante.

Infatti, il delta varia al variare del livello del prezzo del sottostante. In caso di grandi

movimenti del prezzo del sottostante, il Delta non è più sufficiente per effettuare una

copertura corretta. Il delta è inoltre influenzato dal livello della volatilità implicita e del

tempo a scadenza. Per questa ragione, la strategia Delta neutral necessita in via teorica di

continui ribilanciamenti al cambiare dei parametri di pricing dell'opzione.

Beta: il Beta misura la correlazione tra il singolo titolo e il mercato.

Theta: Il Theta rappresenta la variabilità nel tempo del premio di un’opzione. Il Theta

indica la

variazione assoluta del valore dell’opzione, per ogni riduzione di “un’unità” temporale.

Esso è pari alla derivata prima del premio rispetto al tempo. Il theta di un'opzione vanilla,

anche detto "declino temporale", è quasi sempre negativo, ovvero il prezzo dell'opzione

diminuisce man mano che il tempo passa e che ci si avvicina a scadenza.

Gamma: il Gamma misura la sensibilità del Delta rispetto ad un’unità di movimento del

prezzo del

sottostante. il Gamma è la derivata seconda (e non prima come per il Delta) del premio

rispetto al prezzo del sottostante.

Vega (kappa, omega, tau): Il Vega rappresenta la sensibilità del premio di un'opzione

rispetto a

variazioni della volatilità implicita del sottostante. Il Vega indica la variazione in valore

assoluto

dell’opzione per ogni cambiamento di un punto percentuale della volatilità. In pratica il

Vega è la derivata prima del premio rispetto alla volatilità. Per opzioni vanilla, un

compratore di opzioni (sia call, sia put) ha sempre un Vega positivo, ciò significa che,

all'aumentare della volatilità, il compratore di opzioni guadagna sempre. Ovviamente, un

venditore di opzioni Vanilla ha sempre un Vega negativo.

Rho: il Rho rappresenta la sensibilità del premio di un’opzione rispetto al tasso d'interesse

privo di

rischio. Il Rho indica la variazione in valore assoluto dell’opzione se il tasso d’interesse

privo di

rischio varia di un punto percentuale.

Le greche possono essere espresse in:

numero di contratti: in questo caso, la greca indica il numero di contratti da

• comprare (greca con segno negativo) o da vendere (greca con segno positivo), per

coprirsi dai rischi connessi al movimento di un fattore di rischio. Le greche sono

quindi fondamentali per l'hedging delle posizioni opzionali

unità monetarie: in questo caso, la greca indica quanto si guadagnerebbe o

• perderebbe se il fattore di rischio considerato subisse un piccolo movimento.

È sempre possibile passare da una greca espressa in numero di contratti ad una espressa

in unità monetarie, conoscendo il prezzo del sottostante e la lot size del contratto.

Opzioni sui Tassi d'