Motoarmonico cinematica relativa

IL MOTO ARMONICO

Il punto P si muove di moto circolare uniformemente con W = cost ωo.

Se il moto armonico è la proiezione del moto P sull'asse x:

x(t) = A cos[θ(t)]x(t) = A cos[ωo t + ϑo]

-A x = 0 A

oscilla tra x = ±A

A = ampiezza R>0

ωo = pulsazione

θo = fase inizialeθ(t) = ωo t + ϑo = fase

fo = ωo _2π con ωo cost frequenza S⁻¹ o Hertz

τ = ^2π_ωo = ¹_fo periodo per compiere un giro completo

Da x(t) = A cos[θo + ωo t] possiamo ricavare v_x e a_x derivando

1. x(t) = A cos[θo + ωo t]
2. v_x(t) = -A ωo sin[θo + ωo t]
3. a_x(t) = -A ωo² cos[θo + ωo t] = -ωo² x(t)

Rappresentazioni Grafiche x(t) v_x(t) a_x(t)

1. Posizione x(t) = A cos[θo + ωo t]
   • Il corpo segue un cos che oscilla tra -A e +A
   • θo + ωo t = 0, π, 2π → x = A
   • θo + ωo t = ^π₂, ^3π₂ → X = 0

IL MOTO ARMONICO

Il punto P si muove di moto circolare uniforme ω = cost θ = 0. Se moto armonico è la proiezione di P sull'asse x.

x(t) = A cos[ϑ(t)]x(t) = A cos[ω_ot + ϑ_o]

• -A x = 0 A

oscilla tra x = ±A

A = ampiezza ≅ R circunferenzaω_o = pulsazione

ϑ_o = fase inizialeϑ(t) = ω_ot + ϑ_o = fase

f_o = ω_o con ω_o cost frequenza 5^o o Hertz

τ = ^2π/_ωo = ¹/_fo periodo per compiere un giro completo

Da x(t) = A cos[ϑ_o + ω_ot] possiamo ricavare v_x e a_x derivando

1. x(t) = A cos[ϑ_o + ω_ot]
2. v_x(t) = -A ω_o sin[ϑ_o + ω_ot]
3. a_x(t) = -A ω_o² cos[ϑ_o + ω_ot] = -ω_o² x(t)

Rappresentazioni Grafiche x(t) v_x(t) a_x(t)

1. Posizione x(t) = A cos[ϑ_o + ω_ot]
   • il corpo segue un dos che oscilla tra -A e +A
   • ϑ_o + ω_ot = 0°, π, 2π ⇒ x = A
   • ϑ_o + ω_ot = π/2, 3π/2 ⇒ x = 0

2. VELOCITÀ

v_x(t) = -Aω_o sin[θ_o + ω_ot]

• il corpo segue un seno negativo oscilla tra ± Aω_o.
• θ_o + ω_ot = 0, π, 2π v_x = 0
• θ_o + ω_ot = ^π⁄₂, ^3π⁄₂ |v_x| = Aω_o

3. ACCELERAZIONE

a_x(t) = -Aω_o² cos [θ_o + ω_ot]

• il corpo segue un cos negativo oscilla tra ± Aω_o²
• θ_o + ω_ot = 0, π, 2π |a_x| = Aω_o²
• θ_o + ω_ot = ^π⁄₂, ^3π⁄₂ a_x = 0

a⃗ = -ω_o² . x(t) a⃗ = ^{d x}⁄_{d t²}

uguagliando le due espressioni di a⃗ . a⃗ risulta:

d²x/dt² = -w_o² x(t) =>

d²x/dt² + w_o² x(t) = 0 EQUAZIONE

DIFFERENZIALE MOTO ARMONICO la soluzione ha fo

ma A cos (Ф_o + w_o t) con A e Ф_o PARAMETRI LIBERI

ola determinare che dipendono dalle condizioni 'in: m'

ziali (c.a e c. di causly) misurate allo stesso istan

te nel caso particolone

x e v._x iu fini = 0

{ x_o = x(0) = A cos (Ф_o)

v_o = v (0) = -A w_o sin (Ф_o)

faccio rapporto tra

v_x e x e luche:

v_x/x_o = sin (Ф_o)/cos (Ф_o) = -w_o tan (Ф_o)

da cui: tan_o (Ф_o) = v_o/x_o w_o

poi elevo al quadrato le due equazioni, moltripli:

co ambi membri sx sx per w_o, e sommo le due equa

zioni.

{ x_o² = A² cos² (Ф_o)

v_o² = A² w_o² sin² (Ф_o)

{ x_o² w_o² = A² w_o² cos