Numeri complessi

Numeri complessi

Definizione di numeri complessi

ℝ² = ℝ × ℝ = { (a,b) : a,b ∈ ℝ }

Operazioni

Somma: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

Prodotto: (a,b) · (c,d) = (ac−bd, ad+bc)

(ℝ², +, ·) è un campo.

1. (0,0) elemento neutro rispetto alla somma
   Esempio: (a,b) + (0,0) = (a+0, b+0) = (a,b)
2. (a,b) ∈ ℝ², ∃ l'opposto (−a,−b)
   Esempio: (a,b) + (−a,−b) = (a−a, b−b) = (0,0)
3. (1,0) elemento neutro rispetto al prodotto
   Esempio: (a,b) · (1,0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a,b)
4. ∀ (a,b) ∈ ℝ², (a,b) ≠ (0,0), ∃ l'inverso
   ( ^a/_{a² + b²}, −^b/_{a² + b²} ) t.c. (a,b) · ( ^a/_{a² + b²}, −^b/_{a² + b²} ) = (1,0)

Campo dei numeri complessi

ℝ² = ℝ × ℝ = { (a,b) : a,b ∈ ℝ }

Operazioni

• Somma: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
• Prodotto: (a,b) • (c,d) = (a•c - b•d, ad + bc)

(ℝ², + , •) è un campo.

1. (0,0) elemento neutro rispetto alla somma
   Esempio: (a,b) + (0,0) = (a+0, b+0) = (a,b)
2. (a,b) ∈ ℝ², ∃ l'opposto (-a, -b)
   Esempio: (a,b) + (-a,-b) = (a-a, b-b) = (0,0)
3. (1,0) elemento neutro rispetto al prodotto
   Esempio: (a,b) • (1,0) = (a•1 - b•0, a•0 + b•1) = (a,b)
4. ∀ (a,b) ∈ ℝ², (a,b) ≠ (0,0), ∃ l'inverso
   (^a/_{a² + b²}, -^b/_{a² + b²}) t.c. (a,b) • (^a/_{a² + b²}, -^b/_{a² + b²}) = (1,0)

Corrispondenza coi numeri reali

Considero il sottoinsieme C₀:
C₀ = { (a,0) : a ∈ R } ⊂ C

(a,0) + (b,0) = (a+b,0)
(a,0) ∙ (b,0) = (ab,0)

Posso identificare attraverso la corrispondenza (a,0) ∈ C₀ → a ∈ R

L'insieme C₀ con l'insieme R, con le ordinarie operazioni di somma e prodotto di reali: R ⊂ C.

C è un'estensione dei numeri reali.

Unità immaginaria

Def: i = (0,1) = unità immaginaria

Forma algebrica

(a,b) = (a,0) + (0,1)∙(b,0) → a + ib

Si ha: i² = -1

(a+ib) + (c+id) = a+c+i(b+d) = (a+c, b+d)

(a+ib) · (c+id) = ac+i·ad+ib·c+i²b·d = ac-bd+i(ad+bc)

Esempio: (3+i) + (6+2i) = 9+3i

Parte reale e immaginaria

Abbiamo detto che: z = a+ib (forma algebrica)
a = Re(z) PARTE REALE
b = Im(z) PARTE IMMAGINARIA

Esempio:
z = 4 - 4i
Re(z) = 4
Im(z) = -4

Esempio:
z = 2i
Re(z) = 0
Im(z) = 2

Tipi di numeri complessi

Oss: se z ∈ ℂ è t.c. Re(z) = 0, allora z si dice immaginario puro.
Se z ∈ ℂ è t.c. Im(z) = 0, allora z si dice reale.

Piano di Gauss

z = (a,b) = a + ib
a + i b + c + i d = a + c + i (b + d)

Coniugato di un numero complesso

Dato z ∈ ℂ, z = a + i b si definisce coniugato di z, il numero complesso z = a - i b cioè Re(z) = Re(z), Im(z) = -Im(z)

Esempi:
z = 2 + 6i, z = 2 - 6i
z = 3i, z = -3i
z = 4, z = 4

Proprietà del coniugato

1. ̄z + ̄w = ̄(z + w)   ∀z,w ∈ ℂ
2. ̄z - ̄w = ̄(z - w)   ∀z,w ∈ ℂ
3. ̄^z/_w = ̄z / ̄w   w ≠0
4. z · ̄z = a² + b²

Oss: Il prodotto di un numero z per il suo coniugato ̄z è sempre un numero reale.

5. ⍉/̄z = z   ∀ z ∈ ℂ

Esempio di divisione

1. (1 + i) / (1 + 2i) =1 - 2i = ^{(1 + i) · (1 - 2i)} / _{1² + 2²} == (1 + i) / (1 + 2i) = (1 + 2i - 2i - i²) / 5 == (3 - i) / 5
2. Re (z) = ³/₅   Im (z) = -¹/₅

Modulo di un numero complesso

Dato z ∈ C, z = a + ib si definisce modulo il numero (reale) |z| = √(a² + b²)

Esempio:
z = 1 + i
|z| = √(1² + 1²) = √2

Oss: se z = a, |z| = √(a²) = |a|
Quando z ∈ R, allora il suo modulo coincide con il modulo nel senso dei numeri reali.

Proprietà del modulo

1. |z| ≥ 0 e |z| = 0 ↔ z = 0
2. |w·z| = |w| · |z|
3. |z + w| ≤ |z| + |w| (disuguaglianza triangolare)
4. z^- · z̄ = |z|²

Interpretazione geometrica

|z| = √a² + b²
Rappresentazione della disuguaglianza triangolare:

Forma trigonometrica

ρ = rho: lunghezza del vettore posizione che congiunge il punto all'origine,
θ = theta: angolo che il vettore posizione forma con l'asse x
θ ∈ [0, 2π]

Forma trigonometrica - forma polare

(polari - cartesiane)
a = ρ cos θ
b = ρ sin θ
ρ = √(a² + b²) = |z|
tan(θ) = b/a
θ = arg(z)

Esempio:
z = 1 + i
|z| = √2
tan(θ) = 1 ⟹ arg(z) = π/4
z = √2(cos π/4 + i sin π/4)

z = 5
|z| = √(5²) = 5
tan() = 0
z = 5 (cos + i sin)

z = i
|z| = √(i²) = 1
tan() = non definita
z = cos /₂ + i sin /₂

Proprietà dei numeri complessi

z₁, z₂ ∈ C
z₁ ⋅ z₂ = _{1 2} (cos (₁ + ₂) + i sin (₁ + ₂))
^z₁/_z2 = ^₁/₂ (cos (₁ - ₂) + i sin (₁ - ₂))

Formula di De Moivre

Se z = ρ (cosθ + i sinθ), allora se m ∈ N
z^m = ρ^m (cos mθ + i sin mθ) oppure ρ^m e^imθ

(1 + i)⁵
1 + i
ρ = |z| = √(1² + 1²) = √2
θ = π/4
z = √2 (cos π/4 + i sin π/4)

z⁵ = √2⁵ (cos 5π/4 + i sin 5π/4) = 2^5/2 (−1/√2 − i 1/√2) = (−4 − 4i)

Formule di Eulero

e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)   ∀ θ ∈ ℝ

cos θ = ^{eiθ + e-iθ}/₂
sin θ = ^{eiθ - e-iθ}/_2i

e^iπ = -1   ,   e^iπ + 1 = 0

Radici dei numeri complessi

Definizione

Dato w ∈ ℂ , m ∈ ℕ\{0} , allora z ∈ ℂ si dice radice m-esima di w se z^m = w.

Teorema

Dato w ∈ ℂ, w = ρ(cos θ + i sin θ), dato m ∈ ℕ \ {0}, allora esistono m radici complesse distinte z_k, k = 1 ... m di w.
In particolare   z_k = ρ^1/m (cos(θ_k) + i sin(θ_k))
ρ = ρ^1/m
θ_k = ^{θ + 2kπ}/_m,   k = 1 ... m

Esempio:
|z| = 1
θ = π
-1 = 1(cosπ + isinπ)
z_k = 1/2 [ cos(θ + 2kπ/2) + isin(θ + 2kπ/2) ] , k ∈ {0,1}
z₀ = 1( cosπ/2 + isinπ/2 ) , k = 0 = i
z₁ = 1( cosπ + 2π/2 + isinπ + 2π/2 ) , k = 1 = -i

Le radici complesse di grado 2 di -1 sono i, -i.

Oss: Le radici n-esime di un numero complesso sono i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza di raggio p^1/n ove p è il modulo di z.

Teorema fondamentale dell'algebra

Data l'equazione algebrica
a_mz^m + a_m-1z^m-1 + ... + a₁z + a₀ = 0
ove a_i ∈ ℂ, a_m ≠ 0, m ∈ ℕ, allora ammette m soluzioni nel campo dei complessi ℂ (contate con la propria molteplicità).

Esempio (molteplicità)
z²(z+1)²=0
0 è una radice di molteplicità 2, perché ritorna due volte come radice.

Esercizi

1. (_z/)=⁴|z|
   z = ρ(cos θ + i sin θ)
   z̅ = ρ(cos θ - i sin θ)
   (z̅)⁴ = ρ⁴(cos 4θ - i sin 4θ)
   |z| = ρ
2. (z̅)⁴ = z̅ ⇒ ρ⁴(cos 4θ - i sin 4θ) = ρ(cosθ - i sin θ)
3. ρ⁴ = ρ
   ρ(ρ³ - 1) = 0 ; ρ = 0 ; ρ = 1
   θ = 0 + kπ, k ∈ ℤ
   θ = kπ/2, k ∈ ℤ ; k = 0, 1, 2, 3
   θ = 0, π/2, π, 3π/2

z₀=0
z₁=cos0+i sin0 k=0=1
z₂=cos ^π⁄₂ + i sin ^π⁄₂ k=1=i
z₃=cosπ + i sinπ k=2=-1
z₄=cos ^3π⁄₂ + i sin ^3π⁄₂ k=3=-i

i=-1(-i)=2
z₂=-1+i
|z|=^√2
θ=^3π⁄₄
³√z=^θ+2kπ⁄_m (cos^θ+2kπ⁄_m + i sin^θ+2kπ⁄_m), k=0..m-1

^z⁄_k=¹⁄₃(cos^3π⁄₄ +2kπ⁄3) + i sin (^3π⁄₄ +2kπ⁄3), k=0,1,2

z₀=¹⁄₆(cos¹⁄₄ + i sin ^π⁄₄)
z₂=¹⁄₆(cos^3π⁄₄+2π⁄3 + i sin ¹⁄₄) cos (k=1/2)