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NUMERI COMPLESSI

DEF

Il campo dei numeri ℂ è l'insieme ℝ2 dotato delle seguenti due operazioni

∀ z1, z2 ∈ ℂ, z1 = (x1y1), z2 = (x2y2)Se

z1 + z2 = (x1y1)+ (x2y2)::= (x1 + x2y1 + y2)

z1 ⋅ z2 = (x1y1)⋅ (x2y2)::= (x1x2 - y1y2x1y2 + x2y1)

Queste due operazioni sono commutative e associative e il prodotto è distributivo rispetto alla somma.

  • Se z = (xy)∈ ℂ

Re(z) = x ⇐ parte reale di z

Im(z) = y ⇐ parte immaginaria di z , x ∈ ℝ

  • Se Im(z) = 0 () z = (x0)allora z è detto numero realee scriviamo z = (x0) := x
  • Se Re(z) = 0 () z = (0y)allora z è detto numero immaginario (puro)
  • Il Modulo (o NORMA) di un numero complesso z = (xy) è la sfera di ℝ2

    • |z| = ||(xy)|| = √x2 + y2

  • Il Coniugato (complesso) di z = (xy) è (x-y)

    • NUMERI COMPLESSI

    DEF

    Il campo dei numeri ℂ è l'insieme ℝ2 dotato delle seguenti due operazioni

    ∀ z1, z2 ∈ ℂ, z1 = (x1)/(y1), z2 = (x2)/(y2)

    Si ha:

    z1 + z2 = (x1)/(y1) + (x2)/(y2) := (x1 + x2)/(y1 + y2)

    z1 · z2 = (x1)/(y1) · (x2)/(y2) := (x1x2 − y1y2)/(x1y2 + x2y1)

    Queste due operazioni sono commutative e associative e il prodotto è distributivo rispetto alla somma.

    Se z = (x)/(y) ∈ ℂ

    Re(z) = x ← parte reale di z , x ∈ ℝ

    Im(z) = y ← parte immaginaria di z , y ∈ ℝ

    • Se Im(z)=0 (⇔ z = (x)/(0)) allora z è detto numero reale e scriviamo z = (x)/(0) := x
    • Se Re(z)=0 (⇔ z = (0)/(y)) allora z è detto numero immaginario (puro)
    • Il Modulo (o NORMA) di un numero complesso z = (x)/(y) è lo stesso di ℝ2
    • |z| = ||(x)/(y)|| = √x2 + y2
    • Il Coniugato (complesso) di z = (x)/(y) è (x)/(−y)

    • Il elemento (0)(1) è detto unità immaginaria ed è indicato con i = (0)(1)

    • i2 = (0)(1) (0)(1) = (0 • 1 - 1 • 0)(0 • 0 + 1 • 1) = (-1)(0) = -1

    • Ogni numero complesso z può scrivere:

    z = (x)(y) = (x)(0) + (0)(y) = (x)(0) + (0)(1) (y)(0) = x + i y

    (FORMA ALGEBRICAO CARTESIANA)

    • Supponiamo i = √-1

    • Siano z1 = x1 + i y1 = (x1)(y1)

       z2 = x2 + i y2 = (x2)(y2)

    z1 + z2 = (x1 + i y1) + (x2 + i y2) = (x1 + x2) + i (y1 + y2) = (x1 + x2)(y1 + y2)

    z1z2 = (x1 + i y1)(x2 + i y2) = x1x2 + i x1y2 - i2 x2y2 + i2 y1y2

    = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1) = (x1x2 - y1y2)(x1y2 + x2y1)

    ESEMPIO

    z = 3 - 2i = (3)(-2)

    z1 + z2 = 3 - 2i + (-1 - i) = 2 - 3 i = (2)(-3)

    z2 = -1 - i = (-1)(-1)

    z1 - z2 = (3 - 2i)/(-1 - i) = -3 - 3i + 2i + 2 i2 = -5 - i = (-5)(-1)

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    Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
    I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher enrico.cosenza.EC di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Roma La Sapienza o del prof De Cicco Virginia.
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