Modello atomico di Bohr

Per spiegare queste cose, Plank fu costretto ad ammettere che l’energia era ‘quantizzata’, cioè si

costante di Plank.

muoveva a pacchetti. L’unità di misura è questa h, che è la

Per quanto riguarda i momenti angolari, Bohr aveva capito che serviva h, ma tagliata ħ, che

racchiude anche il 2π.

Bohr scrisse che il momento angolare non può essere un valore arbitrario, ma deve essere un

multiplo intero di ħ.

Questo è quasi giusto, nel senso che chi è venuto dopo ha veri cato che aveva quasi ragione.

Risolvendo questo sistema otteniamo che il raggio dell’orbita non può assumere valori qualunque:

quantizzato.

risulterà



   fi fi fi 

Probabilmente Plank aveva capito una cosa fondamentale e ha trovato quale possibilità c’era di

arrivarci.

La caratteristica del modello di Bohr, che fu considerato sbagliato dai sici dell’epoca, è il fatto

che:

- le grandezze che compaiono sono tutte costanti universali (non si può barare sui numeri). Ad

m e

esempio, è la massa dell’elettrone nota, è la carica dell’elettrone nota, h è quella di Plank.

Sono tutte costanti universali vere, non toccabili. Il modello non poteva essere manipolato, di

conseguenza il modello è basato su certezze. I calcoli che Bohr fece alla ne e che decretarono

successo non sono criticabili da questo punto di vista.

Rutherford dovette amettere che, sebbene non fosse il massimo, funzionava.

La costante di Plank è un numero molto piccolo: −34

h = 6,626 x 10 j ⋅ s

I joule sono unità per l’energia; è un’energia per il tempo. In sica questa grandezza si chiama

azione.

Il momento angolare in meccanica quantistica si misura in unità di ħ

Per ottenere energia bisogna moltiplicare questa costante per la frequenza (sec )

-1

h × v = E è l’equazione di Plank

h è l’energia per un tempo. Moltiplichiamo per la frequenza, che sono sec , ed otteniamo

-1

l’energia.

Tuttavia, bisogna ricordare che h è per singola pallina, cioè è riferita ad una singola particella. Se

avessi un numero Avogadro di particelle, cioè una mole di particelle, dovrei moltiplicare

l’equazione per il numero di Avogadro (6,022×10²³).

*ricorda che le costanti sono numeri piccoli* stabilire alla ne è

Dobbiamo risolvere il sistema e trovare r, perché quello che dobbiamo

l’energia del sistema. Nella meccanica quantistica la grandezza che si deve conoscer è l’energia:

Bohr ha tracciato la linea che verrà poi seguita nel corso del tempo.

L’energia è sempre costituita da due parti: energia cinetica e potenziale.

E = Ec + Ep

- L’energia cinetica è quella del movimento;

- L’energia potenziale è legata al fatto che io e il prof siamo nella stessa stanza, tale che ci può

essere interazione.

In questo caso c’è interazione attrattiva tra l’elettrone e il protone; tale interazione dipende dalla

loro distanza= energia potenziale. 1 2

Ec = mv

L’energia cinetica vale sempre 2

L’energia potenziale dipende dal sistema; nei nostri casi è sempre di natura elettrostatica.

    fi fi fi fi

nh

Andiamo a risolvere il sistema: Il raggio della prima orbita

v = di

Dalla seconda equazione ottengo che mr Bohr è costituito da costanti

universali, pertanto non può

essere un numero arbitrario.

Sostituisco il valore di v nella prima equazione È l’unità di misura fondamentale

della meccanica quantistica. È

la distanza alla quale abbiamo

la max probabilità di trovare l’e

nel caso dato con l’H.

Per calcolare il raggio della seconda orbita bisogna prendere n=2; pertanto è 4 volte quello della

prima orbita.

Il raggio è quantizzato: da 1 diventa 4, da 4 diventa 9 [se n=3 (n =9)].

2

Occorre calcolare adesso la velocità, poiché per scrivere l’energia cinetica ho bisogno della

velocità al quadrato. nh

v =

Sostituisco in questa formula . il valore di r che ho appena calcolato, quindi

mr 2 2

nh m e e

v = =

m n h nh

2 2

L’energia è come il lavoro, che si calcola facendo F × s;

2

e

F =

Conosco che la forza è uguale a , lo spostamento è uguale ad r , pertanto l’energia sarà

r 2 2 2

e e

E = r =

potenziale,coulomb r r

2

Tale energia è direttamente proporzionale all’inverso della distanza

L’energia deve suggerire se il sistema è stabile o meno: in questo caso l’elettrone è attratto dal

protone e viceversa. Pertanto staccarli è complicato.

Quando il sistema è stabile, l’energia del sistema ha segno -: ciò signi ca che se volessi staccare

l’elettroni dal protone dovrei spendere un lavoro positivo contrario a quell’energia.

Per tale motivo, ad esempio, una molecola che è instabile a un'energia negativa, lo stesso accade

per l’atomo.

Un sistema instabile avrà energia positiva.

Nel caso coulombiano:

• opposto,

quando abbiamo particelle di segno quelle si attraggono. Il sistema è stabile e

l'energia dovrà essere negativa.

• stesso

Se viceversa avessimo particelle dello segno, quelle si respingono. Il sistema è instabile

e l’energia dovrà essere positiva.

2

e

E = −

In questo caso abbiamo r

Energia totale di questo sistema è data dalla somma dell'energia cinetica e potenziale

dell'elettrone nel sistema 2

1 e

2

E = mv −

2 r

     fi 4 4

1 e m e

E = m −

Adesso vado a sostituire a v e ad r i valori che ho calcolato:

2 2 n h n h

2 2 2 2

Alcuni sistemi sici godono di alcune proprietà: in questo caso l'energia potenziale e l’energia

cinetica assumono la stessa faccia. In partenza, quando vado a descrivere correttamente il

modello, scopro che l’energia potenziale è il doppio di quella cinetica.

potenziale,

Chiaramente l'energia maggiore è quella altrimenti il sistema non sarebbe stabile,

poiché le particelle si devono attrarre. Però vi è una componente (cinetica) che consente

all'elettrone di correre e di non collassare sul nucleo. Tuttavia questa non deve essere così grande

da sovrastare l'energia potenziale perché altrimenti il sistema non starebbe insieme.

4

1 me

E = 2 n h

2 2

Il risultato dunque mi dice che l'energia è quantizzata.

Secondo Bohr:

• Anche l'energia dipende soltanto da costanti universali, quindi il calcolo non può essere

criticato.

Il diagramma di livelli energetici:

Quando n=1 ottengo l’energia corrispondente

chiamata E 1

Quando n=2 , che è pari a 1/4 di E 1

Quando n=3 , che è pari a 1/9 di E 1

Quando n=4 , che è pari a 1/16 di E 1

Ho dei livelli che man mano si in ttiscono,

cioè si avvicinano

E = hv

Della formula di Plank, Bohr era interessato alla frequenza, perché voleva spiegare lo spettro a

righe dell’atomo di idrogeno, dove ogni riga ha una frequenza.

Da dove origina lo spettro? Ci si può spostare da 2 a 1, da 3 a 1, da 4 a 1.

Le righe sono frutto di ciò: ci si può spostare da tutti i livelli a 1, 2, 3…

Fare i calcoli di Bohr è semplice

4

1 me 1

E − E = ( − 1)

2 1 2 h 4

2

E − E = h ⋅ V v= frequenza del salto da 2 a 1

2 1 2−>1

Bohr, con il suo modello, calcolò delle frequenze che corrispondo a quelle sperimentate.

Rutherford ammise che il modello fosse illogico (perché la n fu aggiunta di proposito), però che

funzionava.

Per quanto strano il modello, poiché la quantizzazione veniva introdotta ‘appositamente’, questo

funzionava, perché quelle righe erano certe.Fece i conti e trovò le frequenze identiche.

Quest’idea di Bohr (i salti) è corretta: da quel momento tutti hanno riconosciuta valida. I sistemi

quantistici rispondo a questa regola: ΔE = hv

(delsalto)

Percui se conosco i livelli, sono in grado di prevedere quale sarà lo spettro di assorbimento e di

emissione. Chiaramente devo conoscere , cosa non banale quando il sistema è

l’energia

complicato.

 fi fi 

Nel caso del modello di Rutherford, le palline che ruotano dovrebbero emettere onde

elettromagnetiche.

Bohr cosa ha detto di diverso?

Secondo Bohr le orbite sono dette stazionarie, cioè rimangono le stesse senza mutare.

In sica le onde si dividono:

• viaggianti, come il sasso nello stagno che genera un onda che viaggia

• Stazionarie, che si veri cano in una fune bloccata agli estremi. Queste onde non

camminano e non trasportano energia.

quantizzazione

La in questo caso viene introdotta dall’esterno: è Bohr che ha scritto l’equazione,

non il sistema matematico che l’ha prodotta.

La vera meccanica quantistica dovrà far venir fuori la quantizzazione dalle formule generali, non

per assunzione.

La seconda equazione, infatti, l’ha scritta Bohr, ma non si sa bene da dove sia venuta fuori. Forse,

avendo capito cosa dover fare, ha cercato la soluzione che funzionasse indirettamente.

Quando i modelli funziona si ha un senso di onnipotenza: tuttavia il modello presenta quasi

sempre dei limiti, qualcosa di sbagliato. Il primo a saperlo era lo stesso Bohr, lo ha ammesso lui

stesso.

Bohr provò ad usare lo stesso criterio per altri atomi, ma ciò non funzionò: i modelli di Bohr

funzionano per bene solo con l’atomo di idrogeno.

Gia nel caso dell’atomo dell’Elio, usando gli stessi criteri, il modello non funziona: il motivo è che

vi sono 2 particelle con carica negativa e il nucleo.

H − > He

Il problema è che vi sono due orbite, quella dell’elettrone 1 e del 2, che interagiscono tra di loro e

il nucleo.

Tracciando un orbita circolare la distanza e-nucleo è sempre la stessa.

Viceversa l’interazione elettrone-elettrone è complesso, perché devo considerare come distano

tra loro: questa distanza non è sempre costante, ma dipende dal sistema.

L’EFFETTO FOTOELETTRICO

Bohr è un punto di partenza, ma allo stesso tempo di arrivo: nel frattempo si adoperava un altro

pensiero, che induceva a pensare in modo ancora diverso. L’altro pensiero ha a che fare con

l’e etto fotoelettrico: la luce è stata vista come natura corpuscolare da newton, mentre Huygens

ha a ermato la natura ondulatoria, valida per