Modelli matematici ambientali

MODELLI DI CRESCITA A PIÙ FUNZIONI

Consideriamo un primo Stato:

 ( )

Flusso costante in ingresso pari a k

 ( à )

Flusso in uscita verso lo Stato 2 con tempo medio di uscita pari a 1

Relazione fra il tempo medio di uscita e il tasso di decrescita:

( + ∆) − ()

− = −()

∆

() = 1

Supponiamo che perché la variazione sia unitaria

1

− = −

Δ 1

Δ =

Questo è il tempo che ci vuole perché una popolazione diminuisca di un’unità.

Nel nostro caso: 1

=

1

1

Nel secondo Stato: 1

( = ) ∈ [0,1],

Flusso in uscita con tempo medio in modo che una frazione sia diretta verso i paesi

2 2

2

(1 − )

di origine migranti, mentre una frazione è diretta verso lo Stato 1.

() ()

Diciamo e la numerosità dei migranti negli Stati 1 e 2:

1 2 1

1′ () () ()

= − = −

1 1 1

1

Ma in questa formula manca di considerare la parte di flusso che deriva dallo Stato 2, per cui:

′ () ( ()

= − + − )

Invece la numerosità nello Stato 2 è:

′ () ()

= −

Quindi abbiamo un sistema di equazioni differenziali di tipo lineare: possiamo ricondurlo a una equazione

difficile del secondo ordine. 19

1 1

′1 () (1 ()

= − + − )

1 2

1 2

1 1

2′ () ()

= −

1 2

{

1 2

1

′

( − + )

1 2

1

1

=

2 1−

Deriviamo :

2 1

2

2′ 1′′ 1′

= ( + )

1−

1

Sapendo che: 1 1

2′ () ()

= −

1 2

1 2

Andiamo a eguagliare: 1 1 1

2 1′′ 1′

( + ) = −

1 2

1−

1 1 2

1

1′

( − + )

1 2

1

=

2 1−

Per cui: 1

1′

( − + )

1 1 1 1 2

2 1

′′ ′

( + ) = −

1

1 1

1 − 1−

1 1 2

1 1− 1

1′′ ′ 1′

( + ) = − + −

2 1 1

1

1 1 1

1′′ ′1

( ) (1

+ + + − − ) =

1 2 1 2 1 1 1

′′ ′

( )

+ + + =

Questa è un’equazione lineare del secondo ordine. 20

Equazione lineare del secondo ordine

′′ ′

() ()

+ + () = ()

L’equazione omogenea associata ′′ ′

() ()

+ + () = 0

() =

′

()

=

′′ 2

()

=

Sostituendo: 2

+ + = 0

2

+ + = 0

Ammette soluzioni reali distinte 2

+ 3 + 2 = 0

= −1

1

= −2

2

La soluzione generale è: − −2

() = +

1 2

Ammette soluzioni reali coincidenti 2

− 2 + 1 = 0

= = 1

1 2

() = +

1 2

Consideriamo la stessa tipologia ma moltiplicata per un fattore t

Ammette soluzioni non reali (complesse) = ±

la soluzione generale è:

() = sin() + cos()

1 2

( )

Supponiamo che sia costante

′′ ′

() ()

+ + () =

() = → = → =

Una soluzione particolare sarà:

() =

21

( )

Supponiamo che non sia costante

′′

− 2 = 3 − 1

() = +

′′ ()

= 0

−2( + ) = 3 − 1

(−2 − 3) − 2 + 1 = 0 3

=−

−2 − 3 = 0 2

→

{ { 1

−2 + 1 = 0 =+ 2

3 1

() = − +

2 2

′′

− 2 = 0

2

− 2 = 0

= √2

1

= −√2

2 3 1

√2 −√2

() = + − +

1 2 2 2

Risoluzione del modello in studio ′′ ′

( )

+ + + =

= = 2

Poniamo 1 2 1′′ 1′

4 + 4 + = 2

1

Troviamo una soluzione particolare =

1

:

= 2 2

= =

1

E questa è una soluzione particolare.

Risolviamo l’equazione omogenea 1′′ 1′

4 + 4 + = 0

1

()

=

1

1′

()

=

1′′ 2

()

=

2

4 + 4 + = 0

2

(4

+ 4 + ) = 0

≠ 0

22

2

4 + 4 + = 0

−1 + −

√1

=

1 2

−1 − −

√1

=

2 2

Essendo due radici distinte la soluzione dell’equazione omogenea è:

()

= +

1 2

1 1 2

Questo è l’’insieme delle soluzioni dell’equazione omogenea. 2

()

= + +

1 2

1 1 2

Questo è l’insieme delle soluzioni dell’equazione data.

Una volta trovato dobbiamo calcolare

1 2 (1 − )

2 1

1′

= + −

2 1

=

1 2

1′

= +

1 2

1 1 2 2

(1 − )

2 1

+ = + −

1 2

1 1 2 2

2 1

1 1 1−

+ + + = + −

1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 2

2 2 2

1 1 1 1−

( + ) + ( + ) = (1 − ) +

1 2

1 1 2 2 2

2 2 2

2 1 1 1

()

= ( + ) + ( + ) − (1 − ))

( 1 2

2 1 1 2 2

1− 2 2

Andando a sostituire e e ponendo delle condizioni iniziali andiamo a ricavare e

1 2 1 2

Ricaviamo 1 2 2

−1+√1− −1−√1−

()

= + +

2 2

1 1 2

2

−1+√1− −1−√1−

1 2

()

= − +

2 2

2

− −

√1 √1

2

()

lim =

1

→∞ 2

()

lim =

2

→∞ 2

(0)

= + + =0

1 1 2

2

1 2

(0)

= − + =0

2

− −

√1 √1

23 2

+ + =0

1 2

2

1 2

− + =0

{ − −

√1 √1

2

= − −

2 1

2 2

1 1

+ + + =0

− − √1 −

√1 √1

2 2 1

+ ( + 1) = 0

1

− −

√1 √1

1

= − ( + 1) − )

(√1

1 −

√1

= − + −

( )

√

2

= + (1 + − ) −

√1

2

= − − )

(√

Per:

1(1) = 0;

2(1) = 0;

= 90;

(1) = 0;

1 = 2;

2 = 2;

= 0.9; 24

Utilizzo del calcolo matriciale per la risoluzione delle equazioni lineari del secondo ordine

1′

= + +

11 1 12 2 1

{ 2′

= + +

21 1 22 2 2

I punti di equilibrio saranno una soluzione particolare del sistema, gli troviamo ponendo le due equazioni a

+ = 0

0. I punti di equilibrio del sistema di equazioni differenziali soddisfano il sistema numerico ove

è la matrice:

11 12

= ( )

21 22

1

= ( )

2

1

=( )

2

Quindi il sistema si può scrivere: ′

= +

Osservazione:

∗ ∗

+ = 0,

sia una soluzione del sistema è soluzione particolare dell’equazione differenziale (punto

()

di equilibrio), allora l’insieme delle soluzioni del sistema è dato da:

∗

() = () +

()è