Misure e teoria degli errori

Misure

Le MISURE (osservazioni) realizzate durante un rilievo topografico sono di due tipi:

• ANGOLI
• DISTANZE

Misura è il confronto tra due grandezze omogenee, una delle quali è quella di riferimento

Per la misura degli angoli possono essere adottati i sistemi analitici e i sistemi geometrici

SISTEMI ANALITICI

S = R, angolo α è espresso in radianti

• RADIANTE → valore di α sotteso da un arco di circonferenza avente lunghezza uguale al raggio della stessa S = R

Angolo GIRO = 2πPIATTO = πRETTO = π/2

SISTEMA GEOMETRICO

Nella pratica del rilievo topografico si usa il SISTEMA GEOMETRICO, dove la circonferenza viene suddivisa in m parti uguali: in base al m° di suddivisione dell'angolo giro si ha:

• SISTEMA SESSAGESIMALE (DEG): 360 gradi Prima Secondi
• SISTEMA CENTESIMALE (GRAD): 400 parti

(b)  360° = 60' = 60''

(d)  400 gon = 100 c = 100 cc

Trasformazioni misure angolari

Radianti → Sessagesimali

α^rad = α°

2π α°

• π ↔ 180°
• 2π ↔ 360°

α° = 34° 15' → 10,12

α° = 34° 15' + 10,12

= 34°,25

α^rad = 2π 2·2,14

Sessagesimale → Centesimale

α° = α^g

360° = 400^g

Centesimale → Radianti

α^rad = α^g

2π = 400^g

Circonferenza trigonometrica

raggio = OC = r (R=1)

• BC = senα → sinα = y/r
• OB = cosα → cosα = x/r
• OG = tanα → tanα = sinα/cosα
• DF = cotα

PRECISIONE ed ACCURATEZZA delle MISURE

• PRECISIONE = capacità di ripetere un'osservazione senza discostarsi molto dalla precedente
• ACCURATEZZA = capacità di un'osservazione di avvicinarsi al valore reale della grandezza ricercata

Es. del bersaglio

Precise

Imprecise

Non accurata

Accurata

Teoria degli errori

Ad ogni grandezza fisica viene associato un errore

ERRORI

• SISTEMATICI: sono costanti al ripetersi della misura, le modificazioni sempre della stessa quantità. Non si elimina con la ripetizione della misura. Esempio: errore strumentale (il righello tarato male).
• CASUALI: dati dovuti a tanti fattori concomitanti e casuali; si presentano su ogni misura, spostandola dal valore vero. L'errore casuale non è eliminabile. Esempio: lettura degli strumenti, disturbo esterno, variazioni di temperatura.

MEDIA

^X = media aritmetica della grandezza; il valore più attendibile di una serie di misure.

Considerando due eventi X ed Y non correlati che possono verificarsi con probabilità di p(X) e p(Y), in definizione.

PROBABILITÀ TOTALE:

Il verificarsi di almeno uno dei due eventi

p(X∪Y) = p(X) + p(Y)

PROBABILITÀ COMPOSTA:

Verificarsi di entrambi gli eventi

p(X∩Y) = p(X) p(Y)

DENSITÀ di PROBABILITÀ

La curva di Gauss permette di calcolare la probabilità che una misura x cada nell'intervallo dei valori A-B attraverso la funzione "densità di probabilità"

P(A ≤ X ≤ B) = P(B) - P(A) = ∫_A^B f(x) dx

Gli intervalli più utilizzati sono:

• P₁ = [X ∈ (μ - G ; μ + G)] = 68,27%
• P₂ = [X ∈ (μ - 2G ; μ + 2G)] = 95,45%
• P₃ = [X ∈ (μ - 3G ; μ + 3G)] = 99,73%

La curva normale rappresenta la probabilità di un dato evento e gode delle seguenti proprietà:

• valore medio μ è il valore più probabile
• ha due flessi in corrispondenza di μ - G e μ + G
• al crescere di G la curva si appiattisce
• la funzione è tale che ∫_-∞^+∞ f(x) dx = 1

Esempio: INTERSEZIONE LATERALE

NOTI:

• X_A, y_A
• X_B, y_B

MISURE: α, β

INCOGNITE: X_C, y_C

• RETE IGM fine 1800 - 8 lati misurata

Come è stata scelta la forma del triangolo?

1. X_C = X_A + b sen θ_AC
2. y_C = y_A + b cos θ_AC

α+β+γ=π

θ_AC - angolo azimutale

θ_AC - θ_AB = α

tg θ_AB = (X_B - X_A) / (y_B - y_A) → θ_AB

^c/_sinγ = ^a/_sinα = ^b/_sinβ

^{a - c}/_sinβ →

Valutiamo l'errore teoria su a in quanto funz. degli errori sugli angoli misurati