Numeri complessi

Numeri Complessi

(ℝ², +, .)

ℝ = ℝ x ℝ = {(a,b) : a,b ∈ ℝ}

OPERAZIONI:

• somma: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
• prodotto: (a,b) . (c,d) = (a.c - b.d, ad + bc)

(ℝ², +, .) è un campo.

1. (0,0) elemento neutro rispetto alla somma

esempio: (a,b) + (0,0) = (a+0, b+0) = (a,b)

2. (a,b) ∈ ℝ², ∃ l'opposto (−a, −b)

esempio: (a,b) + (−a, −b) = (a−a, b−b) = (0,0)

3. (1,0) elemento neutro rispetto al prodotto

esempio: (a,b) . (1,0) = (a . 1 − b . 0, a . 0 + b . 1) = (a,b)

4. ∀ (a,b) ∈ ℝ² (a,b) ≠ (0,0), ∃ l'inverso

(^a/_a²+b², ^−b/_a²+b²) t.c. (a,b) . (^a/_a²+b², ^−b/_a²+b²) = (1,0)

Il campo dei numeri complessi è indicato dal simbolo C.

oss.:

Considerato il sott'insieme C₀:

C₀ = { (a,0) | a ∈ R } ⊂ C

(a,0) = (b,0) ⇔ (a + b, 0)

(a,0) ⋅ (b,0) = (ab,0)

Posso identificare attraverso la corrispondenza (a,0) ∈ C₀ ↔ a ∈ R₊

L'insieme C₀ con l'insieme R, con le ordinarie operazioni di somma e prodotto dei reali: R ⊂ C ⊂ R

C è un'estensione dei numeri reali.

Def.: i := (0,1) = unità immaginaria

oss.:

(a,b) = (a,0) + (0,1) ⋅ (b,0)

↑_a ++++ ↑_b

(a,b) = a + ib FORMA ALGEBRICA

Proprietà:

1. ^z̅ + ^w̅ = ^{z + w}̅ ∀ z, w ∈ ℂ
2. ^z̅ ⋅ ^w̅ = ^zw̅ ∀ z, w ∈ ℂ
3. ¹/_w = ¹/_^w̅ w ≠ 0
4. z ⋅ ^z̅ = a² + b²

oss:

Il prodotto di un numero z per il suo coniugato ^z̅ è sempre un numero reale.

5. ^z̅ = z̅̅ ∀ z ∈ ℂ

es.

^{1 + i}/_{1 + 2i} come lo svolvo?

^{1 + i}/_{1 + 2i} ⋅ ^{1 - 2i}/_{1 - 2i} = ^{(1 + i)(1 - 2i)}/_{1² + 2²} = ^{1 + i - 2i - 2i2}/₅ = ^{3 - i}/₅

Re(z) = ³/₅

Im(z) = - ¹/₅

Formula di De Moivre:

sc z = ρ (cosθ + isinθ) allora se m ∈ ℕ

z^m = ρ^m(cos(mθ) + isin(mθ))

oppure ρ^me^imθ

ρ = |z| = √(1² + 1²) = √2

θ = π/4

z = √2 (cos π/4 + isin π/4)

z⁵ = 2^5/2(cos 5π/4 + isin 5π/4) = 2^5/2(-1/√2 - i 1/√2) = -4√2 - 4√2i

5π/4 - π = -π/4

z₁ = 2^1/6 (cos ^11π/₁₂ + i sin ^11π/₁₂)

z₂ = 2^1/6 (cos ^11π/₁₂ + i sin ^11π/₁₂)

z³ - z|z|² + z = 0

z = a + ib     a, b ∈ ℝ

z² + z|z|² + z + 1 = 0

(a + ib)² = (a² + b² + i4) = 0

-1b₁ + z + 2ab = 0

-2b + i.i + 2ib + i2ab = 0

{-2b + i4 = 0, b = ±¹/₂     {a = 0, b = ±¹/₂

z₀ = 0, z = ±¹/₂√