Modelli di gestione del rischio finanziario e assicurativo - Appunti

1: IL NO ARBITRAGE PRICING (MODELLI UNIPERIODALI).

1.1: LE ASSUNZIONI DI MERCATO.

Il nostro studio della teoria dell’asset pricing in assenza di arbitraggio inizia da alcune assunzioni di mercato. Andiamo perciò a definire il mercato, che è costituito da:

• Un insieme di asset negoziabili S₁, S₂, ..., S_i, ..., S_n.
• Un insieme di tempi t ∈ T nei quali questi asset possono essere negoziati.
• Una matrice n x T di prezzi degli asset, il cui generico elemento è indicato da S_i,t.

Una volta definito il mercato dobbiamo fare le seguenti assunzioni:

1. Stocasticità dei prezzi: Il vettore n x 1 dei prezzi degli asset al tempo t, ovvero S(t) = (S_1,t, S_2,t, ..., S_i,t, ..., S_n,t)^T, è un processo stocastico n-dimensionale definito in qualche spazio di probabilità (\Omega, F, P) dotato di una qualche filtrazione F_t. Questi prezzi sono processi adattati alla filtrazione F_t.
2. Compra e tieni: Gli asset possono essere acquistati in un qualche tempo t a un prezzo S_i,t, tenuti fino ad un istante t' > t e poi venduti al prezzo S_i,t' in una certa quantità (anche negativa).
3. Gli investitori sono marginali rispetto al mercato: cioè sono tutti investitori rappresentativi delle opinioni generali riguardo al mercato.
4. Tipologie di asset: Perché la definizione di mercato appena data sia valida, gli asset considerati non devono staccare dividendi, e non devono avere alcun costo di trasporto e/o di immagazzinamento.
5. Assenza di operazioni short e duplicazione degli asset: Per tener conto dei prezzi bid/ask, ciascun asset deve essere duplicato e il mercato non deve permettere operazioni short.
6. Vincoli sulla negoziazione e influenza dei grandi investitori: I grandi negoziazioni muovono il prezzo di mercato. Questo perché ciascun asset è suddiviso in un insieme di differenti asset, ciascuno con un differente prezzo e una disponibilità limitata.

1.2: COSTRUZIONE E VALORE DI UN PORTAFOGLIO.

Un portafoglio (al tempo t ) è definito come un vettore n x 1 di processi adattati α(t) = (α_1,t, ..., α_n,t)^T che rappresentano le quantità possedute di ciascun asset negoziabile sul mercato.

Ricordiamo che i prezzi in un generico istante t sono descritti da un processo stocastico n-dimensionale. Questo significa che il vettore dei prezzi degli asset in un certo istante t non è deterministico, ma può assumere un certo numero di stati differenti. L'insieme dei possibili stati di prezzo (in un particolare istante t ) è definito dal vettore degli stati 1 x K :

• ω(t) = (ω_1,t, ω_2,t, ..., ω_j,t, ..., ω_k,t).

1: IL NO ARBITRAGE PRICING (MODELLI UNIPERIODALI).

1.1: LE ASSUNZIONI DI MERCATO.

Il nostro studio della teoria dell'asset pricing in assenza di arbitraggio inizia da alcune assunzioni di mercato. Andiamo perciò a definire il mercato, che è costituito da:

• Un insieme di asset negoziabili _{,,..., ,...,}.
• Un insieme di tempi nei quali questi asset possono essere negoziati.
• Una matrice _prices. di prezzi degli asset, il cui generico elemento è indicato da _{prices .}.

Una volta definito il mercato dobbiamo fare le seguenti assunzioni:

1. Stocasticità dei prezzi: Il vettore _{prices .} dei prezzi degli asset al tempo , ovvero _{prices .} , è un processo stocastico n-dimensionale definito in qualche spazio di probabilità _{probability space,} dotato di una qualche filtrazione _{prices .} . Questi prezzi sono processi adattati alla filtrazione _{prices .} .

2. Compra e tieni: gli asset possono essere acquistati in un qualunque tempo . ad un prezzo _{prices .}, tenuti fino ad un istante > e poi venduti al prezzo _{prices .}, in una certa quantità (anche negativa).

3. Gli investitori sono marginali rispetto al mercato: cioè sono tutti investitori rappresentativi delle opinioni generali riguardo al mercato.

4. Tipologie di asset: perché la definizione di mercato appena data sia valida, gli asset considerati non devono staccare dividendi, e non devono avere alcun costo di trasporto e/o di immagazzinamento.

5. Assenza di operazioni short e duplicazione degli asset: per tener conto dei prezzi bid/ask, ciascun asset deve essere duplicato e il mercato non deve permettere operazioni short.

6. Vincoli sulla negoziazione e influenza dei grandi investitori: grandi negoziazioni muovono il prezzo di mercato. Questo perché ciascun asset è suddiviso in un insieme di differenti asset, ciascuno con un differente prezzo e una disponibilità limitata

1.2: COSTRUZIONE E VALORE DI UN PORTAFOGLIO.

Un portafoglio (al tempo ) è definito come un vettore _{prices .} di processi adattati _{prices .} che rappresentano le quantità po