Microeconomia per la finanza, secondo parziale, prof. Colombo

PRUDENZA E TOLLERANZA

Nell'ambito dell’approccio basato sull'utilità attesa abbiamo visto la rilevanza della derivata prima e

della derivata seconda, in particolare abbiamo visto che se la derivata prima della funzione di utilità è

positiva, allora l'individuo ha preferenze monotone preferisce avere una ricchezza maggiore piuttosto

che una ricchezza minore, invece la derivata seconda dice qualcosa sull’attitudine dell'individuo nei

confronti del rischio, in particolare se la derivata seconda è negativa abbiamo un individuo che è

avverso al rischio.

Abbiamo visto che l'avversione al rischio può essere vista in termini behaviour cioè in termini di

comportamento in due modi diversi: uno è che l'individuo preferisce ricevere con certezza il valore

l'atteso piuttosto che partecipare a una lotteria che in media, se venisse ripetuta un numero indefinito

di volte, paga quel valore atteso ma che incorpora anche un certo grado di rischio; e il secondo modo

behavior di vedere l’avversione al rischio è che l'individuo preferisce disaggregare le perdite, se dati

due stati del mondo equiprobabili, deve avere una perdita e una perdita , preferisce avere una

perdita in uno dei due stati del mondo e una perdita in un altro stato del mondo, piuttosto che

avere una perdita in uno dei due stati del mondo e avevamo visto che questo poteva essere

interpretato anche come la preferenza dell'individuo che deve subire una perdita necessariamente di

subirla nello stato del mondo in cui è più ricco del mondo, dato che i due stati del mondo sono

equiprobabili.

In realtà anche la derivata terza e la derivata quarta ci possono dire qualcosa sempre nell'approccio

basato sull’utilità attesa, in particolare la derivata terza è legata alla prudenza e la derivata quarta è

legata alla tolleranza.

In particolare:

 derivata prima positiva indica monotonicità

 derivata seconda negativa indica avversione al rischio

 derivata terza positiva indica prudenza

 derivata quarta negativa indica tolleranza

Ricordiamocelo in questo modo, vuol dire che abbiamo un'alternanza dei segni

Indice di prudenza

Adesso definiamo la prudenza di un individuo, ancora una volta preferiamo dare una definizione di

tipo behaviour cioè di tipo comportamentale che prescinde dalla teoria dell'utilità attesa e quindi dal

teorema di VNM però poi vedremo l'implicazione di questa definizione, una volta che accettiamo la

teoria di VNM.

Definizione: un individuo è prudente se abbiamo da una parte una perdita con ossia una

–

perdita monetaria sicura e dall'altra parte abbiamo un rischio , è una lotteria equa ossia una lotteria

150

di puro rischio che ha un valore atteso uguale a zero.

L’idea è che supponiamo che noi siamo costretti ad accettare una certa perdita monetaria e certo

rischio, se noi siamo avversi al rischio, la lotteria ha quindi il nostro l'equivalente

incertezza è minore di zero .

Abbiamo due stati del mondo equiprobabili, la domanda è: ma preferite subire la perdita e il rischio

nello stesso stato del mondo oppure preferite avere la perdita in uno stato del mondo e il rischio di un

altro stato del mondo? Se voi preferite avere perdita monetaria e rischio in due diversi stati del

mondo, diciamo che l'individuo è prudente.

Questo è il primo modo di vedere la prudenza, preferisco disaggregarli comunque, da un lato la

perdita e dall’altro il rischio.

Un altro modo di vedere questa cosa è che supponiamo che nel primo ramo ossia in questo stato del

mondo noi dobbiamo per forza subire una perdita quindi perdiamo K, significa che la nostra

ricchezza passa da a nel primo ramo.

Adesso io vi chiedo, dovete per forza subire un rischio, preferite subirlo dove siete più ricchi o dove

siete più poveri? Se scegliete dove siete più ricchi vuol dire che scegliete di averlo nel secondo ramo

perché lì abbiamo una ricchezza , se preferite subire il rischio dove siete più poveri allora preferite

il primo ramo della seconda lotteria perché abbiamo e lì subiamo il rischio.

Un individuo è prudente se preferisce subire il rischio nello stato del mondo in cui è più ricco.

Con questa seconda interpretazione si parla di avversione al ≤ dowside risk ≥ , cioè se voi siete

 costretti a subire un rischio, preferite accettare quel rischio nello stato del mondo in sui siamo più

ricchi rispetto lo stato del mondo in cui siamo più poveri, ipotizzando che i due stati del mondo

siano equiprobabili.

Quindi prudenza vuol dire preferisco accettare il rischio nello stato del mondo in cui sono più

 ricco.

Adesso passiamo alla teoria dell'utilità attesa, in questo caso come vi dicevo la prudenza è legata alla

derivata terza, in particolare se calcoliamo l'indice di prudenza assoluta sarà uguale a meno derivata

terza diviso derivata seconda. 151

Proposizione:

L'individuo è prudente (avverso il downside risk) e solo se l'indice di prudenza assoluto è maggiore di

zero,

Ma siccome noi in questo corso parleremo di prudenza considereremo sempre un individuo avverso

al rischio, abbiamo che l’individuo è prudente quando la derivata terza è positiva perché quando

questo indice è maggiore di zero, se la derivata seconda negativa abbiamo che negativo*negativo

diventa positivo se e solo se la derivata terza è maggiore di zero.

Proposizione:

Questa proposizione ci dice come varia il premio per il rischio al variare della ricchezza iniziale, che

ovviamente dipende dall’individuo. Noi in particolare ci chiediamo cosa succede se, data una lotteria

equa, quindi una lotteria caratterizzata da puro rischio senza rendimento, qualcosa che ovviamente è

negativa per l'individuo e quindi , noi vogliamo calcolare il premio per il rischio per un

individuo avverso al rischio, abbiamo già visto più di una volta che siccome il valore atteso è uguale a

zero., il premio per il rischio è uguale a valore atteso meno equivalente di certezza, , ma

se il valore atteso è uguale a 0, questo premio per il rischio per una lotteria equa è uguale a meno

all’equivalente di certezza . Il premio per il rischio è positivo perché abbiamo un individuo

avverso al rischio.

Il premio per il rischio è decrescente in , cioè l’individuo è sempre meno disposto a pagare per

eliminare il rischio e avere il valore atteso (ma in questo caso ) se e solo se abbiamo una DARA

cioè all’aumentare di , il coefficiente di avversione assoluta al rischio di Arrow-Pratt diminuisce,

vuol dire che se io divento più ricco, ho una DARA, divento in qualche modo meno avverso al rischio

quindi sono disposto a pagare di meno per eliminare il rischio.

Questa proposizione ci dice anche che il premio il rischio è decrescente in se e solo se l’indice di

prudenza assoluta è maggiore del coefficiente di avversione assoluta al rischio .

Quindi vuol dire che se ho un individuo che all’aumentare della sua ricchezza è sempre meno disposto

a pagare per eliminare al rischio, non devo avere solo che l’individuo sia prudente, ma anche che il suo

indice di prudenza assoluta sia maggiore del coefficiente di avversione assoluta al rischio. 152

Questa ultima parte la possiamo dimostrare.

Scriviamo l’equazione di e di DARA:

Ora devo fare la derivata della definizione di rispetto a : La derivata di un rapporto cosa è? E’ la

derivata del numeratore per il denominatore

meno la derivata del denominatore per il

numeratore, tutto questo fratto il

denominatore al quadrato.

Ora siccome al denominatore ho un numero

elevato al quadrato, lo elimino perché è

sempre positivo.

Questa espressione la posso riscrivere come: Poiché ho un meno davanti, lo tolgo e

cambio segno.

A questo punto evidenziamo che noi stiamo ipotizzando che l’individuo abbia preferenze monotone,

quindi la derivata prima è positiva, perché mi serve? Perché se io ora divido sia il lato sinistro e il lato

destro per , siccome sto dividendo per un termine positivo il segno rimane invariato:

Perché faccio questo? Perché voglio ottenere che è , devo ottenere il meno.

Ora voglio ottenere anche che è quindi devo dividere il lato destro e sinistro

per , ma è minore di zero quindi se divido tutto per un numero negativo devo cambiare

di segno: 153

A questo punto siccome devo ottenere il segno meno da entrambi i lati, moltiplico tutto per -1 e

ottengo il nostro risultato .

Quindi se non ho una DARA, l’individuo non sarà prudente, se ho una DARA devo confrontare i due

coefficienti.

Quindi ho una DARA se e solo se .



Indice di temperanza

Diamo come prima cosa la definizione behavior di temperanza quindi che prescinde per il momento

dalla teoria della massimizzazione dell’utilità attesa e del teorema di VNM.

Abbiamo ora due variabili casuali e che hanno media nulla e cioè sono

caratterizzate da puro rischio e senza rendimento.

Abbiamo due stati del mondo equiprobabili e pongo una domanda simile a quella di prima, ma con

l’avversione al rischio avevamo due perdite , con la prudenza avevamo e un rischio, ora

–

abbiamo due rischi, quindi la domanda è: preferiamo avere un rischio nello stato del mondo e un altro

nell'altro stato del mondo o avere tutte e due rischi in un solo stato del mondo?

Un individuo è temperante, in questo caso, se preferisce avere i due rischi, stocasticamente

indipendenti, in due diversi stati del mondo, piuttosto che accorparli in un unico stato del mondo.

Devono essere stocasticamente indipendenti perché supponiamo che siano perfettamente correlati

negativamente, se sono perfettamente correlati negativamente, vuol dire che e questo rischio si

annulla e quindi un individuo avverso al rischio preferirebbe non avercelo piuttosto che avercelo nei

due stati del mondo. 154

La temperanza fa riferimento alla derivata quarta che

deve essere negativa e l’indice di temperanza assoluta

si calcola come:

Esercizio:

Considerate un individuo con una ricchezza iniziale le cui preferenze sulla sua ricchezza finale

W possono essere descritte dalla funzione di utilità . Siano poi e due

costanti non negative e due variabili casuali tra di loro stocasticamente indipendenti, con

. Considerate poi le tre preferenze seguenti.

Visto queste preferenze possiamo dire che l’individuo in esame è avverso al rischio, prudente e

tollerante.

Vogliamo vedere se la funzione logaritmo, per un individuo che massimizza l’utilità attesa e per cui

vale il teorema di VNM è effettivamente avverso al rischio, prudente e tollerante. Questo lo vediamo

in due modi diversi.

(a) Verificate che le tre preferenze tra lotterie sono soddisfatte se , , è una variabile

casuale che paga con probabilità ½ e 4 con probabilità ½, è una variabile casuale che paga

con probabilità ½ e 6 con probabilità ½, confrontando l’utilità attesa di ciascuna coppia di lotterie.

Con questi dati vogliono vedere se valgono le preferenze delle lotterie sopra.

Quando abbiamo , sostituisco i valori nella prima serie di lotterie con la funzione

 logaritmo, come lo verifico? Mi calcolo la mia utilità attesa sulla ricchezza finale: 155

Quindi possiamo dire che il lato sinistro è preferito al lato destro perché per il

teorema di VNM una lotteria X è preferita alla lotteria Y se e solo se l’utilità attesa della lotteria

in questo caso infatti abbiamo che .

Ora vado a sostituire i valore nella seconda serie di lotterie:



Quindi possiamo dire che il lato sinistro è preferito al lato destro perché per il

teorema di VNM abbiamo che .

Ora vado a sostituire i valore nella terza serie di lotterie:

 In questo caso ho riscritto come lotteria

accorpando già i risultati di + : ho

moltiplicato la probabilità e poi ho fatto

la somma delle conseguenze.

Quindi possiamo dire che il lato sinistro è preferito al lato destro perché per il

teorema di VNM abbiamo che . 156

In questo ultimo caso è importante anche vedere questa nota perché in generale vale sempre quando

delle variazioni di questo tipo (riferimento alla terza serie di lotterie) e dice che il valore atteso è

ovviamente uguale nei due casi, e se calcoliamo anche la varianza otteniamo che è la stessa.

Cioè quando noi introduciamo in due stati del mondo equiprobabili due lotterie eque, la varianza

quando separo i rischi o gli accorporo, è esattamente la stessa.

In base alll’approccio media-varianza, l’individuo dovrebbe essere indiffente tra il lato destro e il lato

sinistro, ma in questo caso vediamo che quindi vuol dire che quello che adesso stiamo facendo,

in base alla massimizzazione dell’utilità attesa, contraddice l’approccio media-varianza e quindi in

qualche modo critica l’approccio media-varianza.

Facciamo un esempio: supponiamo che siamo obbligati a un rischio e siamo obbligati in questo

momemtno a lanciare una moneta onesta: se esce testa guadagnate +1000€ e se esce croce e perdete -

1000€ poi lancio un dado se viene 1,2,3 vincete +1000€ e se 4,5,6 perdete -1000€. Ora vi permetto di

scegliere se avere tutte e due i rischi insieme oppure no quindi: lanciate una sola moneta e poi avete il

vostro rischio, se c’è testa avete , se c’è testa avete oppure lanciate una moneta, se esce testa vi

beccate tutti e due i rischi cioè quindi lancio moneta e dado, quindi puoi guadagnare +2000€ o

perdere -2000€, mentre se esce croce non succede niente.

Se voi mi dite che preferite disaggregare i rischi, quindi lato sinistro, piuttosto che accorparli significa

che voi siete tolleranti ma vuol dire anche che state contraddicendo l’approccio media-varianza

perché in base all’approccio media-varianza un individuo dovbrebbe essere indifferente.

Questo esercizio A ha usato dei numeri, una funzione logaritmica e ha visto che l’individuo in

 esame preferisce sempre la lotteria sinistra rispetto la lotteria sinistra quindi ha queste

preferenze: avverso al rischio, prudente e tollerante.

(b) Utilizzate i risultati teorici da voi conosciuti per mostrare che le tre preferenze tra lotterie sono

soddisfatte per ogni , , e , con .

Vediamo ora in questo caso d’esame se l’individuo è effettivamente prudente e tollerante. 157

Qui calcoliamo già il

coefficiente di

avversione assoluta al

rischio che servirà per

un punto successivo.

L’individuo è avverso al rischio, quindi valutiamo il primo caso: Ricordiamo che:

Andiamo a calcolare la derivata terza e ora che abbiamo e possiamo calcolare l’indice

di prudenza assoluta:

L’individuo è prudente, ma se è prudente preferisce subire il rischio nello stato del mondo in cui è più

ricco rispetto a quando è più povero: Ricordiamo che:

Andiamo a calcolare la derivata terza e ora che abbiamo e possiamo calcolare l’indice

di tolleranza assoluta:

L’individuo è tollerante, ma se è tollerante significa che posto di fronte a due lotterie eque di puro

rischio tra di loro stocasticamente indipendenti, preferisce separarle in due diversi stati del mondo

equiparabili piuttosto che accorarli in un unico stato del mondo.

Il nostro individuo è avverso al rischio, prudente e tollerante.

 158

Considerazioni su una funzione di utilità:

Prendiamo una funzione di utilità:

la quale non è definita se . Affinché l’individuo sia avverso al rischio

devo avere che sia negativo ma

Calcoliamo ora la derivata prima e seconda: abbiamo che è positivo, il meno è negativo e

quindi devo avere . Se l’individuo

è avverso al rischio.

Il coefficiente di avversione relativa al rischio è:

Quindi vediamo che la derivata del coefficiente di avversione relativa al rischio rispetto alla ricchezza,

essendo una costante, è uguale a zero quindi abbiamo una CRRA.

Cosa succede quando ?

Il problema di questa funzione è che non è definita in 1 e quando prendiamo il limite

con allora il tende a zero quindi tende a 1, mentre il denominatore tende a zero

quindi abbiamo che questo rapporto tende a .

Quindi prendere questa funzione in sé per sé e fare il limite con non mi dice nulla perché mi dà

un valore che tende a .

Tuttavia noi sappiamo che la funzione di utilità con la proprietà dell'utilità attesa non è unica, ma 159

possiamo effettuare una qualunque trasformazione lineare positiva di una funzione di utilità ed essa

stessa sarà una funzione di utilità che descrive esattamente le stesse identiche preferenza.

Quindi adesso facciamo una trasformazione lineare positiva in cui tolgo una costante :

Questo posso certamente farlo perché possiamo fare ogni trasformazione lineare positiva del tipo

Quindi questa è una nuova funzione di utilità che descrive esattamente le

stesse preferenze della funzione di utilità

Perché ho fatto questa trasformazione? Perché adesso cosa succede quando ?

Il denominatore tende a zero, ma quando abbiamo che tende a 1 , questo meno -1 quindi

abbiamo anche al numeratore 0, ma così abbiamo una forma indeterminata .

Ho una forma indeterminata 0/0 posso usare il teorema di de l'Hopital.

Quando io ho il limite di una forma indeterminata, questo è uguale al limite della derivata del

numeratore diviso la derivata del denominatore.

Quindi adesso deriviamo il numeratore abbiamo che -1 se ne và, mentre lo deriviamo

rispetto ad : devo ricordarmi che la derivata di , inoltre è una forma

composta quindi prima devo derivare l’esponente e poi tutto: . Al denominatore

abbiamo quindi la derivat