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Misure Elettroniche
Analisi Statistica Degli Errori
Tipi di grandezze misurate
- Discrete
- Continue
-
Si dicono discrete quelle grandezze che si basano su eventi elementari che assumono valori distinti.
-
Le grandezze distribuite con continuità sono quelle in cui gli eventi possono assumere qualsiasi valore tra limiti dati.
Istogramma
È una rappresentazione grafica di dati misurati (relativi generalmente a grandezze continue) in cui l'ascissa indica i valori misurati e l'ordinata la frequenza d’occorrenza in un range specifico di valori misurati.
Per costruire un istogramma è importante suddividere le osservazioni in gruppi adeguati (intervalli, classi o celle), prefissando i limiti adatti. Per prima cosa si determina il range di valori R(x):
R(x) = (Xmax - Xmin)
inoltre
R(x) = n° classi x ampiezza delle classi.
Tenere presente queste osservazioni:
- Le classi devono contenere tutti i dati
- Hanno almeno 6 intervalli e non più di 16
- Ogni dato deve essere contenuto in uno ed in uno solo degli intervalli
Per soddisfare questi 3 criteri si segue la seguente procedura.
Il valore di R(g) si divide da un valore opportuno di ampiezza cosicché il no di classi sta tra 6 e 26.
Dopo aver deciso l'intervallo di classe i, il no di classi, i punti
medi della classe e gli estremi risultano fissati.
Il punto medio o marker della classe è il valore della variabile
che si trova a metà tra l'estremo superiore e quello inferiore
della classe stessa.
Nel determinare gli estremi della classe occorre fare in modo che
nessuna misura cada sugli stessi cosicché senza difficoltà possa
mo determinare a quale classe appartiene una determinata osser-
vazione Dopo ciò i dati sperimentali vengono raggruppati nelle
varie classi scelte. Il no delle osservazioni, che cade all'interno
degli estremi di una particolare classe, è noto come la
frequenza della classe.
Nella pratica tali distribuzioni di frequenze k1 |2int 33 | | |2int
sono normalizzate rispetto all'ampiezza della classe e sono rapprese-
ntate sotto forma di istogrammi normalizzati.
Istogrammi normalizzati:
In un istogramma normalizzato si usa come ordinata la frequen-
za normalizzata (invece della frequenza assoluta o percentuale) Si
determina così:
Ho m classi: gli estremi delle classi sono x1, X1, x2, … xm e fl
fm sono le frequenze di occorrenza nelle varie classi.
Il no totale delle misure è m: Σlfl
L'ampiezza della classe i-esima è (x1-xl)
un approccio statistico è la valutazione di alcuni parametri sta-
tistici e per analogia con l’approccio di tipo probabilistico de-
termino di:
1) media sperimentale (x)
2) deviazione standard
1) Media aritmetica di tutti i campioni.
Parleremo di varianza sperimentale Sx2 = (1/N) Σ(x-x)2 e ha un pic-
colo problema quando la numerosità del campione è molto bassa,
in questo caso si utilizza la varianza sperimentale corretta
Sx2 = 1/(N-1) Σ(x-x)
2) La deviazione standard è data dalla radice di Sx2
Molto importante è la varianza sperimentale della media che
è pari alla varianza sperimentale diviso N
S2x/N -> Sx = Sx/√N
scarto tipo della media
Sx sarà piccolo quando N è grande. Maggiore è la nume-
rosità del campione e minore sarà lo scarto tipo.
1) Rappresenta la variabilità della media. Se vogliamo
osservare una popolazione la osserveremo con diversi campioni,
infese non ci sono effetti deterministici, possiamo dire che tutti
i campioni che preleviamo in maniera elettronica avranno
medie che saranno più vicine tra loro rispetto agli interi cam-
pioni. Questo perchè la media del campione deve tendere
alla media dell’intera popolazione. Di conseguenza la devia-
azione standard della media è più piccola della deviazio-
ne standard dell’intero campione.
- x2∑i=1 (phossi, patti) :
(8 - 5)2/5 + (7 - 5)2/5 + (6 - 5)2/5 + (4 - 5)2/5 + (3 - 5)2/5 + 42/5
= 9/5 + 4/5 + 1/5 + 1/5 + 4/5 + 9/5 = 5,6
posto α = 5% (lo decido io, il fattore di rischio)
Il n° di classi e : M = 6
i gdl sono : ν = M - 1 = 5
Dalla tabella con α 0,05 e ν = 5 trovo x2tab = 11,071
poiché x2 < x2tab non posso dire che il dado è truccato
Allora entro dell’altra parte della tabella con α = 1 o α = 0,95
con il 95% ho x2tab = 1,145 quindi non posso dire che il dado
non è truccato né che lo è.
L’unica cosa che posso fare è aumentare il n° di lanci.
Con 100 lanci, la patt è = 16,66, cioè il mio istogramma è:
1 2 3 4 5 6
-------------------- N
ma osservo invece che:
poss
1 29
2 25
3 23
4 20
5 10
6 9
-> Calcolo ∑(x2)
x2 = ∑i (possi - pui)2 / patt
= (29 - 16,66)2 / 16,66 + (25 - 16,66)2 / 16,66 + (23 - 16,66)2 / 16,66 + ....
+ (20 - 16,66)2 / 16,66
+ (10 - 16,66)2 / 16,66
+ (9 - 16,66)2 / 16,66
= 5,24 + 5,21 +
+ 1,67 + 1,30 + 2,66 + 3,52 = 15,8
Valori numerici:
che cadono in questi intervalli (per esempio, tra 8,252 e 9,358 solo 2 valori numerici dell'intera popolazione).
Dato il no basso di osservazioni delle prime due classi, le uniamo alla terza classe per avere un no minimo di 5 osservazioni. Dopo l'accorpamento la I classe sarà composta da 11 osservazioni.
Determiniano la media della popolazione:
x̄ = 1/N Σi=1N Xi = 1/30 * 30/4 * 12,180.
La deviazione standard è:
Σ = 1,569
Σ (x2 - Σ)2/Σ
Test 3
H0: μ1 = μ2
H1: μ1 ≠ μ2
N1 = 20
N2 = 22
x̄1 = 0,784 A
x̄2 = 0,816 A
S12 = 0,061 A
S22 = 0,052 A
tα, ν 1,884
ν = N1 + N2 - 2 = 40
7/10/2013
Il risultato di una misurazione è una variabile aleatoria perché ci sono molte cause di variabilità: dovute un po' alla variabilità stessa del misurando, alle variabilità delle condizioni che possono influenzare il risultato etc. Tutto ciò appunto determina una variabilità del nostro risultato di misura che dobbiamo in qualche modo qualificare e rappresentare la variabilità.
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