Motoarmonico cinematica relativa

IL MOTO ARMONICO

Il punto P si muove di moto circolare unif_... me

x(t) = A cos[θ(t)]

x(t) = A cos[ω₀t + θ₀]

-A

x = 0

A

oscilla tra x = ±A

A = AMPIEZZA ≈ R circonferenza

ω₀ = PULSAZIONE

θ₀ = FASE INIZIALE

θ(t) = ω₀t + θ₀ = FASE

(...

φ₀ = 1/T = TEMPO

(Periodo) τ

PERIODO per compiere un giro completo

Da 

x(t) = A cos[θ₀ + ω₀t]

v_x(t) = -Aω₀sin[θ₀ + ω₀t]

a_x(t) = -Aω₀² cos [θ₀ + ω₀t] = -ω₀² x(t)

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE x(t) v_x(t) a_x(t)

1. POSIZIONE x(t) = A cos [θ₀ + ω₀t]

• il corp segue un dos che oscilla tra -A e A
• θ₀ + ω₀t = 0, π, 2π
• θ₀ + ω₀t = π/2, 3π/2

2. Velocità

v_x(t) = - Aw_o sin[θ_o + w_ot]

• Il corpo segue un seno negativo oscilla tra ± Aw.
• θ_o + w_ot = 0, π, 2π   v_x = 0
• θ_o + w_ot = π/2, 3π/2   |v_x| = Aw_o

3. Accelerazione

a_x(t) = - Aw_o² cos[θ_o + w_ot]

• Il corpo segue un cos negativo oscilla tra ± Aw_o²
• θ_o + w_ot = 0, π, 2π   |a_x| = Aw_o²
• θ_o + w_ot = π/2, 3π/2   a_x = 0

⇆ = - w_o² . x(t)

⇆ = ^d2⁄_dt²

equipollendo le due espressioni di   ... formule.

Cinematica Relativa

Parliamo di cinematica relativa quando abbiamo oss.e valori diversi in sistemi di riferimento diversi, che magari osservano lo stesso moto.

Esempio concreto x comprendere:

• in O c’è un aereo e i, j, k identificano le direzio midelle parti dell’aereo, quindi Solidale con l’aereo
• in O c’è la torre di controllo, Solidale con la pista di atterraggio
• P c’è un uccello in movimento, O' vede P e ne descrive la posizione con r’, O vede P e ne descrive la posizione con r, O vede O' e ne descrive la posizione con R

=> X le posizioni sussiste tale relazione:

• r = R + r’

=> O', cioè l’aereo può anche lui muoversi, ad esem prod.moto traslatorio o rotatorio etc.

r e R sono definiti in

• r = x i + y j + z k
• R = x_o i + y_o j + z_o k
• r_i = x' i + y' j + z' k

dove r_i, j_i, k_i non variano nel tempo.

Invece la velocità del corpo misurata in Sⁱ è data:

uⁱ = (^dri/_dt)_sⁱ = (x·iⁱ + y·jⁱ + z·kⁱ = v_xiⁱ + v_yjⁱ + v_zkⁱ

dove r_i, j_i, k_i non variano nel tempo perché vⁱ è la velocità del P vista da un osservatore solidale con (Sⁱ).

Invece v è la velocità di P vista da un osservatore solidale con S.

Obiettivo: collegare vⁱ e v

Per determinare la relazione tra le vⁱ (misurate in S) e v (misurato in Sⁱ), calcoliamo la derivata valutata in S della relazione rⁱ = Rⁱ + rⁱ (α)

rⁱ = Rⁱ + rⁱ => (^dr/_dt)_s = (^dR/_dt)_s + (^dr/_dt)_s (***.)

= vⁱ = 0 ≠ vⁱ

perché vⁱ: (^dri/_dt)_sⁱ come un osservatore in Sⁱ vede muoversi l'oggetto P

invece (^dri/_dt)_s e come un osservatore solidale con S vede muoversi l'oggetto P.

(***) rⁱ = Rⁱ + rⁱ => (^dr/_dt)_s = (^dR/_dt)_s => vⁱ = (^dr/_dt)_s

k = k' mentre i e j ruotano rispetto a î e ĵ con velocità angolare ω₀.

- nel sistema di riferimento S la terra viene vista ruotare con velocità ω₀.

- nel sistema S' solidale con la terra non avvertiamo perché solidali con la terra.

Le condizioni in cui ci troviamo sono:

A' = 0, V' = 0, R' = 0, r' = r

==> S ruota rispetto ad S' ma non trasla ṙ' = ṙ

Siamo in moto rotatorio uniforme

Allora:

Sia g' l'accelerazione misurata da un osservatore che si trova in S', ossia sulla terra, e g quello misurata da uno in S, cioè esterno alla terra (es. un aereo volante) che la vede ruotare con velocità angolare costante ω₀. La relazione che esiste è

g' = g + a_cen + a_cor

g - acc. misurata da uno esterno alla terra su un aereo

g‘ - acc. di uno misurata sulla terra

La relazione tra le accelerazioni misurate in S e S’

è data solo da moto rotatorio:

a^P = a^P' + ω_o∧(ω_o∧r^P) + 2 ω_i∧v^P' con:

• a^P accelerazione misurata da S, esterno al disco
• a^P' accelerazione misurata da S’, dal disco

Consideriamo ora 2 casi: (es.: giradischi e giostra)

1. Il punto materiale P è fermo su S’, quindi P è solidale con il disco

In tal caso le accelerazioni e velocità misurate

da un osservatore sull disco S’ sono nulle

v^P' = 0^→

a^P' = 0^→

Allora la velocità misurata da S, esterno al disco

che vede il disco ruotare è:

v^P = v^P' + ω_o∧r^P ⇒ v^P = ω_o∧r^P con v^P' = 0^→

mentre le accelerazione sono:

a^P = ω_o²∧(ω_o∧r^P) = rω_o²∧(n∧u^P) = r_os²∧u – r_ot²∧u_T

Queste relazioni sono note perché l’osservatore su S

vede un moto circolare uniforme (vedi: M.C.U.) con

velocità angolare ω_o (antiorario)

2. Il punto materiale P è fermo su S, in cui il disco viene visto ruotare. (P fermo, S’ gira, P solidale con S che è fermo).

In tal caso un osservatore vede in S il punto P

con velocità e accelerazioni nulle:

v^P = 0^→

a^P = 0^→

Da cui otteniamo: