Numeri complessi

Numeri complessi

x² + 1 = 0 -> No soluzioni in ℝ

Introduciamo un nuovo simbolo "i" (unità immaginaria) con i² = -1.

Numero complesso

Un numero complesso è un'espressione algebrica letterale x + iy con x, y ∈ ℝ.

• 2 - 3i
• √2
• 4/3 i
• i
• i = 0 + 1∙i

z = x + iy

x = Re x -> parte reale

iy = Im x -> parte immaginaria (y ∈ ℝ!!!)

Re (z - 3i) = x, Im (z - 3i) = -3i = 0 + 1∙i

Re(i) = 0, Im (i) = 1

ℂ = {x + iy ∶ x, y ∈ ℝ} -> insieme dei numeri complessi

ℝ ⊂ ℂ

x ∈ ℝ, x = x + 0∙i

3 = 3 = 63 = 3 + 0∙i

Se z = x + iy e y = 0, z è detto reale

Se z = x + iy e x = 0, z è detto immaginario puro

Due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria:

(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i

z₁ = x₁ + iy₁

z₂ = x₂ + iy₂

z₁ + z₂ = x₁ + x₂ + i (y₁ + y₂)

z₁ ∙ z₂ = (x₁ x₂ - y₁ y₂) + i (x₁ y₂ + x₂ y₁)

x² + 1 = 0 -> No soluzioni in ℝ

Introduciamo un nuovo simbolo "i" (unità immaginaria)

Numero complesso

Un numero complesso è un'espressione algebrica letterale ^{x + iy} con x, y ∈ _R

• 2 - 3i
• √2
• ^4/3 i
• i = 0+1∙i

z = x + iy

x = Re x -> parte reale

y = Im x -> parte immaginaria (y ∈ _R!!!)

Re (z - 3i) = 2, Im (z - 3i) = -3i = 0 + 1∙i

Re(i) = 0, Im(i) = 1

ℂ = {x + iy : x, y ∈ _R} -> insieme dei numeri complessi

ℝ ∈ ℂ

x ∈ _R, x = x + 0∙i

Im = 0

3 ∈ 3 + 0∙i

Se z = x + iy e y = 0, z è detto reale

Se z = x + iy e x = 0, z è detto immaginario puro (z = 3i)

Due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria:

(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i

z₁ = x₁ + iy₁

z₂ = x₂ + iy₂

z₁ + z₂ = x₁ + x₂ + i (y₁ + y₂)

z₁ ∙ z₂ = (x₁ x₂ - y₁ y₂) + i (x₁ y₂ + x₂ y₁)

Se z = x + iy ≠ 0 (ossia (x,y) ≠ (0,0)) ∃ z^-1 ∈ z² = x² + y² = 1-2z^-1 = 2+3i = 2+3i = 2+3i = 2 + 3i

Interpretazione geometrica

z = x + iy_t

cci = 0+1i i_{=> (0,1)}| Piano di Gauss

Asse Sommaii -yy_ConiugazionezConiugato z bar z = 2+3i z = 2-3i z = x+iy z = x-iy

Distanza da O: |z| = +--

Valgono le proprietà:

• |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| Disuguaglianza triangolare
• |z₁ - z₂| = √((x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²) Distanza tra z₁ e z₂

Esempi

Rappresentare A = {z ∈ ℂ : |z - 2 + 3i| = 5}

|z - 2 + 3i| = 5

|z - (2 - 3i)| = 5

Dist. di z da 2 - 3i

Alternativa |z - 2 + 3i| = 5

z = x + iy

|x + iy - 2 + 3i| = 5

|(x - 2) + i(y + 3)| = 5

√((x - 2)² + (y + 3)²) = 5

(x - 2)² + (y + 3)² = 25

C(2, -3) R = 5

Forma trigonometrica (o polare) dei numeri complessi

z = x + iy

x = ρ cosΘ

y = ρ sinΘ

z = ρ (cos Θ + i sen Θ) => Forma trigonometrica

Esempi

z = -√3 + i

ρ = |z| = √(x^2 + y^2) = √((-√3)^2 + 1^2) = 2

Θ = π - π/6 = 5π/6

z = 2 (cos 5π/6 + i sen 5π/6)

Θ = π/2 se x = 0, y > 0

Θ = -π/2 se x = 0, y

z = ρ1 (cos Θ1 + i sen Θ1)

z₂ = ρ2 (cos Θ2 + i sen Θ2)

z₁ z₂ = ρ1 ρ2 [ cos(Θ1 + Θ2) + i sen(Θ1 + Θ2) ]

z₂ = 2 (cos π/2 + i sen π/2)

Li i = i² (cos π/2 + i sen π/2)

Potenze

z = ρ (cos Θ + i sen Θ)

z^m = ρ^m ( cos(mΘ) + i sen(mΘ) ) <= Formula di De Moivre

Esempi

z = -√3 + i = 2 (cos 5π/6 + i sen 5π/6)

z² = z² [ cos 2π/6 + i sen 2π/6 ]

z² = e²[ cos(-π/6) + i sen(-π/6) ]

= e² [ cos(-7π/6) + i sen(-7π/6) ]

= 64 (√3 - 1)

Radici

Diciamo radice n-esima di un numero complesso z, un qualsiasi numero complesso w^m = z

Teorema

Ogni numero complesso z ≠ 0 ha esattamente n radici n-esime complesse

w^m = z

w = √_n(r·z) = n√ρ (cos ^{Θ + 2kπ}/_m + i·sen ^{Θ + 2kπ}/_m)

k = 0

k = 1

k = m - 1

Esempio

Saranno 4 radici distinte

w = √1

k = 0, 1, 2, 3

z₀ = √₄1 (cos ^π/₄ + i·sen ^π/₄)

z₁ = √₄1 (cos ^{π + 2π}/₄ + i·sen ^{π + 2π}/₄)

z₂ = √₄1 (cos ^{π + 2·2π}/₄ + i·sen ^{π + 2·2π}/₄)

z₃ = √₄1 (cos ^{π + 2·3π}/₄ + i·sen ^{π + 2·3π}/₄)

z_1,2,3 = 3√8 [^{cos(π + 2kπ)} ⁄₃ + i sen^{(π + 2kπ)}⁄₃] k = 0, 1, 2

Forma esponenziale

z = ρ(cosΘ + i senΘ) = ρe^iΘ

^cosΘ⁄₌ 1 - Θ²⁄₂ + …

^senΘ⁄₌ Θ - Θ³⁄₆ + …

e^iΘ = 1 + iΘ + …

z^m = ρ^m(e^iΘ)^m = ρ^m e^imΘ = ρ^m (cos mΘ + i sen mΘ)

z = -√2 + i √2 → z = 2e^{i · 3π⁄4}

z²⁰¹⁸ = (2^{i · 3π⁄4})²⁰¹⁸ = 2²⁰¹⁸e^{i · 3π ⁄ 4 · 2018}

²⁰¹⁸⁄₄ = 504₊^3π⁄₂ = 3π · 504₊^3π⁄_2kπ

e^{i · 3π⁄4 · 2018} = e^{i · 2kπ} · e^{i · 3π⁄4} = e^{i · 3π⁄2} = -i

cos(2kπ) + i sen(2kπ) = 1 + 0 = 1

e^iΘ_def. = cosΘ + i senΘ    Θ ∈ &reals;

e^x+i·y = e^x · e^i·y = e^x (cos y + i sen y) = = e^{x cos y}+ _{i · e} ^{x sen y}

e^x+i·y = √[(e^xcos y)² + (e^xsen y)²] = √e^2x = e^x

|e^z| = |e^x| = e^{Rez    (z = x+i·y)}

Argomento e^x+i·y = y

Argomento z = Θ∈(-π, π)

Equazioni algebriche

P(z) = a_mz^m + a_m-1z^m-1 + ... + a₁z + a₀

a₀, a₁, ..., a_m ∈ ℂ   a_m ≠ 0

a_mz^m + a_m-1z^m-1 + ... + a₁z + a₀ = 0

i² = -1   z² + 1 = 0   z = ±√-1 = ±i

z^m - W = 0   →   z² = √W →   z^m + 5 = 0

Noto → z = √-5

Teorema fondamentale dell'algebra

Ogni equazione di grado n ≥ 1 ha almeno una soluzione complessa

P(z) = 0   z₀ radice

P(z) = 0   (z-z₀)[Q(z)]  →   grado m-1

P(z) = a_m(z-z₁)^m1(z-z₂)^m2...(z-z_k)^mk

m₁ + m₂ + m_k = m

z₁, ..., z_k → radici distinte di P(z)

m₁, ..., m_k → molteplicità delle radici

Esempio

P(z) = z²(z-i)³(z+1)⁴   n = 9

z = 0 → moltep. 2 (doppia)

z = i → moltep. 3 (tripla)

z = -1 moltep. 4

Oss

Se P(z) ha coefficienti reali (a₀, ..., a_m ∈ ℝ), se z₀ è una radice anche z₀ è una radice con la stessa molteplicità