Cinematica dell'elemento

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Con il termine posizione riferito a un corpo si intende una relazione tra il corpo stesso e uno spazio di riferimento solidale ad altri corpi. Non ha senso parlare di posizione, moto, quiete se non si specifica lo spazio di riferimento.

In uno spazio di riferimento è possibile definire così terne cartesiane Rc distinte per la scelta dell'origine e gli orientamenti degli assi.

Associato al riferimento vi è un sistema di assenze temporali ottenuto fissando un istante iniziale addottando un'unità di misura per la durata degli intervalli di tempo e fissando un orientamento all'insieme degli istanti. Ad ogni istante risulta associata un'assenza temporale t che è la misura relativa della durata dell'intervallo di tempo compreso tra l'istante iniziale e quello considerato.

Per rappresentare il moto di un corpo conviene suddividerlo in elementi puntiformi. La parte della Meccanica che si occupa di descrivere il moto dei corpi è la Cinematica. Il moto di un corpo misurato deti ..., quando si conosce il moto del suo schema particellare Lo schema di elementi può essere adottato unitare od interi corpi purchè le dimensioni di questi siano trascurabili rispetto alla dimensione condt del prol; la pos di un elemento rispetto a Rc e individuata da vettori OP. Il moto del corpo istituisce una corris. biunivoca tra le assenze temporali t e vettori posizione ri=t. Se x,y,z pare le coordinate rispetto a Rc di r, le eq parametriche del moto det.

In forma vettoriale

x = x(t) y = y(t) z = z(t)

OP = OP(t)

La traiettoria è il luogo geometrico dei punti che vengono occupati dall'elemento P in un determinato intervallo di tempo. La traiettoria si dice rettilinea, circolare etc quando appartiene a una linea del tipo indicato (anche se si tratta di un arco di tale linea). La traiettoria si dice piana, sferica, etc. se essa appartiene ad una sup del tipo indicato.

Se in un intervallo la corrisp tra t e OP è biunivoca l'ordinamento istantanei degli istanti di tempo attribuisce un ordinamento ai punti della traiettoria il cui verso si osserva verso del punto; in tale intervallo si dice che il moto è progressivo.

Si dice che in t* si ha una inversione del moto quando in corrispondenza a un t cambia pieendo nell'intervallo t* - Δt, t* + Δt ci denaro due istanti prec. e succ. A t* nei qual l'elem occupa uno stesso punto (punto di inversione)

In alcuni casi nello studio di un moto ci interessano piuttosto gli aspetti geometrici della traiettoria. Per passare dalle eq param a quelle cartesiane occorre eliminare il param t. Nell'intorno di un istante t* a cui corrisponde di regolarità del moto d

es. da prima delle * y dotata di funzione inversa t = t(y) essa sostituita nellaalle due eq di x

N_e = vers ^dᵢ/_dₛ = vers P_c

R^-1 = |P_{c (1)}| = |^dᵢ/_dₛ| = √[Ẋ²(s) + Ẏ²(s) + Ž²(s)]

^dª/_dₛ ^N/_R

R^-1 = curvatura della tuettoria in P

La nozione intuitiva rapidità d'in uno moto si ottiene dividendo spm spostamento PPI per la misura relativa t-t' della durata del coorsp int di tempo. Si ottiene una procedura che fornisce una volè prob della rapidità del moto in quell'intervallo di tempo. Le dim di tale grandezza sono [Lᵀ^-1].

En passare ad una velotazione stabilza detta rapidità con en, ovviam il moto si celebà il lim ^Δ∇P_i/_Δt e si ottiene ^dOP/_dt e t'ale derivata si da il norme di velocita' dell elem E si ist tʼ le dim sono sempre [L T^-1] la velocita' quindi E in ogni' ints di rapidità del moto. Se vx vy vz sono le comp della vel, esse conoincidono con Ẋ Ṫ Z, che sono le deriv. delle eq. poiscm del moto. L'intensità di V i data da V = √[v;x² + v;y² + v;z²]. Essendo una grandezza vettoriale in velocità iun vettore libero. La velocità non dipende della terra di riferimento ed scelt madi le sue compomenti dipendano liso orientamento degl? axili.

CNS

effettuati una funzione vettoriale non nulla ebba direzione costante e che la sua derivata sia parallela alla funzione medesima.

vers v(t) = cost ↔ (dv(t)/dt) x v(t) = 0   ∀ t

rappresentiamo v(t) come     v(t) = v(t) vers v(t)     e deriviamo

(d(v(t))/dt) = (dv(t)/dt) vers v(t) + v(t) (d(vers v(t))/dt)

se la dire è costante     (d(vers v(t))/dt) = 0     quindi

(d(v(t))/dt) = (dv(t)/dt) vers v(t)     //     v(t)

Consideriamo

la funzione vettoriale W(t) che ha per rappresentazione corrente come estremi i punti P_i e P_r dello spazio s_adia e &sub3; .

Sino quindi     W(t) = P₁ P₂ = OP₁ e OP₁ .

Define che W(t)     data dalla differenza delle velocità simultanee di due elementi che occupino i punti P₁ e P₂ : (W(t) = V₂ - V₁).

I moti armonici sono periodici, con

T = ^2π/_|θ̇1|

Infatti dalla prima delle * si ha |x| ≤ R. R prende il nome di ampiezza (massima) del moto mentre θ₁ si esamina fase iniziale (si aggiugna l’andamento del sen o cos per t=0).

Consideriamo l’equazione x = R cos(θ₁ t + θ₀), essa è la soluzione dell' eq Ẍ + θ̇² X = 0 [eq diff dei moti armonici].

Le periodo dei moti armonici T =^2π/_|θ̇1| non dipende dalla loro ampiezza; per questo motivo si dice che essi sono isocroni.

Dall'eq Ẍ = -θ̇² x si riconosce che l'accelerazione a di x₁ ha sempre orientamento opposto a quello di x₂; cioè a è rivolto sempre verso il centro del moto.

L’inverso del periodo

T = |θ̇₁|/2π prende il nome di frequenza e rappresenta il numero di oscillazioni complete che l’elemento compie in un intervallo di tempo di durata unitaria. θ̇₁ prende il nome di pulsazione delle oscillazioni.