2 Numeri complessi

I numeri e gli insiemi numerici

Insiemi numerici

IN: {0, 1, 2...} numeri naturali

Z: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2...} numeri interi

Q: ^m⁄_n, m ∈ Z con m >> 3 numeri razionali

Relazioni e proprietà

A = {x ∈ Z | x vale la proprietà P(x)}

Proprietà della somma in Q

1. Definita su Q l'operazione di somma: ∀a, b ∈ Q a+b ∈ Q
2. ∀a, b, c ∈ Q (a+b)+c = a+(b+c)
3. Un elemento neutro: 0 a+0 = a ∀a ∈ Q
4. L'elemento opposto ad ogni elemento a ∈ Q: -a | a+(-a) = 0 ∀a ∈ Q

Proprietà del prodotto in Q

1. Definita su Q l'operazione prodotto: ∀a, b ∈ Q a⋅b ∈ Q
2. ∀a, b, c ∈ Q (a⋅b)⋅c = a⋅(b⋅c)
3. Un elemento neutro: 1 a⋅1 = 1⋅a = a ∀a ∈ Q
4. ∀a, b, c ∈ Q (a+b)⋅c = a⋅c + b⋅c

Differenza: a-b := a+(-b)

Divisione se b ≠ 0 a:b = ^a⁄_b.

Relazione di ordine

∀a, b ∈ Q a ≼ b oppure b ≼ a

Sono sempre in grado di dire quale è più piccolo nell'insieme Q

Proprietà

1. ∀a ∈ Q a ≼ a (riflessiva)
2. ∀a, b ∈ Q se a ≼ b e b ≼ a allora a = b (antisimmetrica)
3. ∀a, b, c ∈ Q se a ≼ b e b ≼ c allora a ≼ c (transitiva)

Altri insiemi numerici

IN = {0, 1, 2, ...} numeri naturali

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...} numeri interi

Q = m/n, m ∈ Z con m coprimi numeri razionali

Per ogni insieme si può prendere gli elementi (Z) e caratterizzare con una proprietà: A = Σ ∈ Z | m divisibile per 3

R1: Proprietà della somma in Q

1. ∀a, b ∈ Q a + b ∈ Q
2. ∀a, b, c ∈ Q (a + b) + c = a + (b + c)
3. Un elemento neutro: 0 a + 0 = a, 0 + a = a
4. L'elemento opposto ad ogni elemento a ∈ Q -a | a + (-a) = 0 ∀a ∈ Q

R2: Proprietà del prodotto in Q

1. ∀a, b ∈ Q a.b ∈ Q
2. ∀a, b, c ∈ Q (a.b)c = a(b.c)
3. Un elemento neutro: a.1 = a, 1.a = a ∀a ∈ Q
4. a ∈ Q - 1/a ∈ Q a.1/a = 1
5. ∀a, b ∈ Q (a + b).c = ac + bc

Differenza a-b := a + (-b)

Divisione se b != 0 a:b := a . 1/b

Relazione di ordine

∀a, b ∈ Q a ≤ b oppure b ≥ a

Sono sempre in grado di dire quale è più piccolo nell'insieme Q

Proprietà

1. ∀a ∈ Q a ≤ a (riflessiva)
2. ∀a, b ∈ Q se a ≤ b e b ≤ a allora a = b (antisimmetrica)
3. ∀a, b, c ∈ Q se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c (transitiva)

Q è un campo, quindi valgono R4 e R1 ed è un campo ordinato perché vale R3. Ci sono alcuni numeri che non appartengono a Q. La diagonale di un quadrato di lato 1 non appartiene a Q. d ∉ Q

Proposizione

Il numero d tale che d² = 2 non è razionale (d ∉ Q)

Dimostrazione per assurdo

Supponiamo per assurdo che d ∈ Q. Se d ∈ Q allora può essere scritto come _m/ⁿ, m ed n ∈ Z e primi tra loro. d² = _m²/ⁿ² = 2 ⇒ m² = 2 n² ⇒ da questo posso desumere che m² è pari ⇒ m² è pari, anche m è pari ⇒ m è pari ⇒ per scelta come m = 2 k con k ∈ Z ⇒ allora m² = (2k)² ⇒ allora m² = 2 k² ⇒ m è pari. Trovo un assurdo perché avevamo detto che m e n erano primi tra loro, mentre essendo entrambi pari hanno un fattore in comune.

C'è bisogno di ingrandire l'insieme Q e arrivare a R, i numeri reali:

C R ⊂ Q ∈ sottinsieme di R R \ Q = irrazionali: → numeri che appartengono a R ma non appartengono a Q. R è un campo, quindi valgono R4 e R1 ed è un campo ordinato perché vale R3.

Definizione

Un numero reale è un qualsiasi allineamento decimale (periodico e non) con segno, questo è la differenza tra Q e R

Valore assoluto

Si dice valore assoluto del numero reale a (o modulo di a) il numero non negativo: |a| = { a  se  a ≥ 0        -a  se  a < 0

Esempio

|a| = 2  |3-3| = |-(3) = 3

Proposizione

∀_x∈ℝ ∀a∈ℝ⁺ se e solo se dimostrazione: |x|≤a con a>0 se x>0 ⇒ |x|≤a ⇒ se x