Fisica I - i moti laminari

Il momento di una forza e il momento angolare

Potremmo anche dire che l'intensità del momento di una forza rispetto a un asse è il prodotto del modulo del vettore che individua il punto di applicazione della forza a partire dall'asse, per il modulo della componente della forza perpendicolare a esso. Il momento di una forza è ovviamente una grandezza vettoriale ed inoltre la sua direzione è dettata dalla regola della mano destra. Il piano contenente la forza ed il suo braccio è individuato come il piano xy mentre il momento giace sull'asse z, inoltre se il momento è positivo tende a produrre una rotazione (vista da z) di tipo antioraria.

È possibile ricavare anche il momento angolare (o momento della quantità di moto) facendo il prodotto vettoriale tra la quantità di moto ed il suo braccio (e quindi la sua distanza dall'asse). Il momento della quantità di moto coincide in direzione e verso con la velocità angolare.

C'è inoltre...

da notare una relazione tra i due momenti data dal fatto che ad ogni istante il momento della forza rispetto ad un asse è dato dalla derivata rispetto al tempo del momento rispetto ad un asse della quantità di moto del punto materiale (con i due momenti calcolati rispetto ad un polo fisso). Inoltre, se il momento della forza è nullo, il momento angolare si conserva. Dalla precedente definizione di impulso possiamo definire l'impulso del momento della forza come l'integrale tra due istanti diversi del momento della forza. Servendoci di questa definizione possiamo enunciare il teorema dell'impulso tra gli istanti (t1, t2) del momento di una forza agente su un punto materiale. Il momento della quantità di moto del punto materiale è uguale alla variazione, in quell'intervallo, del momento della quantità di moto del punto materiale (entrambi calcolati rispetto ad un polo fisso). Prima e seconda equazione cardinale → Prima di definire le equazioni.

cardinali è utile conoscere il momento angolare totale per un sistema di punti. Il momento angolare totale è dato dalla somma dei vari momenti angolari dei punti di un sistema. Inoltre è possibile calcolare il momento di tutte le forze agenti sul sistema che a sua volta è dato dalla somma dei momenti delle singole forze. Si deve però notare che i momenti delle forze interne si annullano tra loro quindi il momento della risultante delle forze è dato dalla somma dei momenti esterni.

La prima equazione cardinale ci dice che ad ogni istante la risultante di tutte le forze esterne agenti su un sistema di punti è uguale alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto del sistema. La seconda equazione cardinale, invece, afferma che ad ogni istante la risultante dei momenti rispetto ad un arbitrario polo fisso delle forze esterne agenti sul sistema è uguale alla derivata rispetto al tempo della risultante dei momenti rispetto

Allo stesso polo della quantità di moto, ovvero del momento angolare totale del sistema. In un sistema isolato (e quindi con risultante delle forze nulla e risultante dei momenti delle forze nulla) la quantità di moto ed il momento angolare sono costanti durante il moto.

Teoremi dell'energia per un sistema di punti:

• Teorema delle forze vive: la variazione di energia cinetica totale di un sistema materiale in un certo intervallo di tempo è uguale al lavoro compiuto in quell'intervallo di tempo da tutte le forze interne, esterne ed apparenti, agenti sul sistema.
• Teorema di conservazione dell'energia meccanica: se tutte le forze agenti su un sistema di punti materiali sono conservative, l'energia meccanica del sistema, cioè la somma dell'energia cinetica totale e dell'energia potenziale, resta costante nel tempo.

Teorema di Koenig: Nello studio di un moto del corpo rigido due definizioni possono tornare estremamente utili.

Prima afferma che il momento delle forze esterne calcolato considerando come polo il centro di massa del sistema è uguale alla derivata rispetto al tempo del momento angolare rispetto ad un sistema di riferimento (generalmente non inerziale) solidale al centro di massa.

Il secondo invece è chiamato teorema di Koenig e si enuncia nel seguente modo: l'energia cinetica posseduta da un sistema di punti rispetto ad un dato sistema di riferimento è uguale alla somma dell'energia cinetica di un punto materiale avente per massa la massa totale del sistema e per velocità la velocità del centro di massa del sistema di punti, e l'energia cinetica del sistema di punti stesso calcolata rispetto ad un sistema di riferimento solidale al suo centro di massa e con orientazione invariabile rispetto al primo sistema di riferimento.

Corpo rigido: Un corpo rigido è un insieme di particelle soggette a forze tali da mantenere costante la distanza tra loro.

legge del moto rettilineo uniforme, e un moto rotatorio, governato dalla legge del moto circolare uniforme. Per rappresentare il concetto di moto traslatorio, possiamo utilizzare il tag strong per evidenziare le parole chiave "moto traslatorio" e "moto rettilineo uniforme". Per rappresentare il concetto di moto rotatorio, possiamo utilizzare il tag em per evidenziare le parole chiave "moto rotatorio" e "moto circolare uniforme". Possiamo anche utilizzare il tag ^sup per rappresentare il simbolo "²" nella parola "velocità angolare". Ecco il testo formattato: Uncopro rigido può trovarsi in moto traslatorio quando tutte le particelle che lo costituiscono subiscono lo stesso spostamento qualunque sia l'intervallo di tempo considerato. Cinematica del moto rotatorio di un corpo rigido -> moto rotatorio piano. Se in un corpo rigido tutti i punti ruotano attorno ad uno stesso punto fisso allora il corpo è in moto rotatorio e tutti i suoi punti hanno la medesima velocità angolare. I risultati ottenuti per un moto circolare uniforme di un punto materiale sono validi per questo tipo di moto. Quando l'atto di moto (ovvero la distribuzione di velocità di tutti i punti del corpo a un certo istante) è rotatorio rispetto ad un asse (chiamato asse istantaneo di rotazione) che, in generale, potrà traslare e cambiare direzione, il moto del corpo rigido è detto rototraslatorio con il passare del tempo. In questo caso il moto del corpo rigido può pensarsi come la composizione di un moto traslatorio, governato dalla legge del moto rettilineo uniforme, e un moto rotatorio, governato dalla legge del moto circolare uniforme.

Il risultante delle forze esterne, e di un moto rotatorio, è governato dal momento totale delle forze esterne. Il moto di un corpo rigido è rotatorio attorno a un asse fisso. Inoltre, se ogni punto del corpo si muove lungo una circonferenza e i centri di tutte le circonferenze si trovano su una retta chiamata asse di rotazione. Anche in questo caso, tutte le sezioni ruotano con la stessa velocità angolare.

Il momento di inerzia rispetto ad un asse è dato dalla sommatoria del prodotto tra massa e vettore posizione (rispetto all'asse) dei N punti di un sistema materiale. Il momento di inerzia del corpo rispetto ad un asse considerato è chiamato momento di inerzia del corpo. Il momento di inerzia è una costante nel tempo dato che il corpo è rigido e le distanze tra i punti e l'asse di rotazione non cambiano nel tempo.

Il momento di inerzia è messo in relazione con la componente assiale (lungo z) del momento angolare, infatti è il prodotto tra momento di inerzia e velocità.

angolare a un dato istante dà come risultato, istante per istante, proprio il momento angolare lungo la direzione z.

Alcuni momenti di inerzia particolari:

Il momento di inerzia di un cilindro pieno di raggio R che ruota intorno al suo asse di simmetria si trova ponendo il raggio interno R uguale a zero ed il raggio esterno R uguale a R. In questo modo il momento di inerzia sarà pari alla metà del prodotto tra massa totale del cilindro e raggio al quadrato.

Il momento di inerzia di un sottile strato cilindrico di raggio R che ruota attorno all'asse di simmetria si trova introducendo un approssimazione secondo la quale R = R e R = R. Così facendo il momento di inerzia risulta essere il prodotto tra massa totale del sistema e raggio al quadrato.

Cinematica di un corpo rigido in rotazione intorno ad un asse fisso. Casi particolari:

Abbiamo visto che il moto di un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso è determinato dall'angolo

dirotazione e le grandezze che lo descrivono sono matematicamente simili a quelle di un moto in linea retta. Ora analizziamo due casi particolari. Velocità angolare costante. La velocità angolare è la derivata rispetto al tempo dell'angolo di rotazione, andando ad integrare quindi otterremo che l'angolo di rotazione al tempo T è dato dalla somma tra l'angolo al istante iniziale e il prodotto tra velocità angolare ed istante T. Accelerazione angolare costante. Anche in questo caso sappiamo già che l'accelerazione angolare è la derivata rispetto al tempo della velocità angolare. Con le opportune integrazioni si arriva ad una forma del tutto analoga a quella per il moto rettilineo con accelerazione costante. Questa analogia tra corpo rigido e punto materiale è data dal fatto che entrambi sono descritti da un unico grado di libertà. Relazione tra grandezze angolari e grandezze lineari: Immaginiamo una porta chesi apre ponendo il piano xy al suolo e l'asse z allineata con i cardini in modo che sia l'asse z la verticale. Allora un punto P che si muove è localizzato rispetto ad x dalla coordinata d'arco s misurata lungo l'arco di rotazione. Definiamo la componente tangenziale della velocità lineare come la derivata rispetto al tempo di s. Allora la componente tangenziale sarà positiva se s va in direzione antioraria e negativa se s si muove in direzione oraria. Ma s è uguale al prodotto tra raggio e angolo di rotazione. Quindi la componente tangenziale sarà uguale al prodotto tra il raggio e la derivata dell'angolo di rotazione rispetto al tempo e di conseguenza sarà uguale al prodotto tra velocità angolare e vettore posizione del punto che ha velocità lineare. Possiamo allora dividerel'accelerazione lineare in due parti: accelerazione tangenziale ed accelerazione radiale. I procedimenti sono simili a quello illustrato per la velocità e alla fine si ottiene che l'accelerazione tangenziale è il prodotto tra raggio ed accelerazione angolare (assiale), mentre l'accelerazione radiale è espressa come il prodotto tra raggio e quadrato della velocità angolare. Quindi velocità ed accelerazione lineare sono proporzionali al raggio. È importante notare che i valori della velocità angolare devono essere espressi secondo il sistema S.I. in rad/s dato che i ragionamenti descritti si basano sul fatto che s sia il prodotto tra raggio ed angolo di rotazione. In conclusione, è sempre bene ricordare che gli spostamenti angolari infinitesimi, la velocità angolare e l'accelerazione angolare sono tutti vettori che hanno direzione perpendicolare al piano della circonferenza, verso un osservatore che vede il.moto rotatorio in direzione antioraria.
Teorema di Huygens-Steiner (Teorema degli assi paralleli)
Calcolare il m