Numeri reali - introduzione

Introduzione ai numeri reali

Definizione

Denotiamo con (R, +) un insieme, i cui elementi saranno chiamati numeri reali, i quali soddisfano le seguenti proprietà:

• (R, +) è un gruppo abeliano;
• Indicando con 0 l'elemento neutro dell'operazione +, (R - {0}, ·) è un gruppo abeliano;
• Per ogni a, b, c in R, si ha a(b + c) = ab + ac;
• (R, ≤) è totalmente ordinato;
• Per ogni x, y, z in R, se x ≤ y allora x + z ≤ y + z;
• Se x ≤ y e z > 0, allora xz ≤ yz;
• Se x ≤ y e z < 0, allora xz ≥ yz;
• Assioma di Dedekind o della completezza ordinale: se A e B sono sottoinsiemi di R tali che A ≤ B, allora esiste un ξ in R tale che A ≤ ξ ≤ B.

Come è ben noto, le proprietà precedenti - esclusa la settima - sono vere anche nel campo razionale. La differenza tra Q e R sarà quindi nella proprietà 7 e nelle sue conseguenze.

Teorema 1.1

L'equazione x² = 2 non ha soluzione in Q.

Il precedente teorema è equivalente al fatto che Q non verifica la proprietà di completezza ordinale. Infatti, consideriamo le due classi (separate):

• A = {q ∈ Q : q² < 2}
• B = {q ∈ Q : q² > 2}

È immediato riconoscere che A, B ≠ ∅ e A ∪ B = Q. Tuttavia, la coppia A, B non ammette elemento separatore in Q. Infatti, supponiamo ξ elemento separatore e proviamo che ξ non appartiene a A ∪ B. Se ξ ∈ A deve aversi ξ² < 2. Usando il postulato di Archimede si vede che è possibile scegliere n ∈ N in modo che n² ξ² < 2 quindi ξ non può appartenere all’insieme A. In maniera simile si prova che ξ non appartiene a B, da cui l’assurdo.

Estremi di un insieme numerico

Sia X un insieme non vuoto. Un numero k si dice un maggiorante per X se x ≤ k per ogni x ∈ X. Un numero h si dice un minorante per X se x ≥ h per ogni x ∈ X. Un maggiorante che appartiene all’insieme X si dice massimo mentre un minorante che appartiene all’insieme X si dice minimo.

Teorema 2.1

Sia X ⊆ R con X ≠ ∅. Se X ammette massimo (minimo) questo è unico.

Dimostrazione: Segue immediatamente dalla definizione.

Un insieme X si dice limitato superiormente se ammette maggioranti mentre si dice limitato inferiormente se ammette minoranti. Indichiamo con X^*, X_* rispettivamente l’insieme dei maggioranti e dei minoranti di X. Se X è limitato sia superiormente che inferiormente si dirà limitato. Poniamo sup X = min X^* se il minimo esiste e poniamo inf X = max X_* se il massimo esiste.

In generale, un insieme limitato può anche non avere estremi. In R, invece ogni insieme...