Modelli di gestione del rischio finanziario e assicurativo - Appunti

1: IL NO ARBITRAGE PRICING (MODELLI UNIPERIODALI).

1.1: LE ASSUNZIONI DI MERCATO.

Il nostro studio della teoria dell'asset pricing in assenza di arbitraggio inizia da alcune assunzioni di mercato. Andiamo perciò a definire il mercato, che è costituito da:

• Un insieme di asset negoziabili \( S_{1}, S_{2}, ..., S_{i}, ..., S_{N} \).
• Un insieme di tempi \( t \in T \) nei quali questi asset possono essere negoziati.
• Una matrice \( n \times T \) di prezzi degli asset, il cui generico elemento è indicato da \( S_{i,t} \).

Una volta definito il mercato dobbiamo fare le seguenti assunzioni:

1. Stocasticità dei prezzi: Il vettore \( n \times 1 \) dei prezzi degli asset al tempo \( t \), ovvero \( S(t) = (S_{1,t}, S_{2,t}, ..., S_{i,t}, ..., S_{n,t})^T \), è un processo stocastico n-dimensionale definito in un qualche spazio di probabilità \( (\Omega, \mathscr{F}, P) \) dotato di una qualche filtrazione \( \mathscr{F}_{t} \). Questi prezzi sono processi adattati alla filtrazione \( \mathscr{F}_{t} \).

2. Compra e tieni: Gli asset possono essere acquistati in un qualche tempo \( t \) ad un prezzo \( S_{i,t} \), tenuti fino ad un istante \( \tau > t \) e poi venduti al prezzo \( S_{i,\tau} \) in una certa quantità (anche negativa).

3. Gli investitori sono marginali rispetto al mercato: cioè sono tutti investitori rappresentativi delle opinioni generali riguardo al mercato.

4. Tipologie di asset: perché la definizione di mercato appena data sia valida, gli asset considerati non devono staccare dividendi, e non devono avere alcun costo di trasporto e/o di immagazzinamento.

5. Assenza di operazioni short e duplicazione degli asset: per tener conto dei prezzi bid/ask, ciascun asset deve essere duplicato e il mercato non deve permettere operazioni short.

6. Vincoli sulla negoziazione e influenza dei grandi investitori: i grandi negoziatori muovono il prezzo di mercato. Questo perché ciascun asset è suddiviso in un insieme di differenti asset, ciascuno con un differente prezzo e una disponibilità limitata.

1.2: COSTRUZIONE E VALORE DI UN PORTAFOGLIO.

Un portafoglio (al tempo \( t \)) è definito come un vettore \( n \times 1 \) di processi adattati \( \alpha(t) = (\alpha_{1,t}, ..., \alpha_{n,t})^T \) che rappresentano le quantità possedute di ciascun asset negoziabile sul mercato.

Ricordiamo che i prezzi in un generico istante \( t \) sono descritti da un processo stocastico n-dimensionale. Questo significa che il vettore dei prezzi degli asset in un certo istante \( t \) non è deterministico, ma può assumere un certo numero di stati differenti. L'insieme dei possibili stati di prezzo (in un particolare istante \( t \)) è definito dal vettore degli stati \( 1 \times K \) :

• \( \omega(t) = (\omega_{1,t}, \omega_{2,t}, ..., \omega_{i,t}, ..., \omega_{k,t}) \).

Naturalmente, se t è un istante di tempo passato, allora osserveremo una realizzazione del processo stocastico, e il vettore degli stati conterrà solo un singolo elemento, lo stato effettivamente realizzatosi.

Ogni generico stato j sarà caratterizzato da un certo prezzo di stato _j, che può essere inteso come misura del costo sostenuto dal detentore del portafoglio nel caso si verifichi lo stato j piuttosto che uno degli altri stati. Nella stessa maniera usata per costruire il vettore degli stati, è quindi possibile anche costruire un vettore dei prezzi di stato:

In generale, un vettore dei prezzi di stato in un istante di tempo t è un vettore di dimensione 1 x K che soddisfa le seguenti condizioni:

• _j ≥ 0, V j
• (t–1) = S(t) · (t) ; in realtà questa relazione non è del tutto esatta, in quanto un prodotto scalare dà come risultato un numero reale. È meglio esporre questa condizione usando il seguente sistema di equazioni:
• S_i,t–1 = Σ_j=1^K S_i,t(_j)·_j, per ogni S_i,t(_j) che è il prezzo dell’asset i al tempo t nell’ipotesi che si verifichi lo stato _j, e _j, che è la probabilità che si verifichi lo stato j. Ricordiamo che S_i,t–1 è il prezzo di un generico asset i nell’istante di tempo t–1.

Quindi ciascun elemento di S(t–1) è ottenuto come soluzione dell’equazione appena mostrata, e la somma di tutti gli elementi dà come risultato l’effettiva soluzione del prodotto scalare sopra esposto. Possiamo perciò affermare che il prezzo di un asset in t è una media ponderata dei possibili prezzi che può assumere nel successivo istante t+1.

Alla luce di questo nuovo elemento, possiamo affermare che in realtà l’insieme dei prezzi degli asset in ogni particolare istante di tempo t è a sua volta rappresentabile come una matrice n x K il cui generico elemento è S_i,t(_j).

Il valore del portafoglio al tempo t è dato dalla doppia sommatoria:

V(t)= Σ_i=1ⁿ Σ_j=1^K _i(_j)·S_i,t(_j)·_j, con _i(_j) quantità di portafoglio dell’asset i al tempo t nell’ipotesi che si verifichi lo stato _j.

Se t è un istante di tempo passato, allora vi è un solo stato, quello effettivamente osservato, e la relazione si semplifica come segue:

V(t)=_t^T·S(t)= Σ_i=1ⁿ _i·S_i,t+1

Intuitivamente, il valore di un portafoglio si può modificare per due ragioni:

• Ribilanciamento: è possibile effettuare un ribilanciamento al generico tempo t, ovvero modificare le quantità relative dei vari asset componenti il portafoglio. La variazione di valore del portafoglio conseguente a questa operazione, detta costo di ribilanciamento, è data da:

RC= Σ_i=1ⁿ S_{i,t i,t}.

a esempio di quelli di tipo americano, che possono essere esercitati

intermedio tra quello di stipula e quello di scadenza).

Un’analisi completa dei derivati finanziari non è scopo della nostra trattazione,

né sarebbe effettivamente possibile, in quanto nascono nuovi derivati ogni

giorno, ciascuno con diversi profili finanziari e gradi di sofisticazione. Ci

limitiamo quindi ad esporre brevemente i più comuni derivati finanziari europei:

• Futures: contratti standardizzati, e quindi scambiabili nel mercati

  regolamentati, con cui l’acquirente si impegna ad acquistare un

  sottostante a scadenza ad un determinato prezzo prefissato al momento

  della stipula. Sia Q il prezzo prefissato alla stipula, allora il payoff del

  future sarà dato da:

  X_(T)=S_i,T−Q

Naturalmente, se a scadenza il prezzo del sottostante sarà maggiore del

prezzo Q prefissato al momento della stipula, allora il payoff del future

sarà positivo e pari alla differenza dei due prezzi. Viceversa in caso

contrario. Precisiamo che al payoff X_(T) va sottratto anche il prezzo di

acquisto del derivato, che qui non consideriamo.

• Opzioni europee: tipo di contratto che conferisce al possessore il diritto,

  ma non l’obbligo (da cui il termine opzione), di acquistare o vendere il

  titolo sottostante ad un determinato prezzo prestabilito, detto strike

  price, in una determinata data, (data di scadenza) a fronte di un

  pagamento iniziale non risarcibile. A ben vedere sembra del tutto

  identico al future sopra esposto. La differenza sostanziale sta nel fatto

  che il possessore non è obbligato ad acquistare/vendere il sottostante,

  ma può farlo esercitando l’opzione ne trae vantaggio. Esistono due

  principali tipologie di opzione:

  1. Opzione call europea: dà al possessore il diritto di acquistare il

     sottostante S_i a scadenza T ad un determinato strike price (K