Numeri reali - introduzione

Teorema 2.2

Sono equivalenti in R:

1. Assioma di Dedekind
2. Ogni insieme non vuoto limitato superiormente ammette estremo superiore in R
3. Ogni insieme non vuoto limitato inferiormente ammette estremo inferiore in R

Dim. Proviamo che 1. implica 2. Data la coppia (X, X ) si ha che X X e quindi esiste ξ elemento separatore. Dal fatto che X ξ si ha che ξ X mentre ξ X dice che R ∗ ⊆ ≤ξ = min X . Viceversa, siano A, B due classi separate e non vuote. Il fatto che A B implica R∗ ∗ ∗ ∗≤ 6 ∅. ∃ ∈ ≥che B A e quindi A = Allora sup A = min A . Poiché ξ A , segue ξ A e siccome ξ è il ≤ ≤più piccolo dei maggioranti, ξ B da cui A ξB come si voleva. In modo simile si prova che 1.equivale a 3.

Nel seguito adotteremo la seguente convenzione: Se X è un

insieme non limitato superiormente−∞.porremo sup X = +∞ mentre se X è un insieme non limitato inferiormente porremo inf X =∗⊂ 6 ∅.Teorema 2.3 Sia X X, X = Allora un numero L è estremo superiore di X se e solo se:R,≥ ∀x ∈1. L x X;∀ε ∃ ∈ −2. > 0, x X : L ε < x .ε ε ∗ ∗Dim. Se L è estremo superiore è elemento di X perché minimo di X e quindi è un maggiorante−ovvero la 1. Siccome L è il minimo dei maggioranti, L ε non può essere maggiorante e quindi la2.2Appunti di Analisi Matematica I ∗∈Viceversa, se valgono 1. e 2. abbiamo che la 1. implica che L X mentre la 2. dice che∗ ∗− ∈L ε / X e quindi L = min X .In modo simile si dimostra il seguente⊂ 6 ∅.Teorema 2.4 Sia X X, X = Allora un numero l è estremo inferiore di X se e solo se:R, ∗≤ ∀x ∈1. L x

X;∀ε ∃ ∈2. > 0, x X : l + ε > x .ε ε

Definizione 2.1 Date due classi numeriche A, B separate e non vuote diciamo che sono contigue se l’elemento separatore è unico.

Osservazione 2.1 Se due classi A, B sono separate e contigue si ha: ξ = sup A = inf B.

Teorema 2.5 Due classi separate A, B sono contigue se e solo se∀ε ∃a ∈ ∈ −> 0, A, b B : b a < ε.ε ε ε ε

Dim. Usando l’osservazione precedente e le caratterizzazioni date dai teoremi precedenti, possiamo dire che ∃a ∈ ∈ − < a , ξ + > b ,A, b B : ξ ε εε ε 2 2da cui −b a < ε.ε ε

Viceversa, ≤ − ≤ − ∀ε0 inf B sup A b a < ε, > 0ε εe quindi sup A = inf B. n∈ ≥

Teorema 2.6 Dati x > 0, n n 2 esiste un unico numero ξ > 0 :

ξ = x·N,

Il numero ξ la cui esistenza è assicurata dal teorema si chiama radice n-esima aritmetica di x√e si indica con il simbolo x.n

Esempio 2.1

Come applicazione del teorema precedente studiamo l'equazione x = a. Nel caso in cui n è dispari, x ed a hanno lo stesso segno. Allora x è positivo e l'unica soluzione è quella√−data dal teorema. Se n è pari, l'equazione ammette anche una soluzione negativa a e quindi√±se a > 0 e n pari, l'equazione ammette due soluzioni di segno opposto a. Supponiamo adesso n < 0. In tal caso - affinché l'equazione ammetta soluzioni - n deve essere dispari ed inoltre x < 0.√ √n n −a −x −a − −a.n nAbbiamo: x = a ovvero (−x) = da cui = e quindi x = Se anche in questo3G.Di Fazio√√ √ − −a.ncaso conveniamo di indicare con a l'unica soluzione dell'equazione allora a =n nTeorema 2.7

L'assioma di Dedekind implica la proprietà di Archimede. ∈ {q ∈ ≤Teorema 2.8 Sia x L'insieme : q x} ammette massimo e, tale numero si denota R. Z con [x]. Da ciò si ha: ≤ ∀x ∈[x] x < [x] + 1, R.m , a > 0. Poniamo Definizione 2.2 Potenza ad esponente razionale. Sia q = n√ √ mmq n m≡ ≡ na a a = a .n Si ha: Teorema 2.9 q s q+s· ∀q, ∈1. a a = a , s Q;q s qs ∀q, ∈2. (a ) = a , s Q;q q q ∀a, ∈3. a b = (ab) , b > 0q Q.∈ Teorema 2.10 Sia a > 1, x Allora le classi R.p p{a ∈ {a ∈A = : p p < x}, B = : p p > x}Q, Q,sono separate e contigue. ∈ Definizione 2.3 Potenza ad esponente reale - Dato a > 1, x poniamo Rx p p≡ ∈ ∈a sup{a : p p < x} = inf{a : p p > x}.Q, Q,1x ≡ ∀x ∈Nel caso in cui 0 < a < 1 poniamo a , R.x( )1a Si ha: Teorema 2.11 x y x+y· ∀x, ∈1. a a = a , y R;x y xy ∀x, ∈2. (a )

= a , y R;x x x ∀a, ∈3. a b = (ab) , b > 0 x R.4