Numeri complessi

R

incontrati in questo corso) non è sufficientemente “ampio” da permettere la risoluzione di equazioni,

2 + 1 = 0. Per risolvere questo problema

anche semplici, a coefficienti reali, come ad esempio x

costruiamo l’insieme dei numeri complessi.

Numeri complessi. Loro rappresentazione geometrica.

2

L’equazione x + 1 = 0 ha soluzione in un certo insieme numerico solo se esso contiene un numero

−1.

il cui quadrato vale Chiamiamo questo “numero” e lo denotiamo con i.

unità immaginaria

Per definizione si ha quindi 2 −1.

=

i

A partire dall’unità immaginaria si costruiscono i numeri complessi nel modo seguente.

Si dice ogni scrittura della forma a + ib, con a, b numeri

Definizione 14.1 numero complesso

reali e i unità immaginaria. L’insieme dei numeri complessi si denota con e si ha:

C

ª

© 2 −1

∈ = .

= a + ib tali che a, b e i

C R

Di solito, i numeri complessi si indicano con le ultime lettere dell’alfabeto: z, w, . . .

Dato il numero complesso z = a + ib, i numeri reali a e b si dicono rispettivamente e

parte reale

di z e si scrive: a = Re(z), b = Im(z).

parte immaginaria

Esempi 14.2

• − −2.

z = 1 2i è un numero complesso con parte reale 1 e parte immaginaria

√ √

√ − −

• − 2 + 0i = 2 è un numero complesso con parte reale 2 e parte immaginaria 0.

z =

• z = 0 + 4i = 4i è un numero complesso con parte reale 0 e parte immaginaria 4.

Due numeri complessi z = a + ib e w = c + id si dicono se hanno la stessa parte reale e la

uguali

stessa parte immaginaria: ⇐⇒

z = w a = c e b = d.

Nell’insieme dei numeri complessi si definiscono inoltre le seguenti operazioni:

C

I z = a + ib w = c + id è il numero complesso

Somma di due numeri complessi e

z + w = (a + c) + i (b + d) ;

I z = a + ib w = c + id è il numero complesso

Prodotto di due numeri complessi e

· −

z w = (ac bd) + i (ad + bc) .

1 ·

Dati z = 2 + i e w = 1 + 3i, calcoliamo z + w e z w.

Esempio 14.3

• (2 + i) + (−1 + 3i) = 1 + 4i 2 − −2 − −5

• · −2 i + 6i = 3 + 5i = + 5i

(2 + i) (−1 + 3i) = + 3i

Osserviamo che le due operazioni si eseguono usando le ordinarie regole del calcolo letterale e

2 −1.

=

ricordando che i

Per la somma e il prodotto appena definiti valgono le usuali proprietà delle operazioni (commutativa,

associativa, distributiva). Inoltre:

• il numero complesso 0 = 0 + i0 è tale che z + 0 = z per ogni z;

• ·

il numero complesso 1 = 1 + i0 è tale che z 1 = z per ogni z;

• −z −a −

il numero complesso = ib è l’opposto di z = a + ib;

• 6

se z = 0, il numero complesso 1 a b

− ·

= i

2 2 2 2

z a + b a + b

1 6

· = 1 per ogni z = 0.)

è il di z = a + ib. (Ovviamente si ha z

reciproco z 1 z

−w;

Dati z = 2 + i e w = 1 + 3i, calcoliamo: ; .

Esempio 14.4 w w

• −w −1 −

= 3i

1 1 3

• −

= i ;

w 10 10

µ ¶

z 1 3 1 1

• − −

= (2 + i) i = i.

w 10 10 2 2

È noto che numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta euclidea.

Analogamente, associando al numero della forma z = a + ib il punto di coordinate (a, b), si realizza

una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi e i punti del piano cartesiano (detto in questo

contesto piano di Argand—Gauss).

In tale corrispondenza: a = Re(z) è l’ascissa di (a, b) e b = Im(z) è l’ordinata di (a, b).

I numeri della forma a + 0i, (che sono di fatto numeri reali) corrispondono ai punti dell’asse delle

⊂

ascisse che verrà perciò detto evidenziando che si ha R C.

asse reale,

I numeri della forma 0 + ib = ib, (detti corrispondono ai punti dell’asse delle

immaginari puri)

ordinate che verrà perciò detto asse immaginario.

−z −a − −b)

L’opposto di z, ossia il numero = ib corrisponde al punto (−a, simmetrico di (a, b)

rispetto all’origine. 6

¦ ¦ z = a + ib

b .

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−z 2

Dato il numero z = a + ib si chiama

Definizione 14.5

I di z il numero complesso

Coniugato −

z = a ib.

−b)

Esso corrisponde al punto (a, simmetrico di (a, b) rispetto all’asse reale.

I di z il numero

Modulo √ 2 2

|z| a + b

=

che rappresenta la distanza del punto (a, b) dall’origine ed è quindi un numero reale maggiore o

uguale a zero. 6

¦ ¦ z = a + ib

b .

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|z| . .

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. a

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¦ ¦

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−b z

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(1)

Osserviamo che 2

· |z|

z z =

e inoltre − − − −

z = (a + ib) + (a ib) = 2a = 2 Re(z); z z = (a + ib) (a ib) = 2ib = 2i Im(z).

z + z

−

Dati z = 2 i e w = 2 + 3i, calcoliamo . Si ha:

Esempio 14.6 w

−

z 2+ i (2 + i) (2 3i) 7 4

−

= = = i.

−

w 2 + 3i (2 + 3i) (2 3i) 13 13

È facile vedere che la somma di due numeri complessi z = a + ib e w = c + id, cioè il numero

(a + c) + i(b + d) corrisponde al punto che si ottiene con la “regola del parallelogramma” dai punti

di coordinate (a, b) e (c, d).

1) La relazione che esprime il reciproco di un numero complesso non nullo si può anche esprimere mediante la

formula: 1 z .

= 2

z |z|

Inoltre, per calcolare il rapporto di due numeri complessi può essere utile tenere presente che

z · w

z .

= 2

w |w|

3

6 ¦ z + w

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w .

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¦

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z

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