Numeri reali e numeri complessi

A B

Nel seguito saranno importanti i seguenti sottoinsiemi di R: ∀a,b∈R con a≤b

poniamo

[a, b] = {x∈R : a≤x≤b}, (intervalli chiusi) ]a, b[= {x∈R : a<x<b}, (intervalli

aperti)

]a, b] = {x∈R : a<x≤b}, (Intervalli aperti a sx) [a, b[= {x∈R : a≤x<b}.

(Intervalli aperti a dx)

Estremi superiore e inferiore di un insieme

Massimo e minimo di una funzione reale

Sia E⊆R un insieme. Diciamo che M∈E è il massimo di E se ∀x∈E : x≤M.

Diciamo che m∈E è il minimo di E se ∀x∈E : m≤x. Se il massimo e il minimo

di E esistono sono unici e si indicano con maxE e minE. Non è detto che un

insieme E in R ammetta max e min.

Maggiorante e minorante

Sia E⊆R. Diciamo che M∈R è un maggiorante per E se ∀x∈E : x≤M. Diciamo

che m∈R è un minorante per E se ∀x∈E : m≤x.

Insiemi limitati e illimitati

(a) Diciamo che E è superiormente limitato se E ammette un maggiorante

M∈R. Se l’insieme dei maggioranti è vuoto, diremo che E è illimitato

superiormente.

(b) Diciamo che E è inferiormente limitato se E ammette un minorante

m∈R. Se l’insieme dei minoranti è vuoto, diremo che E è illimitato

inferiormente.

(c) Diciamo che E è limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente.

Teorema (dimostrazione sulla dispensa)

Sia E⊆R un sottoinsieme non vuoto.

(a) Se E è superiormente limitato, allora l’insieme dei maggioranti di E è non vuoto e

ammette minimo.

(b) Se E è inferiormente limitato, allora l’insieme dei minoranti di E è non vuoto e

ammette massimo.

Estremo superiore e inferiore

Sia E⊆R un insieme non vuoto. Se E è superiormente limitato, diciamo

estremo superiore di E il minimo dei maggioranti di E. Similmente, se E è

inferiormente limitato, diciamo estremo inferiore di E il massimo dei

minoranti di E. Indicheremo l’estremo superiore con supE e l’estremo

inferiore con infE. Chiaramente, se E è limitato, si ha infE≤supE.

Rapporto tra sup/inf e min/max

(a) Se E ammette massimo, allora maxE=supE. Infatti E è superiormente limitato

perché maxE è un maggiorante, ed anzi maxE è il più piccolo di tutti i maggioranti.

(b) Si può dire anzi che E ammette massimo se e solo se è superiormente

limitato e supE∈E: in tal caso maxE=supE

Diremo che una famiglia I di intervalli è una famiglia di intervalli inclusi se ∀I ∈I

,I

1 2

si ha I ⊆I ⊆I

o I .

1 2 2 1

Principio degli intervalli inclusi di Cantor (dimostrazione dispensa)

Sia I una famiglia non vuota di intervalli inclusi del tipo [a, b]. Allora esiste

almeno un x∈R tale che x appartiene ad ogni intervallo della famiglia I.

I numeri naturali, interi e razionali

Diciamo insieme dei numeri naturali l’insieme N := {0, 1, 2, 3, 4, ...}.

● Somma e prodotto di numeri naturali sono ancora numeri naturali. Inoltre

N è illimitato superiormente: in particolare per ogni x>0 e y>0 esiste n∈N

tale che nx>y (proprietà archimedea). Ogni sottoinsieme di N ammette

minimo: si dice che N è ben ordinato.

● Diciamo insieme dei numeri relativi l’insieme Z = NU(-N). Somma, prodotto ed

opposto di elementi di Z sono ancora elementi di Z. Inoltre Z è illimitato sia

superiormente che inferiormente.

Diciamo insieme dei numeri razionali l’insieme Q = {x∈R : x=p/q con

● p,q∈Z, q≠0}. Somma, prodotto, opposti e inversi di elementi di Q sono

ancora elementi di Q. Contenendo l’insieme dei numeri relativi, Q risulta

illimitato superiormente ed inferiormente. Valgono inoltre le seguenti

proprietà:

a) per ogni a,b∈R con a<b si ha ]a,b[ ∩ Q≠Ø (densità di Q in R)

b) per ogni a∈R si ha sup{x∈Q : x<a}=a e inf{x∈Q : x>a}=a

La proprietà (b), conseguenza di (a), dice che ogni numero reale può essere

approssimato per eccesso o per difetto con precisione grande a piacere tramite

numeri razionali.

La densità di Q in R insieme all’approssimabilità di ogni numero reale tramite un numero

razionale con precisione grande a piacere può far sorgere il dubbio che Q esaurisca tutto R.

Questo non accade: ci sono operazioni che sono ben poste in R ma non in Q. Un esempio è

dato dall’estrazione della radice.

Esistenza della radice n-esima

Siano a≥0 e n∈N con n≥2. Allora esiste uno ed un solo x≥0 tale che

x^n=a, indicato con √a. Possiamo ora vedere che Q è un sottoinsieme

proprio di R.

Insieme dei numeri reali estesi

È opportuno ampliare l’insieme dei numeri reali introducendo due oggetti che

rappresentano un numero infinitamente grande ed il suo opposto. Poniamo

R¯=RU{-∞}U{+∞}. I simboli -∞ e +∞ indicano due oggetti che supporremo tali

che ∀x∈R : -∞<x e ∀x∈R : x<+∞. L’insieme R¯ si dice insieme dei numeri reali

estesi.

Stabiliamo le seguenti regole di calcolo algebrico in R¯:

(a) per ogni x∈R +∞+x=x+∞=+∞ e -∞+x=x+(-∞)=-∞;

(b) per ogni x∈R con x>0 (+∞)·x=x·(+∞)=+∞ e (-∞)·x=x·(-∞)=-∞, mentre

per ogni x∈R con x<0 (+∞)·x=x·(+∞)=-∞ e (-∞)·x=x·(-∞)=+∞;

(c) si ha (+∞)+(+∞)=+∞ (-∞)+(-∞)=-∞ -(+∞)=-∞ -(-∞)=+∞ (+∞)(+∞)=(-∞)

(-∞)=+∞ (+∞)(-∞)=(-∞)(+∞)=-∞

Estendendo i concetti di estremo superiore e inferiore avremo: se E è

superiormente illimitato, diremo che supE=+∞; se E è inferiormente illimitato,

diremo che infE=-∞.

Useremo infine la seguente notazione per gli intervalli:

[a,+∞[ = {x∈R : x≥a} ]a,+∞[ = {x∈R : x>a}

] -∞, a] = {x∈R : x≤a} ]-∞, a[ = {x∈R : x<a}.

Talvolta si scrive anche ]-∞,+∞[ per indicare l’insieme R.

Funzioni di variabile reale

Le funzioni reali di variabile reale sono funzioni f : E→R con E⊆R.

Una funzione f : E→R può rappresentarsi attraverso il suo grafico y = f(x): si

tratta dei punti del piano della forma (x, f(x)) con x∈E. Formalmente scriviamo

G(f) = {(x, y)∈R^2 : x∈E, y = f(x)}.

Le funzioni di variabile reale vengono assegnate tramite una legge x↦f(x) che

coinvolge le operazioni tra numeri reali, senza specificare esplicitamente il

dominio E su cui sono definite: si intende in tal caso che E è il massimo insieme

su cui le operazioni scritte si possono svolgere.

Un modo per generare nuove funzioni a partire da alcune date è quello di utilizzare le

operazioni introdotte per i numeri reali:

Date due funzioni f : E→R e g : E→R

● funzione somma

f + g : E→R

x ↦ f(x) + g(x)

● funzione prodotto

fg : E→R

x ↦ f(x)g(x).

● funzione differenza

f - g : E→R

x ↦ f(x) - g(x)

● funzione quoziente

g(x)≠0 per ogni x∈E

f/g : E→R

x ↦ f(x) / g(x) .

● funzione potenza

se f(x) > 0 per ogni x∈E

f^g : E→R

x ↦ f(x)^g(x) .

Una classe importante di funzioni è data dalle funzioni elementari:

polinomi: f : R→R tali che per ogni x∈R f(x) = a

● x +a x + ··· +a x+a dove

0 n 1 n1 n-1 n

∈R e a ≠0. Il numero n si dice il grado del polinomio così che f è

a ,a ,...,a

0 1 n 0

detto polinomio di grado n nella variabile x.

funzioni razionali fratte: f : R\C → R

● x ↦ a x +a x + ··· +a x+a / b x^ +b x^ + ··· +b x+b

0 n 1 n1 n-1 n 0 m 1 m-1 m-1 m

Dove C è l’insieme delle radici del polinomio che appartiene al denominatore. Tale

funzioni nascono come quozienti di polinomi.

potenze e radici: f : R^+ → R^+

● ^

↦ ^ ^ ∈ ∈

x x dove R e R^+ = {x R : x > 0}. Se =0, si tratta della

∈

funzione costantemente uguale a 1. Nel caso in cui =1/n con n N, n > 0, otteniamo la

⋅

funzione radice n-esima: √ : R^+ → R^+

x ↦ √ x

funzione modulo: f: R→R^+U{0}

● x ↦ |x| per ogni x∈R poniamo |x| = x se x≥0; -x altrimenti.

funzione esponenziale: f: R→R^+

● x ↦ a^x dato a > 0 funzione esponenziale di base a.

Se a=1 la funzione si riduce alla funzione costante pari a 1. Nel caso in cui a

sia il numero di Nepero si parla di funzione esponenziale esp: R→R^+

e, x ↦ e^x

funzione logaritmica: Grazie alle proprietà di iniettività e suriettività della

● funzione esponenziale con a≠1, è possibile definire la funzione inversa log :

a

R^+ → R x ↦ log x dove log x è l’unica

a a

soluzione dell’equazione a^y=x. Tale numero si dice il logaritmo in base a di x. Se la

base è il numero di Nepero e, si parla di logaritmo naturale o logaritmo e si scrive lnx.

● funzioni circolari: nel piano R^2 vi si trovano le funzioni

sen: R → R cos: R → R tan: R\ {π/2+kπ :

k∈Z} → R

x ↦ senx x ↦ cosx

x ↦ senx/cosx

● funzioni iperboliche:

senh: R → R cosh: R → R

x ↦ e^x-e^-x/2 x ↦ e^x+e^-x/2

Estremi di una funzione

Massimo e minimo assoluti: Siano E⊆R e f: E → R una funzione

∈E è punto di minimo di f su E se ∀x∈E : f(x0)≤f(x), in tal

● diciamo che x 0

caso si dice che f ammette minimo su E ed il valore corrispondente si

indica con min f

E

∈E è punto di massimo di f su E se ∀x∈E : f(x)≤f(x0), in tal

● diciamo che x 0

caso si dice che f ammette massimo su E ed il valore corrispondente si

indica con max f

E

I punti di massimo e minimo di f su E si dicono punti di estremo di f.

Se i punti di massimo e minimo di una funzione non esistono si parla di estremi superiore ed

inferiore: f∈R_

● diciamo estremo superiore di f su E l’elemento sup dato da sup f=supf(E)

E E

f∈R_ dato da inf

● diciamo estremo inferiore di f su E l’elemento inf f=inff(E)

E E

f∈R ed esiste x0∈E tale che

OSS. f ammette massimo su E se e solo se sup E

f(x0)=sup f. in tal caso sup f=max f, similmente se f ammette minimo su E se e solo se

E E E

f∈R ed esiste x0∈E tale che f(x0)=inf

inf f. in tal caso inf f=min f.

E E E E

Funzioni limitate e illimitate: Siano E⊆R e f: E → R una funzione

f∈R

● f si dice limitata superiormente su E se sup E

f∈R