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Fisica I - i moti laminari Appunti scolastici Premium

Appunti di Fisica I per l'esame del professor Peruggi sulla fisica. Gli argomenti trattati sono i seguenti: il metodo scientifico, analizzato nelle sue diverse fasi (l'individuazione di tutte le grandezze in gioco in un dato fenomeno e la loro misurazione).

Esame di Fisica I docente Prof. F. Peruggi

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ESTRATTO DOCUMENTO

grandezza posseduta da un sistema produce lavoro, allora si dirà che tale grandezza è un energia.

L’energia cinetica è un energia di moto. Un corpo in quiete ha energia cinetica nulla; un corpo in moto ha energia

cinetica positiva. L’energia cinetica non può essere negativa dal momento che la sua espressione contiene il

quadrato della velocità. Il lavoro compiuto dalla forza risultante che agisce su un corpo è pari alla variazione

dell’energia cinetica di quel corpo. L’energia cinetica aumenta se la forza risultante che agisce su un corpo compie

un lavoro positivo, mentre diminuisce se la forza risultante compie lavoro negativo. Se il lavoro totale è nullo,

l’energia cinetica non varia.

Il teorema lavoro-energia sancisce l’uguaglianza tra la variazione dell’energia cinetica ed il lavoro totale compiuto

dal corpo. Questo risultato è valido in qualunque sistema di riferimento inerziale.

La potenza

La potenza mette in relazione il lavoro con l’intervallo di tempo in cui esso è compiuto. In sostanza, la potenza

esprime con che rapidità avviene il lavoro viene compiuto. L’unità nel sistema S.I. della potenza è il Watt (1J/1s). La

potenza istantanea è definito come la derivata del lavoro rispetto al tempo. La potenza è inoltre esprimibile in

termini del prodotto di forza e velocità.

Forze conservative

Possiamo dividere i vari tipi di forze in due principali categorie: le forze per le quali il lavoro compiuto su una

particella dipende dalla traiettoria della particella stessa e le forze per cui il lavoro è indipendente dalla

traiettoria ma è calcolato solo in base al punto iniziale e quello finale. In generale le forze che compiono lavoro

Una forza è conservativa se il lavoro

possono essere classificate in forze conservative e forze non conservative.

che compie su un corpo è nullo per qualunque percorso di andata e ritorno . Una forza tipicamente conservativa è

quella gravitazionale, infatti, se pensiamo al lancio di una palla per aria, il lavoro compiuto in fase di salita e quello

in fase di discesa sono uguali ed opposti e la loro somma è nulla. Un esempio di forza non conservativa è invece la

forza di attrito, infatti il suo lavoro non è mai nullo. La forza di attrito è sempre opposta al moto e di conseguenza

Qualunque forza compia un lavoro

negativa, anche in un percorso chiuso il lavoro risulta in modulo diverso da zero.

non nullo su un corpo durante un percorso di andata e ritorno è una forza non conservativa . Un sistema in cui siano

sistema conservativo

presenti colo forze conservative è chiamato . In Un sistema conservativo l’energia meccanica

(data dalla somma di energia cinetica ed energia potenziale) si conserva, ciò vuol dire che energia cinetica e

potenziale si trasformano l’una nell’altra durante il moto.

Energia potenziale

L'energia potenziale di un punto materiale all'interno di un campo di forza conservativo è una grandezza fisica

scalare, generalmente indicata con U, associata al punto in ogni sua posizione all'interno del campo e definita in

modo tale che il lavoro fatto dalle forze del campo applicate al punto materiale che si sposta da una posizione

iniziale (i) ad una finale (f) (lungo un percorso qualsiasi) è uguale a meno la variazione di energia potenziale

associata alle suddette posizioni. E’ possibile definire l’energia potenziale per le principali forze conservative.

L’energia potenziale gravitazionale viene espressa come l’opposto del lavoro della forza gravitazionale conservativa.

In questo caso l’energia potenziale può essere posta uguale a zero in un punto del sistema di riferimento

conveniente.

L’energia potenziale elastica , cosi come la gravitazionale, è ottenuta come l’opposto del lavoro della forza elastica.

A differenza della gravitazionale però essa non può mai essere negativa poiché è proporzionale al quadrato di x e

può essere nulla solo per x=0 (quindi a molla rilassata).

Forze conservative ed energia potenziale in tre dimensioni

Mentre per il caso unidimensionale abbiamo parlato di percorsi di andata e ritorno, qui parliamo di traiettorie

Definiamo quindi una forza conservativa in tre dimensioni come una forza il cui lavoro è nullo in un percorso

chiuse.

chiuso circuitazione di F

. In questo caso, inoltre, si introduce il concetto di , ovvero l’integrale chiuso di F rispetto

alla traiettoria (che ovviamente è sempre uguale a zero). Pertanto possiamo tornare ad affermare, anche per il

caso in tre dimensioni, che il lavoro è indipendente dal percorso che congiunge il punto iniziale e quello finale.

La definizione di energia potenziale, cosi come per il caso unidimensionale, resta uguale, concettualmente, anche

Infatti l’energia potenziale di una forza è definita come l’opposto del lavoro compiuto

per il caso a più dimensioni.

dalla forza stessa (nella pratica, cambiando il segno al lavoro della forza).

Conservazione dell’energia meccanica

Come già accennato in precedenza, se a compiere lavoro sono solo forze conservative, l’energia meccanica si

conserva. L’energia meccanica è definita come la somma della variazione di energia cinetica e della variazione di

energia potenziale. Ma con sole forze conservative l’energia cinetica e quella potenziale si scambiano l’una con

l’altra durante il moto, quindi, nei calcoli, possiamo scrivere che la somma della cinetica iniziale e della potenziale

iniziale, è uguale alla somma della cinetica finale e della potenziale finale. Cosi scrivendo è come dire che l’energia

meccanica iniziale è uguale all’energia meccanica finale.

Sistemi di punti materiali e centro di massa

In Fisica non sempre si possono trattare i corpi come punti materiali privi di estensione, quindi si parla di corpi

come sistemi di punti materiali. Ai fini del calcolo però c’è poca differenza, questo grazie al fatto che possiamo

un unico punto rappresentativo del corpo detto centro di massa

concentrarci su . La posizione del centro di massa di

un sistema di punti materiali è la media pesata delle posizioni di tutti i singoli punti con peso dato dalla massa di

ognuno, cioè il peso di ogni vettore posizione è dato dalla massa che sta in quella posizione. Per un corpo continuo il

discorso rimane lo stesso ma il calcolo viene fatto attraverso l’integrale.

La velocità e l’accelerazione del centro di massa vengono ottenute derivando la sua posizione rispetto al tempo.

forze interne forza esterne

In un sistema di punti materiali agiscono , ovvero forze tra i punti stessi, e , ovvero

forze provenienti da fattori esterni al sistema. Ma le forze interne, per il principio di azione e reazione, si

annullano tra loro, quindi la risultante delle forze agenti su un sistema di punti materiali sarà dato solo dalla somma

In definitiva la risultante è, in accordo con la seconda legge di Newton, esprimibile come il

delle forze esterne.

prodotto della massa totale del corpo M e l’accelerazione del suo centro di massa .

La quantità di moto

La quantità di moto è definita come il prodotto tra massa e velocità del corpo. Esso è un vettore che segue la

stessa direzione della velocità .

In un sistema di punti materiali, la quantità di moto totale sarà data dalla somma delle quantità di moto dei singoli

punti del sistema. La quantità di moto in un sistema può variare e la rapidità della sua variazione è data dalla sua

la sua variazione è determinata solo dalle forze esterne

derivata rispetto al tempo. Inoltre , infatti la sua derivata

rispetto al tempo è uguale alla seconda legge di Newton.

Quando la forza risultante che agisce su un punto materiale è nulla (quindi quando la velocità è costante), la

quantità di moto del punto materiale si conserva. Quest’ultima affermazione prende il nome di legge di

conservazione della quantità di moto .

L’impulso

Le forze che vengono esercitate in un intervallo di tempo breve (nell’arco dei millisecondi) sono dette forze

impulsive . Si può pensare alla forza impressa da un tennista quando batte, o a quella di un calciatore che tira.

Durante questo breve intervallo gli effetti delle altre forze possono essere spesso trascurati. Quando una sola

forza risulta significativa, la seconda legge di Newton può essere scritta in termini della variazione di quantità di

La variazione della quantità di moto

moto (con l’integrale tra istante iniziale e finale della forza agente sul corpo).

connessa alla forza agente sul corpo è chiamata impulso . L’impulso ha le stesse dimensioni della quantità di moto.

Urti

Un urto è l’interazione tra due o più corpi che ha luogo in una regione limitata del tempo e dello spazio . Durante un

urto il contributo delle forze esterne viene trascurato e di conseguenza la quantità di moto totale del sistema

all’istante iniziale è uguale a quella all’istante finale, cioè si conserva. Uno degli obiettivi nello studio degli urti è

quello di conoscere la variazione di velocità che i corpi subiscono.

Urti elastici

In un urto elastico l’energia cinetica si conserva . In questo tipo di urti si fa quindi affidamento non solo alla legge

di conservazione della quantità di moto ma anche alla legge di conservazione dell’energia cinetica. Da queste

informazioni deduciamo che lo stato finale è calcolabile quando si hanno le informazioni iniziali (masse e velocità

iniziali). Durante un urto elastico unidimensionale la componente della velocità relativa cambia segno ma il modulo

resta invariato. Esistono tre casi particolari: urto in cui le masse sono uguali; urto in cui un corpo è in quiete ed ha

massa molto inferiore all’altro corpo; urto in cui un corpo è in quiete ed ha massa molto maggiore all’altro corpo.

Urti anelastici

Un urto anelastico è un urto in cui l’energia cinetica non si conserva . Se i due corpi dopo la collisione restano uniti

l’urto è detto completamente anelastico. In questo caso l’unico metodo di risoluzione di un problema sono le

deduzioni possibili sulla legge di conservazione della quantità di moto.

Urti in due e tre dimensioni

Le conseguenze di un urto in più dimensioni non sono calcolabili se non con esperimenti. Questo perché,

le velocità finali avranno due componenti ciascuna per un totale di quattro

ammettendo che un urto sia elastico,

incognite . In condizioni ottimali (quindi partendo con i dati relativi alle due masse e alla velocità iniziale di uno dei

due corpi), sfruttando la legge di conservazione della quantità di moto otterremo due equazione: una per la

direzione x ed una per la direzione y. Avendo ammesso che l’urto è elastico possiamo servirci della conservazione di

energia cinetica per ricavare una terza equazione, ma non arriveremmo mai ad avere una quarta equazione

Nello studio sperimentale spesso però si riesce a determinare gli stati

necessaria alla risoluzione del problema.

finali dei corpi tramite lo studio della direzione nella quale si allontana uno dei due corpi .

Momento di una forza rispetto ad un asse

Il momento di una forza è relativo ad un asse e tende a far ruotare il corpo. Il momento di una forza è una

Esso si calcola attraverso il

grandezza che tiene conto dell’importante del punto di applicazione della forza.

prodotto vettoriale della forza e della distanza dell’asse dalla retta d’azione della forza (braccio della forza).

Potremmo anche dire che l’intensità del momento di una forza rispetto a un asse è il prodotto del modulo del

vettore che individua il punto di applicazione della forza a partire dall’asse, per il modulo della componente della

forza perpendicolare a esso. Il momento di una forza è ovviamente una grandezza vettoriale ed inoltre la sua

Il piano contenente la forza ed il suo braccio è individuato come

direzione è dettata dalla regola della mano destra.

il piano xy mentre il momento giace sull’asse z, inoltre se il momento è positivo tende a produrre una rotazione

(vista da z) di tipo antioraria.

E’ possibile ricavare anche il momento angolare (o momento della quantità di moto) facendo il prodotto vettoriale

tra la quantità di moto ed il suo braccio (e quindi la sua distanza dall’asse). Il momento della quantità di moto

coincide in direzione e verso con la velocità angolare.

C’è inoltre da notare una relazione tra i due momenti data dal fatto che ad ogni istante il momento della forza

rispetto ad un asse è dato dalla derivata rispetto al tempo del momento rispetto ad un asse della quantità di moto

del punto materiale (con i due momenti calcolati rispetto ad un polo fisso). Inoltre se il momento della forza è nullo

il momento angolare si conserva.

Dalla precedente definizione di impulso possiamo definire l’impulso del momento della forza come l’integrale tra

due istanti diversi del momento della forza. Servendoci di questa definizione possiamo enunciare il teorema del

l’impulso tra gli istanti (t , t ) del momento di una forza agente du un punto

momento della quantità di moto: 1 2

materiale è uguale alla variazione, in quell’intervallo, del momento della quantità di moto del punto materiali

(entrambi calcolati rispetto ad un polo fisso).

Prima e seconda equazione cardinale

Prima di definire le equazioni cardinali è utile conoscere il momento angolare totale per un sistema di punti. Il

momento angolare totale è dato dalla somma dei vari momenti angolari dei punti di un sistema. Inoltre è possibile

calcolare il momento di tutte le forze agenti sul sistema che a sua volta è dato dalla somma dei momenti delle

singole forze. Si deve però notare che i momenti delle forze interne si annullano tra loro quindi il momento della

risultante delle forze è dato dalla somma dei momenti esterni.

La prima equazione cardinale ci dice che ad ogni istante la risultante di tutte le forze esterne agenti su un

sistema di punti è uguale alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto del sistema. La seconda equazione

cardinale, invece, afferma che ad ogni istante la risultante dei momenti rispetto ad un arbitrario polo fisso delle

forze esterne agenti sul sistema è uguale alla derivata rispetto al tempo della risultante dei momenti rispetto allo

stesso polo della quantità di moto, ovvero del momento angolare totale del sistema.

In un sistema isolato (e quindi con risultante delle forze nulla e risultante dei momenti delle forze nulla) la quantità

di moto ed il momento angolare sono costanti durante il moto.

Teoremi dell’energia per un sistema di punti

Teorema delle forze vive : la variazione di energia cinetica totale di un sistema materiale in un certo intervallo di

tempo è uguale al lavoro compiuto in quell’intervallo di tempo da tutte le forze interne, esterne ed apparenti,

agenti sul sistema.

Teorema di conservazione dell’energia meccanica : se tutte le forze agenti su un sistema di punti materiali sono

conservative, l’energia meccanica del sistema, cioè la somma dell’energia cinetica totale e dell’energia potenziale,

resta costante nel tempo.

Teorema di Koenig

Nello studio di un moto del corpo rigido due definizioni possono tornare estremamente utili. La prima afferma che

il momento delle forze esterne calcolato considerando come polo il centro di massa del sistema è uguale alla

derivata rispetto al tempo del momento angolare rispetto ad un sistema di riferimento (generalmente non

inerziale) solidale al centro di massa. Il secondo invece è chiamato teorema di Koenig e si enuncia nel seguente

l’energia cinetica posseduta da un sistema di punti rispetto ad un dato sistema di riferimento è uguale alla

modo:

somma dell’energia cinetica di un punto materiale avente per massa la massa totale del sistema e per velocità la

velocità del centro di massa del sistema di punti e l’energia cinetica del sistema di punti stesso calcolata rispetto

ad un sistema di riferimento solidale al suo centro di massa e con orientazione invariabile rispetto al primo sistema

di riferimento .

Corpo rigido

Un corpo rigido è un insieme di particelle soggette a forze tali da mantenere costante la distanza tra loro . Un

copro rigido può trovarsi in moto traslatorio quando tutte le particelle che lo costituiscono subiscono lo stesso

spostamento qualunque sia l’intervallo di tempo considerato.

Cinematica del moto rotatorio di un corpo rigido

 moto rotatorio piano

Se in un corpo rigido tutti i punti ruotano attorno ad uno stesso punto fisso allora il corpo è in

e tutti i suoi punti hanno la medesima velocità angolare. I risultati ottenuti per un moto circolare uniforme di un

pto materiale sono validi per questo tipo di moto.

Quando l’atto di moto (ovvero la distribuzione di velocità di tutti i punti del corpo a un certo istante) è rotatorio

rispetto ad un asse (chiamato asse istantaneo di rotazione) che, in generale, potrà traslare e cambiare direzione

il moto del corpo rigido è detto rototraslatorio

col passare del tempo, . In questo caso il moto del corpo rigido può

pensarsi come la composizione di un moto traslatorio, governato dalla risultante delle forze esterne, e di un moto

rotatorio, governato dal momento totale delle forze esterne.

il moto di un corpo rigido è rotatorio attorno a un asse fisso

Inoltre se ogni punto del corpo si muove lungo una

circonferenza e i centri di tutte le circonferenze si trovano su una retta chiamata asse di rotazione. Anche in

questo caso tutte le sezioni ruotano con la stessa velocità angolare.

Momento di inerzia rispetto ad un asse

In un sistema materiale di N punti, la sommatoria del prodotto tra massa e vettore posizione (rispetto all’asse)

momento di inerzia del corpo rispetto ad un asse considerato

degli N punti è chiamata . Il momento di inerzia è una

costante nel tempo dato che il corpo è rigido e le distanze tra i punti e l’asse di rotazione non cambiano nel tempo.

il

Il momento di inerzia è messo in relazione con la componente assiale (lungo z) del momento angolare, infatti

prodotto tra momento di inerzia e velocità angolare a un dato istante dà come risultato, istante per istante,

proprio il momento angolare lungo la direzione z.

Alcuni momenti di inerzia particolari

Il momento di inerzia di un cilindro pieno di raggio R che ruota intorno al suo asse di simmetria si trova ponendo il

0

raggio interno R uguale a zero ed il raggio esterno R uguale ad R . In questo modo il momento di inerzia sarà pari

1 2 0

alla metà del prodotto tra massa totale del cilindro e raggio al quadrato.

Il momento di inerzia di un sottile strato cilindrico di raggio R che ruota attorno all’asse di simmetria si trova

0

introducendo un approssimazione secondo la quale R =R e R =R . Cosi facendo il momento di inerzia risulta essere il

1 0 2 0

prodotto tra massa totale del sistema e raggio al quadrato.

Cinematica di un corpo rigido in rotazione intorno ad un asse fisso. Casi

particolari

Abbiamo visto che il moto di un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso è determinato dall’angolo di

rotazione e le grandezze che lo descrivono sono matematicamente simili a quelle di un moto in linea retta. Ora

analizziamo due casi particolari.

Velocità angolare costante. La velocità angolare è la derivata rispetto al tempo dell’angolo di rotazione, andando

ad integrare quindi otterremo che l’angolo di rotazione al tempo T è dato dalla somma tra angolo al istante iniziale

e al prodotto tra velocità angolare ed istante T.

Accelerazione angolare costante. Anche in questo caso sappiamo già che l’accelerazione angolare è la derivata

rispetto al tempo della velocità angolare. Con le opportune integrazioni si arriva ad una forma del tutto analoga a

quella per il moto rettilineo con accelerazione costante.

Questa analogia tra corpo rigido e punto materiale è data dal fatto che entrambi sono descritti da un unico grado

di libertà.

Relazione tra grandezze angolari e grandezze lineari

Immaginiamo una porta che si apre ponendo il piano xy al suolo e l’asse z allineata con i cardini in modo che sia l’asse

Allora un punto P che si muove è localizzato rispetto ad x dalla coordinata d’arco s misurata lungo

di rotazione.

l’arco . Definiamo la componente tangenziale della velocità lineare come la derivata rispetto al tempo di s. Allora la

componente tangenziale sarà positiva se s va in direzione antioraria e negativa se s si muove in direzione oraria. Ma

s è uguale al prodotto tra raggio e angolo di rotazione. Quindi la componente tangenziale sarà uguale al prodotto

tra il raggio e la derivata dell’angolo di rotazione rispetto al tempo e di conseguenza sarà uguale al prodotto tra

In generale potremmo dire che la velocità tangenziale è uguale al prodotto vettoriale

raggio e velocità angolare.

tra velocità angolare e vettore posizione del punto che ha velocità lineare.

Possiamo allora dividere l’accelerazione lineare in due parti: accelerazione tangenziale ed accelerazione radiale. I

procedimenti sono simili a quello illustrato per la velocità e alla fine si ottiene che l’accelerazione tangenziale è il

prodotto tra raggio ed accelerazione angolare (assiale), mentre l’accelerazione radiale è espressa come il prodotto

tra raggio e quadrato della velocità angolare.

Quindi velocità ed accelerazione lineare sono proporzionali al raggio . E’ importante notare che i valori della velocità

angolare devono essere espressi secondo il sistema S.I. in rad/s dato che i ragionamenti descritti si basano sul

fatto che s sia il prodotto tra raggio ed angolo di rotazione.

In conclusione, è sempre bene ricordare che gli spostamenti angolari infinitesimi, la velocità angolare e

l'accelerazione angolare sono tutti vettori che hanno direzione perpendicolare al piano della circonferenza, verso

un osservatore che vede il moto rotatorio in direzione antioraria.

Teorema di Huygens-Steiner (Teorema degli assi paralleli)

Calcolare il momento di inerzia di un asse che non sia quello di simmetria del corpo risulta un procedimento molto

complesso. Il teorema degli assi paralleli viene proprio in soccorso di questo tipo di calcolo. Ipotizziamo di voler

calcolare il momento di inerzia di un corpo rigido rispetto ad un asse passante per un suo punto P che ha una certa

distanza dal punto identificato come il centro di massa. Il suo momento di inerzia avremo che sarà uguale alla

sommatoria dei prodotti tra le masse delle varie particelle e la loro distanza dall’asse (passante per P) elevata al

quadrato. Nello sviluppo del calcolo ci accorgiamo che nello stesso momento di inerzia passante per P compare

(analiticamente) il momento di inerzia passante per il centro di massa. Proseguendo nel calcolo alcuni termini si

il momento di inerzia rispetto all’asse passante per P è uguale alla somma tra

annullano arrivando al risultato che

momento di inezia del centro di massa ed il prodotto tra massa totale del corpo e distanza di P dal centro di massa ,

che è il teorema di Huygenes-Steiner.

Dinamica della rotazione di un corpo rigido rispetto ad un asse fisso

Abbiamo già visto che in una situazione del genere la componente assiale del momento angolare è pari al prodotto

tra momento di inerzia rispetto allo stesso asse e velocità angolare della rotazione. Per ricavare le equazioni del

moto dobbiamo però basarci sulla componente assiale del momento della risultante delle forze esterne.

Quest’ultima è uguale al prodotto tra momento di inerzia e accelerazione angolare (lungo z). La precedente

affermazione va bene in generale ma se vogliamo calcolare il momento assiale delle forze esterne rispetto ad un

punto dell’asse di rotazione dobbiamo considerare la forza come divisa in tre componenti: una parallela all’asse, una

diretta radialmente verso l’esterno ed una tangente alla traiettoria circolare del punto P. Applicando la legge della

il momento assiale risulterà determinato solo dal prodotto della distanza del punto dall’asse

mano destra alla fine

(R) e dalla componente tangenziale di F.

Equilibrio statico per un punto materiale

Una posizione di equilibrio è un punto di stazionarietà dell’energia potenziale. Se l’energia potenziale è nulla

durante il moto (quindi in tutto un intorno del punto, la forza è nulla), il punto è di equilibrio indifferente. Se il

punto è di massimo dell’energia potenziale allora l’equilibrio è instabile. Se il punto è di minimo dell’energia

In conclusione, in un campo di forze conservative, le posizioni di equilibrio

potenziale allora è di equilibrio stabile.

si trovano studiano i punti di stazionarietà dell’energia potenziale.

Equilibrio statico per un corpo rigido

Condizione necessaria affinchè un corpo rigido sia in equilibrio in una certa posizione è che il corpo si trovi in

quiete in quella posizione a un certo istante e che la risultante delle forze esterne ed il momento risultante siano

nulli; delle due ultime condizioni, la prima garantisce un equilibrio traslazionale, la seconda garantisce un equilibrio

rotazionale.

Centro di gravità (baricentro)

Per un corpo di dimensioni ordinarie la forza peso viene calcolata sommando le varie forze peso associate ai vari

Possiamo

punti. Ma nel calcolo dei momenti è importante conoscere il punto di applicazione delle forze esterne.

immaginare il centro di gravità di un corpo (o baricentro) come il punto in cui si considera applicato il peso del

corpo e si ottiene attraverso il rapporto tra il prodotto di massa, posizione e accelerazione di gravità di ogni punto

ed il prodotto di massa totale del sistema per accelerazione di gravità. Per punti con la stessa accelerazione di

gravità (o qualora non sia richiesta una grande precisione) il centro di gravità coincide con il centro di massa del

corpo.

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DETTAGLI
Esame: Fisica I
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher cecilialll di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Peruggi Fulvio.

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