Modello atomico di Bohr

BOHR 1913

STUDIA L'ATOMO DI IDROGENO → (e il suo elettrone) e trova un modello atomico che spiega la stabilità della materia e l'esperimento di spettrografia dell'idrogeno → (come l'e^- ha ENERGIA QUANTIZZATA)

parte da 3 POSTULATI

1- L'ATOMO è IN EQUILIBRIO MECCANICO

nonostante l'e^- sia sottoposto ad accelerazione costante, NON EMETTE RADIAZIONI ELETTROMAGNETICHE

dunque la sua ENERGIA è COSTANTE e il sistema è stabile

→ DETTAGLIO MATEMATICO

∑F_→ = ø EQUILIBRIO MECCANICO

Forza attrattiva = Forza centrifuga

• FORZA DI COULOMB = m v² / r

• q₊q_- / 4πε₀r² = Zq₂ / 4πε₀r²

Zq₀² / 4πε₀r² = m v² / r

2- L'ELETTRONE RUOTA IN UN'ORBITA CIRCOLARE

sotto "l'effetto dell'attrazione coulombiana"

(se non ruotasse intorno al nucleo, cadrebbe in esso - stesso principio della Terra intorno al Sole)

Solo se il momento angolare (L_z) è pari a un multiplo di

h / 2π

BOHR

1913

STUDIA L'ATOMO DI IDROGENO(-> il suo elettrone) e trovaun modello atomico che spiegala stabilità della materia el'esperimento di spettrografiadell'idrogeno (=> come l'e-ha ENERGIAQUANTIZZATA)

parte da ³ POSTULATI

1- L'ATOMO È IN EQUILIBRIO MECCANICOnonostante l'e- sia sottoposto adaccelerazione costante, NON EMETTE RADIAZIONIELETTROMAGNETICHE

dunque la sua ENERGIA È COSTANTEe il SISTEMA È STABILE

DETTAGLIO MATEMATICO

∑→F = φ EQUILIBRIOMECCANICO

Forza attratta = Forza centrifuga

->FORZAdi COULOMB

q+q- =q -24πε0r2 mv2r

x^{q2_4πε0r2 = mv2_r}

legenda

• m = massa
• v² = velocitàal quadrato
• r = raggio/distanza
• q_n =caricanucleo
• q_e =caricaelettrone
• |x| = modulo
• z = numeroatomico
• ε₀ =costantedielettricanel vuoto

2- L'ELETTRONE RUOTA IN UN'ORBITA CIRCOLAREsotto "l'effetto dell'attrazione coulombiana"(se non ruotasse intorno al nucleo,cadrebbe in esso - stesso principio della Terraintorno al Sole)

Solo se il momento angolare (L) è pari aun multiplo dih2πinteso

DETTAGLIO MATEMATICO

_z = m v r x _z = mvr θ == mvr (J x S)

Prende da Planck -> E = ℏ e considerando chedimensionalmente _z èun'energia x secondo comela Costante di Planck (J x S)allora Bohr deduce che|_z| = mvr = ℏ/2π

però _z può assumere solovalori interi (effettivamente _zè quantizzato nel nucleo)

quindi = n ℏ/2π

⟨kg m/s⟩ = kg m²/s =⟨h = E/⟩ -> ⟨J s⁴ = J s⟩⟨kg m²∙m∙s == N∙m ∙ S = J∙S⟩

l = m v r = m ^h/_2lI

m²v²r² = m^2h2/_4II²

m v² = ^m2h2/_{4II²m r²}

m v² = ^m2h2/_4II² . ¹/_{m r²}

{

m v²/_r = ^{X q2}/_{4II e0 r²}

m²h² . ¹/_{4II² m r²} = ^{X q2}/_{4II e0 X r²} . r

r = ^{h2 e₀}/_{X q² m n²} m² A₀ = ^{h2 e₀ COSTANTE}/_{m n²} DI BOHR

r = ^A₀/_{X q²} . m² A₀ = 0.52 . 10^-10m = 0.52 Å

r = RAGGIO

DELL'ORBITA

Å = ANGSTROM

3 - L'ELETTRONE VARIA A SALTI IL SUO MOTO

formando Energia che poi emette come radiazione elettromagnetica, tale che E= h ν = E_i - E_f ( E_f < E_i )

→ DETTAGLIO MATEMATICO

Bohr vuole calcolare l'ENERGIA dell'elettrone successivamente ai risultati dell'esperimento di spettroscopia dell'atomo di Idrogeno E = E_K + E_P

E_K = ¹⁄₂ mv² ← E_P = ^-X₀⁄_{4π ε0 x}

mv² = ^X₀2⁄_{4π ε0 x²} ←  ε₀ EQUILIBRIO

mv² = ^X₀2⁄_{4π ε0 x}

^X₀2⁄_{4π ε0 x}

E_K = ¹⁄₂ ^X₀2⁄_{4π ε0 x}

E = E_K + E_P = ¹⁄₂ ^X₀2⁄_{4π ε0 x} - ^X₀2⁄_{4π ε0 x} = - ¹⁄₂ ^X₀2⁄_{4π ε0 x}

x = a₀ m²

E = ^-X₀2⁄_{8π ε0 a0 m²} dove     q = costante di Rydberg          vale 2,194 ×10¹⁸

=> E= - ^X_R⁄_m0 ENERGIA QUANTIZZATA

NB E = ø se e^- fermo ad a m = ∞

                       distanza infinita                        dal nucleo

IN SINTESI

• Lo stato fondamentale dell'atomo corrisponde allo stato di più bassa energia (n=1)
• Se l'atomo riceve energia dall'esterno può saltare in uno stato eccitato n>1 (cioè con Energia maggiore dello stato n=1). Ciò avviene se l'energia assorbita ΔE è uguale a Em−E1 (diff. energia tra stato eccitato e stato fondamentale)
• L'atomo emette l'eccesso di energia ΔE attraverso transizione dallo stato n>1 a n=1 sotto forma di fotone a causa della tendenza di ogni sistema fisico di tornare allo stato eccitato

PROBLEMI della TEORIA

• Bohr parte dal postulato che le orbite siano circolari e inotte l'e⁻ ha un suo campo magnetico, lo spin (sperimentalmente non è ciò che si osserva)
• Inoltre la quantizzazione è enunciata solo per moto circolare (−> generalizzata da Wiresom e Sommerfeld 1918)

Quantizzazione enunciata solo per moto circolare

1916 Postulato più generale in linea conPer ogni sistema fisico, in cui lecoordinate qi sono funzioni periodichedel tempo, esiste una condizione diquantizzazione per ogni coordinata chesi scrive:

Diferenziabile

∮ p_qi dq_i = n h

Integralecircolare

xone integralesu un periododella coordinata

Momento

m ε N

h Costante diPlanck

Infatti —>

∮ L dΘ = L ∫₀^2π = 2πL = n h