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Numeri reali - introduzione Appunti scolastici Premium

Appunti di Analisi 1 della prof.ssa Passarelli sull'introduzione ai numeri reali: Definizione, Estremi di un insieme numerico, de finizione di potenza, proprietà principali del logaritmo, Cenni di calcolo combinatorio, Formula del binomio di Newton.

Esame di Analisi 1 docente Prof. A. Passarelli

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Appunti di Analisi Matematica I ∗

Viceversa, se valgono 1. e 2. abbiamo che la 1. implica che L X mentre la 2. dice che

∗ ∗

− ∈

L ε / X e quindi L = min X .

In modo simile si dimostra il seguente

⊂ 6 ∅.

Teorema 2.4 Sia X X, X = Allora un numero l è estremo inferiore di X se e solo se:

R, ∗

≤ ∀x ∈

1. L x X;

∀ε ∃ ∈

2. > 0, x X : l + ε > x .

ε ε

Definizione 2.1 Date due classi numeriche A, B separate e non vuote diciamo che sono contigue

se l’elemento separatore è unico.

Osservazione 2.1 Se due classi A, B sono separate e contigue si ha: ξ = sup A = inf B.

Teorema 2.5 Due classi separate A, B sono contigue se e solo se

∀ε ∃a ∈ ∈ −

> 0, A, b B : b a < ε.

ε ε ε ε

Dim. Usando l’osservazione precedente e le caratterizzazioni date dai teoremi precedenti,

possiamo dire che

∃a ∈ ∈ − < a , ξ + > b ,

A, b B : ξ ε ε

ε ε 2 2

da cui −

b a < ε.

ε ε

Viceversa, ≤ − ≤ − ∀ε

0 inf B sup A b a < ε, > 0

ε ε

e quindi sup A = inf B. n

∈ ≥

Teorema 2.6 Dati x > 0, n n 2 esiste un unico numero ξ > 0 : ξ = x.

N,

Il numero ξ la cui esistenza è assicurata dal teorema si chiama radice n -esima aritmetica di x

e si indica con il simbolo x.

n n

Esempio 2.1 Come applicazione del teorema precedente studiamo l’equazione x = a. Nel caso

in cui n è dispari, x ed a hanno lo stesso segno. Allora x è positivo e l’unica soluzione è quella

data dal teorema. Se n è pari, l’equazione ammette anche una soluzione negativa a e quindi

n

±

se a > 0 e n pari, l’equazione ammette due soluzioni di segno opposto a. Supponiamo adesso

n

a < 0. In tal caso - affinché l’equazione ammetta soluzioni - n deve essere dispari ed inoltre x < 0.

√ √

n n −a −x −a − −a.

n n

Abbiamo: x = a ovvero (−x) = da cui = e quindi x = Se anche in questo

3

G.Di Fazio

√ √ − −a.

n

caso conveniamo di indicare con a l’unica soluzione dell’ equazione allora a =

n n

Teorema 2.7 L’assioma di Dedekind implica la proprietà di Archimede.

∈ {q ∈ ≤

Teorema 2.8 Sia x L’insieme : q x} ammette massimo e, tale numero si denota

R. Z

con [x].

Da ciò si ha: ≤ ∀x ∈

[x] x < [x] + 1, R.

m , a > 0. Poniamo

Definizione 2.2 Potenza ad esponente razionale. Sia q = n

√ √ m

m

q

n m

≡ ≡ n

a a a = a .

n

Si ha:

Teorema 2.9

q s q+s

· ∀q, ∈

1. a a = a , s Q;

q s qs ∀q, ∈

2. (a ) = a , s Q;

q q q ∀a, ∈

3. a b = (ab) , b > 0q Q.

Teorema 2.10 Sia a > 1, x Allora le classi

R.

p p

{a ∈ {a ∈

A = : p p < x}, B = : p p > x}

Q, Q,

sono separate e contigue. ∈

Definizione 2.3 Potenza ad esponente reale - Dato a > 1, x poniamo

R

x p p

≡ ∈ ∈

a sup{a : p p < x} = inf{a : p p > x}.

Q, Q,

1

x ≡ ∀x ∈

Nel caso in cui 0 < a < 1 poniamo a , R.

x

( )

1

a

Si ha:

Teorema 2.11

x y x+y

· ∀x, ∈

1. a a = a , y R;

x y xy ∀x, ∈

2. (a ) = a , y R;

x x x ∀a, ∈

3. a b = (ab) , b > 0 x R.

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flaviael

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DETTAGLI
Esame: Analisi 1
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Passarelli Antonia.

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