Modelli matematici per le applicazioni

MODELLI MATEMATICI PER LE APPLICAZIONI

1. Teoria dei giochi
2. Teoria delle reti
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Teoria dei giochi

Un gioco è un modello di decisione interattiva

I giochi sono i mattoni che servono per studiare fenomeni sociali

Sviluppo prima metà del 20^esimo sec. da

VON NEUMANN e MORGENSTERN

Ora vi è l’apporto di NASH, HARSANY e SELTEN

Adesso il noto MAYNARD SMITH - PRICE

(probabilmente doveva prevedere comportamenti)

Teoria evolutiva dei giochi

Gli individui devono essere razionali e essere nel caso di conoscenza completa

• Giochi in forma strategica
• Giochi in forma estesa
• Giochi iterati

ESEMPIO

1. Gioco non cooperativo
2. Dilemma del prigioniero - PD

Matematico: TUCKER

2 bandi vengono fermati dalla polizia con degli orari su orologio

dopo ciò è stato aggiunto nel dominio.

Se uno compensa ma fuori gli...

garantisce certo ...

Trace (somma)

Trace completo

Trace: M - A + 0

(...) 0 + 1 + 5

Giocatore A rifas. rega

Abbiamo una matrice i cui coefficienti sono coppie di

numeri ... decisi unicamente per ciò...

Io faccio esperienza trucci dai. Ennomini!

... vediamo ... ... utilano.

8 è il mio compagno Kottizza mcmoione...

traccia. Trasve

_{-A 0}

_{-1 5}

Questa implica che ...

final ... decide ... ... non cooperativo.

ESEMPIO 2

Supponiamo che consideriamo tutto l'insieme delle richieste

comunicazioni che il segmento di manot lodi:

A c.

B c... minore eguale

pos V - cj - c V - 2c ...

minore V ... 2c 0.0

V = 100

C = 60

_{10 10 30 100}

_{40 60 70}

B.

A.

ESEMPIO

A = [ 0 1 0 1 0 1 -1 1 0 ]

B = [ 0 1 -1 -1 0 1 1 -1 0 ]

Definiamo una strategia mista del rigo un vettore di probabilità |C_R| = m p ∈ Δ^C_R = { p ∈ ℝ^m | p_i ≥ 0 e ∑_{i = 1}^m p_i = 1 }

Cioè p = (p₁, p₂, ..., p_m) dove p_i = P(R_i)

e definiamo una strategia mista al column un vettore di probabilità q ∈ Δ^C_C = {q ∈ ℝ^m | q_i ≥ 0 e ∑_{i = 1}^m q_i = 1}

e q_j = P(C_j)

2 Marzo 2017

OSSERVAZIONE Posso rappresentare le strategie pure come i vettori della base canonica

gioco R_k ↔ P(R_k) = 1 ↔ p = e_k

*Teorema fondamentale dei giochi non cooperativi: le colonne dei giocatori sono indipendenti *

P(R_i, C_j) = P(R_i) P(C_j) = p_i q_j

cioè induce una distribuzione di probabilità su C_RxC_C

[ a₁a₁' b₁b₁' c₁ ] P₁ [ P_oa q₁ P_naq₂ a₂a₂' b₂b₂' c₂ ] P₂ [ a_np b₂ ]

2) υ_{C(0, N)} = (0, N) 2 [2, 3] / [0, 1] = 1

υ_{c(0, 9)} = (0, 9) 2 [2, 3] / 9 = λ - q

⇔ λ > λ - q ∀ q ∈ (0, N)

Chicken

[2, 2] [λ/3 λ]

[3-λ 0, 0]

υ_{C(0, N)} ≥ υ_{R(P, N)} ∀ P ∈ (0, N)

υ_{C(λ, N)} ≥ υ_{C(λ, 9)}

3) υ_{C(0, N)} = 3 = (0, N) 2 [2, 7] / [0, 7]

υ_{P(P, N)} = P - ρ 2 [3, 0] / [0, 1] = 3 - P

3 ∀ 3 - P cui viene de q ∈ (0, N)

4) υ_{C(0, N)} = (0, N) 2 [2, 3] / [0, 1] = 1

υ_{C(0, 9)} = (0, N) 2 [2, 3] / 9 = 9

17, 9 cui è vero ∀ q ∈ (0, N)

Matching pennies

ρ* = (1/2, 1/2) q* = (1/2, 1/2) P* = N₂ oq* = N

υ_{R(P, λ)} ≤ (ρ(1/2, 1/2))

υ_{C(λ, q)} ≤ υ_{C(N2, 1/2)}

(1/2 1/2) [λ - N (1/2 1/2) = 0, 7 0, o = (P - N - ρ) (1 - Ν)(λ 1/2

( 1/2 1/2) [ - N - 1 (1/2 ) = 0, 7 o 0 = (1/2 3) (1 - λ)(ρ q)

[ - N - 1 (1/2)

Abbiamo visto la natura di best response.

PROPRIETÀ

Siano gioco G ad N giocatori con l'insieme di un numero finito di strategie, e numeri finiti di strategie nei seguenti grafici manifester delle imprese B cioè

(p*, q*) ∈ NE ⟺ (p*, q*) ∈ B (⟦p*, q*⟧) ⊂ P (N_Cx, N_Cy⟨c⟩)

(p*, q*) è equilibrio di Nash ⟺ U_G(p*, q*) ≥ U_E(q*, p*) ∀p

P* e org. max U_P(p*, q*)

Esempio {0 ≤ u(p*, q*) = 1, 1/2 è equilibrio di Nash

U_R(^1⁄₃) ≥ U_R(p, λ/2) ∀p

U_C(^1⁄₃) ≥ U_C(^λ/₃) ∀q

{q: ail supporto B e il un punto fisso di B!!

(p*, q*) e B⟦p*, q*⟧ = (B_R(p*), B_C(p*))

⟺ p* ∈ B_C(q*) e q* ∈ B_C(p*)

^1⁄₂