Operazioni tra sottospazi - Algebra e geometria lineare

Tosetti Luca 09/10/2020

Operazioni tra sottospazi

OPERAZIONI TRA SOTTOSPAZI

Esistono diverse operazioni effettuabili tra i sottospazi:

Intersezione:

 V

W U

U e W sono sottospazi di V (e quindi sono spazi vettoriali a loro volta).

Per dimostrare che anche U ∩ W è anch’esso un sottospazio di V occorre

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

V V V V

dimostrare per ogni , appartenenti a U ∩ W si ha che +

1 2 1 2

⃗ ⃗

V V

∈ U ∩ W e che per ogni K(scalare) ∈ R, si ha che K e K ∈ U ∩ W.

1 2

⃗ ⃗

V V

Questo porta a dire che sia che appartengono sia a W, che a U.

1 2

Considerando ad esempio come sottospazi vettoriali due piani, la

loro intersezione consisterà nello spazio vettoriale della retta nata dall’intersezione

tra quei due spazi. Retta

intersezione

2 piani N.B: Per essere sottospazi devono

Necessariamente passare per

l’origine

Unione:

 L’unione di due sottospazi non è in generale un sottospazio:

2

R

U U W non è un sottospazio vettoriale, poiché è sì chiuso rispetto al

prodotto Scalare (Il prodotto di uno scalare per un vettore appartenente ad U U W,

da come 1

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Operazioni tra sottospazi

Risultato un altro vettore dell’insieme U U W), ma non lo è rispetto alla

somma di vettori.

Somma:

 Per poter operare con l’unione tra spazi vettoriali, occorre considerare il più

piccolo spazio vettoriale che contenga come sottoinsieme U U W. Tale spazio

vettoriale è costituito dalla somma dei due sottospazi U e W.

U, W sottospazi di V

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

U + W = { + | ∈ U, ∈ W } Span { U U W }



U W U W

U U + W U U W U + W

⊆ U + W W ⊆ ⊆

Sottospazio Sottoinsieme e

Sottospazio non

sottospazio

U + W U + W = R Più piccolo

2 

U

Sottospazio che contiene U e W.

W

Inoltre quando si vanno a sommare due sottospazi lo span, ovvero il sistema di

generatori dello spazio vettoriale risultante dalla somma è dato dall’unione delle

due basi dei due sottospazi sommati.

U + W = Span { B U B }

u w

Tuttavia, in generale l’unione delle basi non costituisce un’altra base. Infatti:

Dim(U + W) ≤ DimU + DimW.

Infatti la dimensione del sottospazio (ovvero il numero di elementi che

costituiscono la base) di una somma di sottospazi, è data dalla formula di

Grassmann: dim U + dim W = dim (U + W) + dim (U W)

∩

Andando ad esempio a considerare due piani come sottospazi vettoriali U

e W. W ( ) ( )

1 0

y = 0 ,

B = 0 1

U U