Operazioni tra sottospazi - Algebra e geometria lineare

Operazioni tra sottospazi

Sistono diverse operazioni effettuabili tra i sottospazi:

Intersezione:

Se VW UU e W sono sottospazi di V (e quindi sono spazi vettoriali a loro volta).

Per dimostrare che anche U ∩ W è anch'esso un sottospazio di V occorre dimostrare che per ogni v, w appartenenti a U ∩ W si ha che v + w ∈ U ∩ W e che per ogni K (scalare) ∈ R, si ha che Kv e Kw ∈ U ∩ W.

Questo porta a dire che v e w appartengono sia a W, che a U.

Considerando ad esempio come sottospazi vettoriali due piani, la loro intersezione consisterà nello spazio vettoriale della retta nata dall'intersezione tra quei due spazi.

Unione:

L'unione di due sottospazi non è in generale un sottospazio:

2RU U W non è un sottospazio vettoriale.

Poiché è sì chiuso rispetto al prodotto Scalare (Il prodotto di uno scalare per un vettore appartenente ad U U W, da come 1Tosetti Luca 09/10/2020 Operazioni tra sottospazi Risultato un altro vettore dell'insieme U U W), ma non lo è rispetto alla somma di vettori.

Somma:

• Per poter operare con l'unione tra spazi vettoriali, occorre considerare il più piccolo spazio vettoriale che contenga come sottoinsieme U U W. Tale spazio vettoriale è costituito dalla somma dei due sottospazi U e W.
• U, W sottospazi di V⃗ ⃗ ⃗ ⃗
• U + W = { v | v ∈ U, w ∈ W } Span { U U W } → U W U W U U + W U U W U + W ⊆ U + W W ⊆ ⊆
• Sottospazio Sottoinsieme e Sottospazio non sottospazio U + W U + W = R Più piccolo 2 → U
• Sottospazio che contiene U e W. W
• Inoltre quando si vanno a sommare due sottospazi lo span, ovvero il sistema di generatori dello spazio vettoriale risultante dalla somma è dato dall'unione delle due basi dei due

sottospazi sommati. U + W = Span { B U B }u w

Tuttavia, in generale l'unione delle basi non costituisce un'altra base. Infatti:

Dim(U + W) ≤ DimU + DimW.

Infatti la dimensione del sottospazio (ovvero il numero di elementi che costituiscono la base) di una somma di sottospazi, è data dalla formula di Grassmann: dim U + dim W = dim (U + W) + dim (U ∩ W).

Andando ad esempio a considerare due piani come sottospazi vettoriali U e W.

W =
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 2)

U =
(1 0 0)
(0 0 1)

Questa costituisce un sistema di generatori ma non una base, in quanto l'insieme di vettori è linearmente DIPENDENTE (ovvero ogni vettore dell'insieme si può scrivere come combinazione lineare degli altri). In questo caso per ottenere la basa occorre semplicemente togliere uno tra i 4 vettori per ottenere un insieme linearmente dipendente.

Somma diretta:

Questa somma è diretta, e si indica con V ⊕ V ⊕ ... ⊕ V, quando ogni elemento di V + V + ... + V si scrive in modo UNICO.

Come nella somma diretta tra due sottospazi, vi è una importante osservazione da fare. Ovvero che la somma V + V + ... + V è diretta se e solo se è verificato che:

1 + 2 + ... + m = 3