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Numeri reali - introduzione Appunti scolastici Premium

Appunti di Analisi 1 della prof.ssa Passarelli sull'introduzione ai numeri reali: Definizione, Estremi di un insieme numerico, de finizione di potenza, proprietà principali del logaritmo, Cenni di calcolo combinatorio, Formula del binomio di Newton.

Esame di Analisi 1 docente Prof. A. Passarelli

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1. Introduzione ai Numeri Reali

1.1 Definizione ≡ · ≤)

Denotiamo con (R, + un insieme, i cui elementi saranno chiamati numeri reali, i

R

quali soddisfano le seguenti proprietà:

1. (R, +) è un gruppo abeliano; \ {0}, ·)

2. Indicando con 0 l’elemento neutro dell’operazione +, (R è un gruppo abeliano;

∀a, ∈

3. a(b + c) = ab + ac b, c R;

≤)

4. (R, è totalmente ordinato;

≤ ⇒ ≤ ∀z ∈

5. x y x + z y + z, ;

R

≤ ⇒ ≤

6. x y z > 0 xz yz;

≤ ⇒ ≥

6’. x y z < 0 xz yz; ⊆ ≤ ∈

7. Assioma di Dedekind o della completezza ordinale. A, B A B allora esiste ξ :

R, R

≤ ≤

A ξ B;

Come è ben noto le proprietà precedenti - esclusa la 7 - sono vere anche nel campo razionale.

La differenza tra e sarà quindi nella proprietà 7 e nelle sue conseguenze. È noto che

Q R 2

Teorema 1.1 L’equazione x = 2 non ha soluzione in Q.

Il precedente teorema è equivalente al fatto che non verifica la proprietà di completezza

Q

ordinale. Infatti, consideriamo le due classi (separate),

2 2

{q ∈ ≤ ∪ {q ∈ {q ∈

A = : q 0} : q > 0, q < 2}, B = : q > 0, q > 2}.

Q Q Q

6 ∅, ≤ ∪

È immediato riconoscere che A, B = A B, A B = Tuttavia, la coppia A, B non ammette

Q.

∈ ∈

elemento separatore in Infatti, supponiamo ξ elemento separatore e proviamo che ξ / A∪B.

Q. Q

Se ξ A deve aversi ξ > 0. Allora, 2

1 2ξ 1 2ξ + 1

2 2

ξ + = ξ + + ξ + .

2

n n n n 2

1

∈ < 2

Usando il postulato di Archimede si vede che è possibile scegliere n in modo che ξ +

N n

quindi ξ non può appartenere all’ insieme A. In maniera simile si prova che ξ / B da cui l’assurdo.

G.Di Fazio

1.2 Estremi di un insieme numerico

⊆ ≤ ∀x ∈

Sia X un insieme non vuoto. Un numero k si dice un maggiorante per X se x k X.

R ≥ ∀x ∈

Un numero h si dice un minorante per X se x h X. Un maggiorante che appartiene

all’insieme X si dice massimo mentre un minorante che appartiene all’ insieme X si dice minimo.

⊆ 6 ∅.

Teorema 2.1 Sia X X = Se X ammette massimo (minimo) questo è unico.

R,

Dim. Segue immediatamente dalla definizione.

Un insieme X si dice limitato superiormente se ammette maggioranti mentre si dice

R ∗

limitato inferiormente se ammette minoranti. Indichiamo con X , X rispettivamente l’insieme

dei maggioranti e dei minoranti di X. Se X è limitato sia superiormente che inferiormente si dirà

limitato. Poniamo sup X = min X se il minimo esiste e poniamo inf X = max X se il massimo

esiste.

In generale in un insieme limitato può anche non avere estremi. In invece ogni insieme

Q R

limitato ammette estremi. Ciò è equivalente all’ assioma di Dedekind.

Teorema 2.2 Sono equivalenti in R

1. Assioma di Dedekind;

2. Ogni insieme non vuoto limitato superiormente ammette estremo superiore in R;

3. Ogni insieme non vuoto limitato inferiormente ammette estremo inferiore in R.

∗ ∗

Dim. Proviamo che 1. implica 2. Data la coppia (X, X ) si ha che X X e quindi esiste

∗ ∗

∈ ≤ ∈ ≤

ξ elemento separatore. Dal fatto che X ξ si ha che ξ X mentre ξ X dice che

R ∗ ⊆ ≤

ξ = min X . Viceversa, siano A, B due classi separate e non vuote. Il fatto che A B implica

R

∗ ∗ ∗ ∗

≤ 6 ∅. ∃ ∈ ≥

che B A e quindi A = Allora sup A = min A . Poiché ξ A , segue ξ A e siccome ξ è il

≤ ≤

più piccolo dei maggioranti, ξ B da cui A ξB come si voleva. In modo simile si prova che 1.

equivale a 3.

Nel seguito adotteremo la seguente convenzione: Se X è un insieme non limitato superiormente

−∞.

porremo sup X = +∞ mentre se X è un insieme non limitato inferiormente porremo inf X =

⊂ 6 ∅.

Teorema 2.3 Sia X X, X = Allora un numero L è estremo superiore di X se e solo se:

R,

≥ ∀x ∈

1. L x X;

∀ε ∃ ∈ −

2. > 0, x X : L ε < x .

ε ε ∗ ∗

Dim. Se L è estremo superiore è elemento di X perché minimo di X e quindi è un maggiorante

ovvero la 1. Siccome L è il minimo dei maggioranti, L ε non può essere maggiorante e quindi la

2.

2


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flaviael

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DETTAGLI
Esame: Analisi 1
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Passarelli Antonia.

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