Modelli matematici ambientali

Modelli

Matematici

Ambientali

Marco Luppichini

1

Sommario

MODELLI DI CRESCITA A UNA FUNZIONE .......................................................................................................... 4

Equazioni differenziali lineari del primo ordine ................................................................................................ 4

Analisi del caso in cui è nullo .................................................................................................................... 5

Applicazione: modello di depurazione di un invaso ...................................................................................... 6

Risoluzione attraverso l’equazione omogenea e una soluzione particolare ................................................. 8

Equazioni differenziali non lineari del primo ordine ......................................................................................... 9

Modello che presuppone che la popolazione non cresca all’infinito ............................................................ 9

Funzione logistica con solo tasso di natalità ............................................................................................... 12

Funzione logistica con tasso di natalità e di mortalità ................................................................................ 13

Analisi dei punti di equilibrio ........................................................................................................................... 14

Teorema....................................................................................................................................................... 16

Esempio di un modello di crescita ............................................................................................................... 17

MODELLI DI CRESCITA A PIÙ FUNZIONI ........................................................................................................... 19

Equazione lineare del secondo ordine ............................................................................................................ 21

L’equazione omogenea associata ................................................................................................................ 21

Ammette soluzioni reali distinte ............................................................................................................. 21

Ammette soluzioni reali coincidenti ........................................................................................................ 21

Ammette soluzioni non reali (complesse) ............................................................................................... 21

Supponiamo che sia costante ................................................................................................................. 21

Supponiamo che non sia costante .......................................................................................................... 22

Risoluzione del modello in studio ................................................................................................................ 22

Troviamo una soluzione particolare ........................................................................................................ 22

Risolviamo l’equazione omogenea .......................................................................................................... 22

1 2

Ricaviamo .................................................................................................................................... 23

Utilizzo del calcolo matriciale per la risoluzione delle equazioni lineari del secondo ordine ..................... 25

Definizione di Autovalore ........................................................................................................................ 26

Teorema ................................................................................................................................................... 26

Applicazione 1.......................................................................................................................................... 26

Applicazione 2.......................................................................................................................................... 28

Equazioni non lineari del secondo ordine ....................................................................................................... 30

Modello Preda-Predatore ............................................................................................................................ 30

Modello Preda-Predatore con tasso costante di mortalità ......................................................................... 33

− > 0

Supponiamo che .................................................................................................................... 34

− = 0

Se invece ................................................................................................................................ 34

Funzione logistica ........................................................................................................................................ 34

2

Esempio ................................................................................................................................................... 37

Teoria – Riassunto ........................................................................................................................................... 38

Equazioni differenziali lineari del primo ordine .......................................................................................... 38

Metodiche di risoluzione ......................................................................................................................... 38

Esempi di Equazioni studiate ................................................................................................................... 38

Equazioni differenziali non lineari del primo ordine ................................................................................... 38

Metodiche di risoluzione ......................................................................................................................... 38

Esempi di Equazioni studiate ................................................................................................................... 38

Equazioni differenziali lineari del secondo ordine ...................................................................................... 39

Metodiche di risoluzione ......................................................................................................................... 39

Esempi di Equazioni studiate ................................................................................................................... 39

Equazioni non lineari del secondo ordine ................................................................................................... 40

Metodiche di risoluzione ......................................................................................................................... 40

Esempi di Equazioni studiate ................................................................................................................... 40

3

MODELLI DI CRESCITA A UNA FUNZIONE

Equazioni differenziali lineari del primo ordine

′ ()

= ()() + () ′ ()

= ⋯

Forma più generale di una equazione lineare del primo ordine in forma normale

La formula di risoluzione è: () −()

() = (∫ () + )

() = ∫ ()

Prendendo in esempio la funzione: ′ () (

= − ) ()

(

() = − )

() = ()

′ ′

() ()

=

() = 0

Quindi: () −()

() = (∫ 0 + )

() = ∫( − )

(

() = − )

()

() = (−)

() =

Questa funzione descrive una crescita esponenziale

Quanto vale C ? (−)0

(0) (0) = =

Se è noto allora 4

(−)

() = ()

→ ∞?

Quale è il limite per +∞ >

(−) 0 >

lim (0) = {

→∞ (0) =

( )

Analisi del caso in cui è nullo ′ ()

= ()

() = 0

() = ∫ () +

′ ()

= 2

() = 2 +

() = 2 + (0)

Crescita lineare: differenza tra comportamento esponenziale e comportamento lineare.

5

Applicazione: modello di depurazione di un invaso

( )

Supponiamo che in un invaso venga versato un inquinante con un flusso costante e supponiamo che

esista un impianto di depurazione che smaltisca l’inquinante con un tasso di smaltimento costante

(1

⁄

> 0 ).

K può essere associato al tasso di natalità mentre al tasso di mortalità

()

Determinare il comportamento dell’inquinante come flusso

′ () (

= − )()

1

′ ()

= ( − ) ; à

′ ()

= − ()

=

1

=

= ()

= ()

() = ()

() −()

() = (∫ () + )

() = ∫ − = −

−

() = (∫ + )

−

= ( ∫ + )

1

−

= ( + )

= + = ()

() = +

(0) = + 0

(0) = + 0

= (0) −

(0) −

(0) − 1 (0) −

() = + = + = +

( )

(0)

() = + −

() = + (() − )

Analizziamo il risultato adesso:

1

lim + ((0) − ) =

→+∞ 6

1

lim + ((0) − ) =

+∞

→+∞ 1

lim + ((0) − ) =

+∞

→+∞

A 0 non potrà mai mandare ma deve aumentare perché possa rientrare, ad esempio, nei limiti normativi.

−3 −3

= 1 < 10 > 10

se allora e quindi deve essere

(0) − > 0

(0) − <0

7

Risoluzione attraverso l’equazione omogenea e una soluzione particolare

′ ()

= ()() + ()

() = 0

′ ()

= ()()

Questa è l’equazione omogenea associata all’equazione data.

Teorema:

̅()

Sia una soluzione particolare dell’equazione differenziale data. Allora l’insieme delle soluzioni

dell’equazione data è ̅()

() = + ()

′

() è

∶ ()

()

̅

() = +

() = ∫ ()

Questa costituisce una espressione più facile da risolvere

Esempio:

′ ()

= − ()

:

− (0) = 0

=

() = ′ () ̅()

è è

()

() = +

−()

() = +

(0)

−

() = + (() − )

Abbiamo risolto evitando il secondo integrale che può essere di difficile risoluzione

8

Equazioni differenziali non lineari del primo ordine

Modello che presuppone che la popolazione non cresca all’infinito

Non possiamo supporre che la popolazione cresca all’infinito, ma essa dovrà tendere a un valore max (m)

 m: valore max sostenibile per la popolazione

 : tasso max di crescita della popolazione (nella situazione) migliore quando non c’è popolazione

0

 (): tasso in funzione della popolazione

, ()

Quando sono nella situazione iniziale deve valere e mano a mano diminuisce e quando sarò a

0 0

= il tasso dovrà essere pari a 0

(0, ) )

Γ = + (, 0 −

0 0

Γ=( )

(1

− )

0

= (1

() = − )

0

= 0

() = (1 − ) = −

0 0

−

() = ( )

Osservazione:

0 < <

per ipotesi per cui:

() ≥ 0

′ ()

= (())() −

′ ()

= ( )

0

′ 2

()

è : = −

0

Quindi è una equazione differenziale non lineare

′ ()

= ()ℎ()

(̅) = 0

9

() = ̅

()

Questo per poter dividere la funzione per che deve essere diversa da 0

() = 0 () =

Osserviamo che e per ogni t sono sono soluzioni particolari

0 < (0) <

Supponiamo che

′ ()

= () ∗ ℎ()

() ≠ 0

′ ()

= ℎ()

()

′ ()

∫ = ∫ ℎ()

()

∫ = ∫ ℎ()

()

ℎ :

′ ()

=

= () ∗ ℎ()

= ℎ() ∗

()

ℎ

′ () (

= − )

0

ℎ() =

(

() = − )

:

0 (

= − )

0

=

( − )

0 0

∫ = ∫ = +

( − )

1 + ( − ) + − ( − ) +

= + = = =

( ( ( (

− ) − − ) − ) − )

1 ( − ) +

=

( (

− ) − )

= 1

{ + =0

− =0

{ = 1

=

1

{

= =

10<