Numeri complessi

NUMERI COMPLESSI

x² + 1 = 0 → NO SOLUZIONI IN ℝ

- Introduciamo un nuovo simbolo "i" (unità immaginaria)

i² = -1

NUMERO COMPLESSO

è un’espressione algebrica letterale x + iy con x, y ∈ ℝ

z = x + iy

- x = Re x → parte REALE

- y = Im x → parte IMMAGINARIA (y ∈ ℝ!!!)

Re (z - 3i) = x , Im (z - 3i) = -3

i = 0 + 1.i

Re(i) = 0 , Im(i) = 1

ℂ = { x + iy : x, y ∈ ℝ } → INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI

ℝ ⊂ ℂ

x ∈ ℝ , x = x + 0.i

Im = 0

3z = 3 + 0.i

Se z = x + iy e y = 0, z è detto REALE

Se z = x + iy e x = 0, z è detto IMMAGINARIO PURO (z = 3i)

- Due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria

(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i

(2 + 3i) . (4 + 5i) = 8 + 10i + 12i + 15i² = -7 + 22i

z₁ = x₁ + iy₁

z₂ = x₂ + iy₂

z₁ + z₂ = x₁ + x₂ + i(y₁ + y₂)

z₁ . z₂ = (x₁x₂ – y₁y₂) + i (x₁y₂ + x₂y₁)

Se z = x + iy ≠ 0 (ossia (x,y) ≠ (0,0)) ∃ z^-1 ∈ C:

z^-2 z^-1 = z^-1

z = 2 + 3i z = (4 - (3i)²) = 2 + 3i = 2 + 3i = 2 + 3i , 2 , 3

-2 - 3i 2 - 3i 2 - 3i 13 , 13

Re Im

x + iy 1 x - iy y i

z z z z² + y² = x + y

Re Im

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA:

z = x + iy ⇔ (x,y) ∈ R x I R

corrispondenza biunivoca

i = 0 + i ⋅ i ⇔ (0,1)

x = 3

3i 3 + 2i

y = 2

2i

i

x + iy

asse immaginario

x

asse reale

piano di

Gauss (complesso)

SOMMA

x₂

x

id₂

z

x₁, x₁ + x₂

CONIUGAZIONE

z^* coniugato

z bar

z = 2 + 3i

z^* = 2 - 3i

z = x + iy

z^* = x - iy

DISTANZA DA O:

|z| = √(x² + y²) = √(Re(z)² + (Im(z)²))

|2 - 3i| = √(2² + (-3)²) = √(4 + 9) = √13

id

x + iy

ES

3√8

z₀ = -iπ

π/3

z₁, z₂, z₃ = 3√8 [cos(π + 2kπ) / 3 + i sen(π + 2kπ) / 3]

K = 0, 1, 2

Forma esponenziale

z = ρ (cos Θ + i sen Θ)

cos Θ = 1 - Θ² / 2 + ...

sen Θ = Θ - Θ³ / 6 + ...

e^iΘ = 1 + i Θ + ...

z = ρ^m (e^iΘ)^m = ρ^m e^imΘ = ρ^m (cos mΘ + i sen mΘ)

ES

z = -√2 + i √2 → z = 2e^{i · 3π / 4}

ES

z₂₀₁₈ = (2^{i · 3π / 4})₂₀₁₈ = z₂₀₁₈ e^{i · 3π / 4}₂₀₁₈

    = 2018 = 504 + 1/2 = 3π · 504_{+ 3π / 2}/2kπ

e^{i · 3π / 4}₂₀₁₈ = e^{i – 2kπ} e^{i – 3π / 2} = e^{i i · 3π / 2} = -i

e^iΘ_def = cos Θ + i sen Θ Θ ∈ R

e^{x + iy} = e^xe^iy = e^x(cos y + i sen y) =

= e^x cos y + i e^x sen y

    = |(e^x cos y)² + (e^x sen y)²| = √e²x = e^x

|e^iΘ| = |z = x + iy)

argomento z = â = (-π, π)