2 Numeri complessi

I numeri

INSIEMI NUMERICI

N = {0,1,2,...} numeri naturali

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,...} numeri interi

Q = {_m/_n, m,n ∈ Z con n ≠ 0} numeri razionali

Posso ottenere un insieme di elementi da N, prenderei gli elementi {2}; li caratterizzo con una proprietà

A = {x ∈ ℤ | m è divisibile per 2}

A = {x ∈ ℤ | vale la proprietà P(x)}

pui esseri N, Z, Q, R

R1: proprietà della somma in Q

È definita su Q l'operazione di: somma

1. ∀ a,b ∈ Q a+b: b+a
2. ∀ a,b,c ∈ Q (a+b)+c = a+(b+c)
3. ∃ un elemento neutro ∈ Q: a+0 = 0+a = a
4. ∃ l'elemento opposto ad ogni elemento a ∈ Q -a | a+(-a)=0 ∀ a ∈ Q

R2: proprietà del prodotto in Q

È definita l'operazione prodotto

1. ∀ a,b ∈ Q a·b: b·a
2. ∀ a,b,c ∈ Q (a·b)·c = a·(b·c)
3. ∃ un elemento neutro ∈ Q: a·1 = 1·a = a ∀ a ∈ Q
4. ∀ a ∈ Q, 1/a a·(1/a) = 1
5. ∀ a,b,c ∈ Q (a+b)·c = ac + bc

Differenza a-b := a+(-b)

Divisione se b 0: a/b = a·₁/_b

Relazione di ordine

∀ a,b ∈ Q a ≤ b oppure b ≥ a

sono sempre in grado di dire quale è più piccolo nell'insieme Q

R3: proprietà

1. ∀ a ∈ Q a ≤ b (riflessiva)
2. ∀ a,b ∈ Q se a ≤ b e b ≤ c allora a = b (antisimmetrica)
3. ∀ a,b,c ∈ Q se a ≤ b ≤ c allora a ≤ c (transitiva)

Q è un CAMPO, quindi valgono R₄ e R₅ ed è un campo ORDINATO perchè vale R₃.

A sono alcuni numeri che non appartengono a Q

La diagonale di un quadrato di lati 1 non appartiene a Q.

PROPOSIZIONE: Il massimo K tale che d¹=2 non è razionale (d ∉ Q)

dimostrazione per assurdo: Supponiamo per assurdo che d ∈ Q.

Se d ∈ Q allora può essere scritto come d = ^m/_n m ed n ∈ ℤ, primi tra loro.

d = ^m/_n → m² = 2n² → da questo posso desumere che m² è pari → se m² è pari anche m è pari → m = 2k → allora m² = (2k)² = 4k² → 2n² = 4k² → n² = 2k² → n² è pari → m è pari

trovo un assurdo perchè avevamo detto che m e n erano primi tra loro, mentre essendo entrambi pari hanno un fattore in comune.

C’è bisogno di ingrandire l’insieme A e ottenere A unione il R, i numeri reali:( Q ∈ Q) e io definirei R:

R \ Q = irrazionali: → numeri che appartengono a R ma non appartengono a QR e un CAMPO, quindi valgono R₅ e R₁ ed e’ un campo ORDINATO perchè vale R₃.

DEFINIZIONE Un numero reale e un qualsiasi allineamento decimale (periodico e non) con segnoquesto e la differenza tra Q e R

DEFINIZIONE Si dice valore assoluto del numero reale a lo modulo di a, il numero non negativo

|a| = s - a s, se a ≥ 0

esempio|2| = 2-3 = |-3|

ESERCIZIO

E = { 1/2, 1/3, ..., 1/m, ... }

max E = 1

min E = 0

inf E = 0 → non appartiene a E

sup E = 1 → non si raggiunge mai

*E ⊆ (R) = R ∪ {0} ∪ {1/m ∈ (3/4, 3/5, ...)}

ESEMPIO

I = (1,10]

inf I = 1 non appartiene a I

1 < min I

sup I = 10 = max I

appartiene ad I e perciò è anche il massimo di I

TEOREMA

S = sup A ⇔ ∀t < s ∃x ∈ A | t < x

Ogni retta che prendiamo un t s esiste sempre uno x che si trova nell’insieme A che sarà maggiore di t

dimostrazione:

per assurdo

Se s = sup A s = maggiore di A per definizione

siano t < s ∀x ∈ A t < x

Allora t sarebbe un maggiorante ma per definizione di maggiorante

non può dei di assieme superare e e minima dei maggioranti positivi e per ipotesi s = sup A

quindi: t non può essere minore di s _{IPOTESI ASSURDA}

dimostrazione:

s = maggiorante di A ∀t < x ∃x ∈ A | t < x → s ≥ sup A

se prendiamo uno minore di

così t s esiste sempre una x

nella A x di si trova

quindi: s non può che essere l’estremo superiore di A

Stessa caratteristica al contrario per inf A

Proprietà:

|z| ≥ 0 e |z| = 0 ⇔ z = 0

|z₁z₂| = |z₁||z₂|

|Re(z)| ≤ |z|

|Im(z)| ≤ |z|

|z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|

Il complesso coniugato è l'opposto nei conti.

Forma alg. del rapporto tra due num. compl

a : i b = (a + i b)(c - i d) / . . . _{conj imm}

c : i d (c + i d)(c - i d)

= ac - i b d + i b c - i² b d / c² + d²

non c'è la i. parte reale . . . parte immaginaria.

= ac + bd . . . i = bc ad / c² + d²

unica immaginaria.

Esercizi:

• - i³ = i² ⋅ i = - i
• - i⁴ = i³ ⋅ i = (i²)(i²) = (-1)(-1) = 1
• - i⁹ = i⁸ ⋅ i = (i⁴)(i⁴) ⋅ i = 1 ⋅ 1 ⋅ i = i
• i² ⋅ i⁵ = (i²)⁴ ⋅ i = (i⁴)² ⋅ i = 1 ⋅ 1 ⋅ i = i
• - i¹⁷ = i¹⁶ ⋅ i = (i⁸)² ⋅ i = 1 ⋅ 1 ⋅ i = i
• - i³ + i⁶ - i + i¹ - i⁴ + i = - i + 1 + i - 1 = 0
• z = (i¹⁴)⁸ = (i⁴)⁷ ⋅ i = (1)⁷ ⋅ i = i
• z = (i¹⁷)⁴ = 1 ⋅ - i = - i
• i³ + i⁶ - i + i¹ - i⁴ + i = 1 - i = - i

Esercizi:

Semplificare le espressioni:

• (√2 - i) - i ⋅ (i - √2i)
• √2 - i
• (√2 - i) - i ⋅ √2 i
• - √2 i - 2 i
• (3 + i)(5 i) ⋅ (¹/₅ + ¹/₁₀ ⋅ i)
• (9 + 24 i) ⋅ ⁴/₅
• (5 + -2i) ⋅ 40
• (3 - i)(-9) + (3 i ⋅ 2)²
• 3 - i - 9i + 3i ⋅ i
• 5/ (2i - 1)(2 - 3)(-3) - (³/₂ i )
• 5/ - 10i ⋅ i = i ⋅ 2i² = ¹/₂ i = ¹/₂

Equazioni nel campo dei numeri complessi:

L'immaginario: z = x + yi

Radici m-esime di un numero complesso

Data un numero complesso w, diremo che z è una radice m-esima complessa di w se risulta: z^m = w

TEOREMA:

Sia w ∈ ℂ, w ≠ 0, z sia una radice m-esima complessa di w se risulta: z^m = w

Sia w ∈ ℂ, w ≠ 0 e sia m ∈ ℕ un numero intero. Esistono m radici complesse z₀, z₁, ..., z_m-1 di w.

Posto w= r_w(cos φ_w + i sen φ_w)

z_k = g_k (cos θ + i sen θ)

g_k = w^1/m = r_w^1/m

θ = (φ + 2kπ)/m

k = 0, 1, 2, ..., m-1

ESEMPIO

Quali sono le 3 radici cubiche del numero (complesso) -1?

• FORMULA ALGEBRICA: z = a + ib
• FORMULA TRIGONOMETRICA: z = r (cos φ + i sen φ) z = (-1) (cos π + i sen π)

x = a² + b²; r = 1

cos φ_w = -1 = -1

sin φ_w = 0 = 0

g_k = 1; e ζ_k = g_k = z_k

k = 0, 1, ..., m-1; m = 3; k = 0, 1, 2

k = 0

g₀ = 1; φ_w = π; φ = (π + 2.0π)/3 = π/3

z_k = g₀ e i sen θ_k)

z₀ = 1 (cos θ_k + i sen β_k)

cos (π/3) + i sen(π/3)

z₀ = 1/2 + i√3/2

k = 1

g₁ = 1; φ_w = π; θ = (π + 2.1π)/3 = π

z₁ = g₁ e i sen θ₁)

z₁ = 1 (cos π/3) + i sin π

z₁ = -1

k = 2

g₂ = 1; x = (π + 2.2π)/3

z₂ = g₂ e i sen θ₂)

z₂ = 1 (cos π/3) + i sin π

z₂ = -1/2 - i√3/2

NOTA: La disposizione delle radici m-esime di w: r (cos φ + i sen φ) nel piano di Gauss è data dai vertici del poligono regolare

di m lati inscritto in un cerchio di r₀ e raggio w^1/m, con il vertice z₀ posto nel piano di argomento φ