Onde elettromagnetiche e fenomeni associati

C.N.D.E. ELETTROMAGNETICHE

∮_S E̅ · dS̅ = _Σ⁄_ε₀

∮_S B̅ · dS̅ = 0 → sorgenti

∮ E̅ · dl̅ = - dΦ(B)/dt

∮ B̅ · dl̅ = μ₀I_c + μ₀ε₀ dΦ(E)/dt

Variazione di E/di primo B

⟹ μ₀ (A · C dΦ(E)/dt)

Applico legge di Ampere

∑ E̅ ⟶ attraverso da I_c

∑ non attraversate da I_c → paradosso

μ₀ I_c ⟶ μ₀ (A · C dΦ(E)/dt)

E = q/ε₀ A

A area armature condensatore

μ₀ I_f = μ₀ dΦ(E)/dt = μ₀ ε₀ A d(E/A)/dt

→ ∮ B̅ · dl̅ = μ₀ I_c + μ₀ ε₀ dΦ(E)/dt

Se sono mai esistite e continuano ad esistere le cariche:

∮ E̅ · dl̅ = 0

∮ E̅ · dE̅ = dΦ(B)/dt

∮ B̅ · dS̅ = 0

∮ B̅ · dl̅ = μ₀ ε₀ dΦ(E)/dt

Equazione di un’onda

d²E̅/dx² = (μ₀ε₀) d²E̅/dt²

doppia derivata delle coordinate spaziali e doppia derivata delle coordinate temporali

N² = 1/ε₀μ₀

Trasformo le equazioni di Maxwell in forma differenziale

∇ · E̅ = 0

∇ · B̅ = 0

∇ x (∇ x E̅) = - ∇² x E̅

∂B/∂t - ∇ x E̅

∇ x ∂B/∂t = - ∇² E̅

∇ x ∂E̅ - ∇ x ∇ x B = ∇² E̅

∂E̅/∂t

m

μ₀J_e(dJ/dE) + μ₀ε₀ ∇ x E

B = ε₀ E₀ = c²

μ = c, c²

E(x,t)

t = 0

R_t

Δ x = Δ s se l'onda non si deforma

E : f(x + Δ x + Δ ct - f (x,t)

fronte d'onda

equalizzazione due andamento ordinare piano onda sferiche fronte

Onda sinusoidale: periodiche con tutte f (x, t)= A sin(kx - at)

A sin{K (x

+ ϕ fase arbitraria

K = ^2π/_λ periodo λ [m^-1

ω = ^2π/ _T pulsazione [s]

ω/k = Δ t = 1/ λ

Esercizio

I = 1 kW/m²

(Calcolare valori max di E e B

(irradiazione solare sulla superficie terrestre)

E_s = ²/_c · √1 kW/m²

B_s = E_s/c

E_s = c · √μ₀ ε₀ < B_terrestre (20 - 70) μT

Vettore di Poynting

S = ^{ε₀ c}/₂ E₀²

I = ½ c ε₀ E₀²

|S| = I

nel vuoto

Per un'onda monocromatica sinusoidale

E(x, t) = E₀ sin ω (x- ut)

nel visibile frequenza 100 THz 10¹²

f(x - ut)

Lo soddisfano le eq. dell'onda

I = ^{E₀ c}/_√2

istantanea

_{< I >} = ^{E₀ c}/_√2 < E₀ ^E₀/₂

media

onda m(q|s)

media di quella istantanea

Esercizio

Condensatore a piani piani paralleli:

ΔI curent ad un rate dV/dt

Dimostriamo che I_s = I_c corrente nei fili che alimentano C

corrente di

spostamento

I_C = dQ = ^{C dV}/_dt

I_s = ε₀ dΦ(E) = ^{ε₀ A ΔE}/_dt = ^{ε₀ A}/_d dV/_dt

ΦBale_l = μ₀ (I_C + I_S)

IV eq. Maxwell

Esercizio

B(R = 50cm) = 2 μT

1) Rate di variazione del campo E

2) E aumenta o diminuisce

dB × 2 μ = - μ₀ ε₀ ^dc(E)/_dt = - μ ₀ ε₀ 2πr² ^dc/_dt

dc = 2.2·10^-9

dH/dt = 4.1·10^-9 · 8.85·10^-12 · 5·10^-2 = 3.2·10^-7 /ms

Il campo sta aumentando

la corrente entra.

sta aumentando le cariche sulle armature del condensatore

Vedi eq 2.2

Fig 8.2

f = d[_BB₀x(t)]/dt

_BB = B₀r(t)

p₀ forza magnetica: diretta in senso opposto a j₀

Em = B₀B₀z*b (p_c)

molar _BB₀ R

df/dt = _BBr

df = B₀B₀z dt

m R² d_t

f = dt x j₀: B₀z

• m = B_t x
• m R²

Velocità decresce linearmente

indipendente dal verso di B

z = x + iy

|z| = √x²+y²

z = x + iy

x/√(x²+y²) + iy/√(x²+y²)

π/2 cos(θ)

|z|(cos θ + i sin θ) |z| e^iθ z

z₁ + z₂ |z₁|+|z₂| e^{i(θ₁+θ₂)}

moti armonici come vettori rotanti

A cos (k_f-ωt) = A e^i(k_f-ωt) + e^-i(k_f-ωt)

A sin (k_f-ωt) = A e^i(k_f-ωt) - e^-i(k_f-ωt)

• ogni funzione sinusoidale può essere rappresentato come Σ di funzioni complesse

oppure prendendo la parte Re (c (t))

A cos (k_f-ωt) = A e^i(k_f-ωt)

Esempio:

Spaziatura delle linee? distanza tra frange di interferenza

d = 500 mm

Onda monocromatica λ, una sola):

Pm

- ζ_x | > λ

P₂

δ ≈

ΔI = I₁ (1 + cos_δ)

1 < I₁ cos_2δ)

-

Massimi:

x

d - sin θ = m λ

d

Δλ sin θ = m λ

dλ d

x₁ = 2 mm

x₂ = 3.5 mm

m

m = 1 sin θ = λ/d

m = 2

x₂ = l sin θ = 4.2 mm

θ -> 0

λ = d/m = 166 nm

λ = d/m

166 nm ≠ 286 nm

DIFFRAZIONE:

p - λ λ fronte d'onda varia con la direzione dispersione spaziale

I(θ), I(x)

I(ξ)

Secondo l'ottica geometrica (zona d'ombra)

p

oltre ostacolo

Dietro:

p

p

Nel esperimento di Young queste 2 sorgenti qui, due impotenti sorgenti che interferiscono

E_p = ∫ dE_i

I A fronte generico

dλ E I |₂

Cos₂

proporzionale ad dx

onda sferica

lo spostamento AB

lo spostamento relativo dipende dell'intensità del campo

E_p = ∫ dE_i

Ep(x, t) = |

2 |

K pin φ (1 - | e^{-i K} = sin ξ dx

Ax e^iωt

A sin θ

□

E_p - K

e^{i (K}

4

e^iωt

{ S _i m d

⎯ e^{i + ξ} - e^{-i x} ⎯}

2i

Sistema a M fenditure

rilievo di diffrazione

• d distanza tra fenditure → = interferenza
• b larghezza delle fenditure = diffrazione

N fenditure uguali ed equispaziate

p sistema periodico

1. Regimi di picco
2. Effetti di interferenza e tra le fenditure
3. E_p = Re { E_T }
4. I_k = k²
5. Fenditure nel proprio periodo
6. I_p singola fenditura forma (della fenditura)

1. E_p = A_D sin φ _b

   α = (A_D sin φ _b)/2 e^iωt

   β = (KD sin Θ)/2 sin β

   senza geometrica

   K = e^αiωk(1 - e^αiωN)

2. EE_p = eⁱ F

3. Re (E_T) = Re (A_D sin φ e^iωt)
4. Re = cos φ + i sin ωt

I_p = A²D² sin² φ sin² (dφ/2N)

Re sin (nω) = cos α

5. F_p = I_p sin φ sin (dφ/2N) sin^(dφ/l) (dφ/2N) sin^(dφ/l)

φ = ((n)π/(2l)) α