Microeconomia per la finanza, secondo parziale, prof. Colombo

MERCATI COMPLETI E MERCATI INCOMPLETI

Noi abbiamo visto che nel caso di mercato dei beni contingenti allo stato del mondo, il mercato è completo. In particolare, supponiamo che ci sia un solo bene, se c'è un solo bene e S stati del mondo, se io ho S mercati del bene contingente allo stato del mondo, quindi ho pesce nello stato del mondo 1 e pesce nello stato del mondo 2 e pesce nello stato del mondo S, dico che i mercati sono completi.

In questo caso sappiamo che l'equilibrio concorrenziale ci condurrà a una situazione efficiente in senso di Pareto nella quale vale il primo teorema fondamentale dell'economia del Benessere.

Abbiamo altresì detto che è possibile ottenere un mercato completo se prima mercato degli Arrow's Securities, quindi con S stati del mondo abbiamo S mercati degli Arrow's Securities e poi successivamente si apre un mercato spot dei beni, nel caso, ovviamente in cui ne esista più di 1.

Quindi anche in

In questo caso abbiamo un mercato completo. Avevamo detto che con mercati di beni contingenti avevamo mercati, con Arrow's Securities e poi si apre un mercato per L beni, abbiamo solo quindi è molto più parsimonioso e molto più realistico.

Adesso vediamo un attimo il caso di S stati e S mercati degli Arrow's Securities, questi sono descritti dai cosiddetti vettori complementari:

Il primo Arrow's Securities paga 1€ nel primo stato del mondo e 0 in tutti gli altri stati.

Il secondo Arrow's Securities paga 1€ nel secondo stato del mondo e 0 in tutti gli altri stati.

L'ennesimo Arrow's Securities paga 1€ nello stato S del mondo e 0 in tutti gli altri stati.

Naturalmente abbiamo appena detto che se esiste un mercato degli Arrow's Securities, il mercato è completo, nel caso di 1 solo bene. Altrimenti è richiesto che esista degli Arrow's Securities e poi si apre successivamente un mercato dei beni.

Se il

mercato è completo, significa che l'individuo può tranquillamente trasferire ricchezza tra i diversi stati del mondo, ovviamente non piace lui perché c'è un vincolo di bilancio, nel senso che se acquista 1 Arrow's Securities, deve venderne un altro eccetera, ma io posso tranquillamente trasferire risorse, se io voglio consumare di più nello stato del mondo 2 perché nello stato del mondo 2 sono più povero, è quello in cui subisco il furto della mia automobile, comprerò l'Arrow's Securities e venderò l'Arrow's Securities. In questo modo trasferisco risorse dal primo stato del mondo al secondo stato del mondo.

In certi casi non abbiamo gli Arrow's Securities, nel caso dell'assicurazione era quello che mi diceva che se viene rubata la tua automobile, allora ti do €1, altrimenti niente, in tutti gli altri stati non ottieni niente.

In certi casi non esistono degli

Arrow's Securities, però esistono dei titoli che pagano un ammontare diverso nei diversi stati del mondo: io acquisto un'azione che nello stato del mondo 1 è quello di un boom economico, mi dà 3, nello stato del mondo 2 che è quello di recessione mi dà 1 e nello stato del mondo 2 che è quello normale mi dà 2.

Questo è un titolo complesso che può ovviamente essere ottenuto con una combinazione lineare degli Arrow's Securities perché, se noi abbiamo questi S titoli (immagine sopra), abbiamo che ovviamente essi sono linearmente indipendenti e il determinante di questa matrice, e, è un valore positivo, siccome ho S stati del mondo ho una matrice SxS che ha un determinante diverso da zero, ho S vettori linearmente indipendenti, se ne metto uno in più quello sarà per forza linearmente dipendente dagli altri.

Quindi vediamo questo caso in cui il vettore (3,2,1) può essere ottenuto come

combinazione lineare dei seguenti titoli:

• Primo Arrow's Securities: 3 unità
• Secondo Arrow's Securities: 1 unità
• Terzo Arrow's Securities: 2 unità

Nel secondo caso, invece, la combinazione lineare dei titoli è:

• Primo Arrow's Securities: -1 unità
• Secondo Arrow's Securities: 1 unità
• Terzo Arrow's Securities: -5 unità

Ogni titolo complesso può sempre essere ottenuto come combinazione lineare dei titoli sottostanti.

combinazione lineare degli Arrow's Securities. 264

TEOREMA DI ADDITIVITÀ DEL VALORE

Se io ho degli Arrow's Securities, posso prezzare il titolo complesso? Si, ma non solo.

Se io ho un titolo, per dire che è una variabile casuale, che può essere ottenuto come , allora il prezzo di deve essere necessariamente uguale a .

Questo è il teorema di additività del valore che mi dice come, in presenza nel mercato di un titolo che è combinazione lineare di altri titoli, deve esserci una relazione tra questi prezzi determinata da questo teorema di additività del valore.

Noi finora abbiamo detto che abbiamo un mercato completo quando esiste un mercato di beni contingente allo stato del mondo oppure, ciò che è lo stesso, abbiamo un mercato completo quando abbiamo gli Arrow's Securities più eventualmente, in caso di pluralità di beni, un mercato spot.

Ora, lasciamo perdere il mercato spot, quando abbiamo gli

Il numero di titoli/asset (Arrow's Securities o titoli complessi) è importante per determinare la completezza del mercato. Se il numero di titoli tra loro linearmente indipendenti è uguale a S, allora diciamo che il mercato è completo. Se il numero di titoli tra loro linearmente indipendenti è minore di S, allora diciamo che il mercato non è completo.

Esempio 1:

Abbiamo un titolo elementare, un Arrow's Securities, che paga 1 euro nel primo stato del mondo e 0 nel secondo. Ad esempio, potrebbe essere un'assicurazione per l'automobile: se l'automobile viene rubata, ricevo 1 euro, altrimenti 0.

Invece, abbiamo un titolo che paga 1 euro in ogni stato del mondo. Ad esempio, potrebbe essere un titolo risk-free, che paga un tasso di interesse e una cedola indipendentemente dallo stato dell'economia.

Esiste

ma allora di fatto esiste sia che equindi il mercato è completo. 266Vediamo ora questo esempio in base alla definizione.Abbiamo due titoli, e , con 2 stati del mondo e avendo due titoli M=2 .Andiamo a calcolare il rango di questa matrice: devo andare la matrice quadrata più grande il cuideterminante è diverso da zero:Ma allora il K, cioè il numero di vettori linearmente indipendenti, è uguale a 2.quindi il mercato è completo.

EsercizioIn un mondo caratterizzato da quattro possibili stati del mondo, esiste un mercato per quattro Arrow’sSecurities, , , e , e per un titolo complesso c , con(a) Mostrate che è possibile «replicare» i rendimenti del titolo c nei quattro possibili stati del mondoutilizzando un portafoglio che contiene unicamente i quattro Arrow’s securities.Per avere 5 nel primo stato del mondo devo per forza acquistare 5 unità Arrow’s Securities che fannoriferimento al primo stato del mondo,

Per ottenere 2 devo acquistare 2 unità Arrow's Securities che fanno riferimento al secondo stato del mondo, non ho niente nel terzo stato del mondo e quindi non acquisto nulla. E per ottenere 6 devo acquistare 6 unità Arrow's Securities che fanno riferimento al quarto stato del mondo. Quindi abbiamo:

(b) Mostrate che se i prezzi dei cinque titoli fossero , , , e, nel caso in cui sia possibile andare "short" sui cinque titoli esisterebbe una possibilità di arbitraggio.

Andiamo a vedere quanto spenderebbe l'individuo se volesse ottenere C non pagando per acquistare il titolo 5, ma per acquistare C come combinazione di , e :

Quindi abbiamo 11.58 e il prezzo di c è 9.80, non mi conviene ottenere C come combinazione lineare degli Arrow's Securities perché mi costerebbe di più, tuttavia a questo punto mi conviene acquistare C e lo pago 9.80 e vendere 5 Arrow's Securities del primo tipo, vendere 2 Arrow's Securities.

Securities del secondo tipo e 6 Arrow's Securities del terzo tipo. In questo modo ho un prezzo di acquisto di 9.80€.