Microeconomia per la finanza, primo parziale, prof. Colombo

SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO

Una scelta in condizioni di rischio, seppur il termine possa sembrare strano, è una scelta di fatto tra lotterie, quando noi acquistiamo un titolo finanziario, per esempio un'azione, stiamo acquistando una lotteria nel senso che noi sappiamo esattamente quale prezzo che paghiamo oggi per acquistare quell'azione, ma non sappiamo quanto varrà quell'azione tra un anno, potrebbe valere di più o di meno. Quindi di fatto questa è una lotteria.

Lotteria

Vediamo cosa è una lotteria: in termini tecnici una lotteria semplice è una distribuzione di probabilità sull'insieme delle conseguenze.

Adesso andiamo alla definizione formale e poi la capiamo meglio con un grafico.

Formalmente dato un insieme di conseguenza X, per esempio tutti i possibili pay-off monetari, tutti i possibili rendimenti del mio asset finanziario, una lotteria è una distribuzione di probabilità P(x) che ha due

caratteristiche:

• Le conseguenze sono eventi tra di loro disgiunti, se X appartiene all'insieme delle conseguenze, Y appartiene all'insieme delle conseguenze, X intersezione di Y è uguale all'insieme vuoto. X e Y sono tra di loro disgiunti.
• Gli eventi sono tra di loro esaustivi cioè l'unione di tutti gli X, dà l'evento universale che contiene tutti i possibili eventi. Quindi l'evento universale si verifica con probabilità uguale a 1, è un evento certo. Poiché gli eventi sono disgiunti, la probabilità dell'unione è solo uguale alla somma delle probabilità, non dobbiamo togliere la proprietà dell'intersezione perché l'intersezione è l'insieme vuoto e l'insieme vuoto si verifica con probabilità nulla.

Come vi dicevo questo lo possiamo capire meglio con un semplice esempio. Prendiamo una lotteria, ormai ce ne sono poche, ma immaginiamo

Acquisto un'azione, facciamo quindi un esempio finanziario: ipotizziamo che il prezzo corrente di un asset in euro sia a 10. Ipotizziamo altresì che possa acquistare un'opzione call pagando €1 e il prezzo di esercizio di tale opzione sia di 10. Ipotizziamo infine che attribuisco una probabilità di 0,5 al fatto che il prezzo tra un anno sia 12 e 0,5 al fatto che sia 4.

Quindi un'opzione call è un'opzione che mi permette di acquistare questo titolo/asset a €10. Quindi pago €1 e poi fra un anno, se voglio (supponiamo che non posso esercitarlo in itinere), posso solo esercitarlo fra un anno per semplificarmi la vita. Io posso decidere se esercitare il diritto di opzione oppure no. Il diritto di opzione significa che io comprerò quell'asset a €10. Ovviamente, se il valore dell'asset fra un anno sarà superiore a €10, mi conviene esercitare il diritto di opzione perché pago una cosa che vale

lotterie il cui premio esito è esso stesso la lotteria. Riprendiamo l'esempio precedente ma supponiamo che sia tutto espresso in dollari, ma io sono un utente italiano e quindi io ho € nel mio portafoglio. Quindi questo significa che io oggi acquisterò il titolo in dollari, convertirò i miei euro in dollari per acquistare l'opzione (non il titolo) call e fra un anno se desiderò potrò acquistare il titolo a $10.

In questo caso ci sono c'è una doppia incertezza perché da un lato io non so se aver acquistato un'opzione sarà una buona cosa oppure no, perché se vorrà $12 saranno una buona cosa perché pagherò $10 un titolo che vale 12, se invece il titolo verrà $4 sarà stato inutile acquistare l'opzione nel senso che non esercito e quindi non mi darà nulla. Ci può anche essere però un rischio cambio perché io so quanto pago oggi il cambio euro-dollaro,

ma non so quanto varrà domani, quindi devo fare delle ipotesi: ipotizzando che il cambio attuale sia 1 (1 euro per 1 dollaro), che domani sia 1 con probabilità 1/3 e 1.1 con probabilità 2/3 dove questo 1.1 significa che 1 dollaro varrà 1.3 euro cioè il dollaro si deprezza sull'euro. Che cosa avremo in questo caso?

Partendo dal basso avremo con probabilità 1/2 il titolo varrà 4$ quindi non avrà nessun motivo di esercitare l'opzione quindi io avrò pagato 1 dollaro / 1 il tasso di cambio quindi avrò pagato 1 euro per partecipare a una lotteria che con probabilità 1/2 il titolo varrà 4 dollari e quindi non guadagno nulla.

Con probabilità 1/2 invece il titolo varrà 10$ ma questi 10$ quanti euro saranno? Con probabilità 1/3 avrò un guadagno di 2$, tasso di cambio 1 e quindi avrò 2 euro. Con probabilità 2/3 avrò un guadagno di 2$,

tasso di cambio 1.1 e quindi 1.82€. Questa è una lotteria composta, se il prezzo dell'asset sarà di 12 io potrò ottenere 2€ o 1.82€ a seconda del tasso di cambio. L'ipotesi che viene normalmente fatta è che gli individui non siano interessati tanto al modo in cui si ottengono le probabilità quanto alle probabilità in sé per sé, per capirci, così capiamo meglio questo assioma di riduzione di lotterie composte (reduction of compound lotteries), se io ho una moneta e dico se viene testa guadagno 1 e se viene Croce perdo 1, avrò ½ + 1, ½ - 1. Supponiamo invece che adesso abbia due monete e dico lancio la prima e poi lancio la seconda: se viene testa e testa ottengo 1, se viene Croce-Croce ottengo 1, se viene testa e croce oppure Croce testa ottengo -1. Dal punto di vista delle probabilità in questo secondo caso avrò comunque con proprietà ½ di guadagnare uno.

La posso ridurre a una lotteria semplice. Qual è la probabilità che io ottenga 2?

Qual è la probabilità che io ottenga 1.82?

Qual è la probabilità che io ottenga 0?

Se accettiamo l'assioma di riduzione delle lotterie composte, ogni lotteria composta può essere ridotta a una lotteria semplice, quindi la scelta di un individuo in una condizione di rischio diventa una scelta tra lotterie semplici.

ASSIOMA DI INDIPENDENZA

Quindi noi adesso dobbiamo avere una teoria di scelta tra lotterie di semplici e vediamo un assioma molto importante: l'assioma di indipendenza.

Consideriamo 3 lotterie:

Consideriamo un qualsiasi numero reale compreso tra 0 e 1 nell'intervallo aperto, ossia escludiamo 0 e 1.

Supponiamo che è preferito a, quindi le mie preferenze sono tali per cui io preferisco rispetto a.

Supponiamo invece ora che debba scegliere tra questa lotteria e questa altra lotteria. Cosa possiamo vedere? Possiamo vedere che co