Microeconomia per la finanza, primo parziale, prof. Colombo

Microeconomia per la finanza

In questa lezione parleremo del concetto di utilità attesa, un concetto straordinariamente importante per noi economisti. Per far questo partiamo da qualcosa che dovresti aver già visto, cioè il teorema di rappresentazione.

Preferenze

Sia X un insieme di conseguenze, per esempio nella teoria del consumatore era l’insieme di tutti i possibili paniere di beni, da noi sarà spesso insieme di tutti i possibili pay-off monetari derivanti dall'acquisto di un titolo finanziario. Sia questo simbolo strano ≿ è una relazione che viene chiamata di relazione di preferenza debole che significa almeno altrettanto buono di / non peggiore di sulle conseguenze.

Individua delle preferenze e deve essere in grado di dire che cosa preferisce, questo simbolo strano ≿ viene decomposto in due possibili simboli:

• ≻ questa è l’indifferenza
• ≿ questa è la preferenza stretta

Se X è almeno altrettanto buono di Y, cioè X è non peggiore Y e Y è almeno altrettanto buono di X cioè Y è non peggiore di X per l’individuo in esame. Allora diciamo che l'individuo è indifferente tra X e Y. X e Y non sono uguali, sono beni diversi ma l’individuo è indifferente tra i due. Se dovesse scegliere tra X e Y potrebbe razionalmente scegliere X o Y oppure tirare una moneta perché le due conseguenze gli danno la stessa soddisfazione.

Se invece X è altrettanto buono di Y e non è vero che Y è almeno altrettanto buono di X allora vuol dire che X è non peggio di Y ma non è vero che Y è non peggio di X cioè Y è peggio di X per l’individuo in esame, allora diremo che X preferisce strettamente X a Y.

Vengono poi fatte delle ipotesi sulle preferenze.

Ipotesi sulle preferenze

Una prima ipotesi è che la relazione di preferenza sia completa, questo significa che date due conseguenze X e Y allora o l’individuo preferisce X a Y oppure preferisce Y a X oppure entrambi cioè indifferente tra i due. Questo significa che l'individuo è sempre in grado di dire tra due conseguenze, se preferisci la prima alla seconda, la seconda alla prima o è indifferente tra le due. Se così non fosse, l’individuo non potrebbe talvolta effettuare una scelta razionale, perché se di fronte a due conseguenze non sa dire quale preferisce non potrà nemmeno scegliere in maniera razionale.

L’altra ipotesi che viene normalmente fatta è l'ipotesi di transitività: Dice date conseguenze s X è almeno altrettanto buona di Y e Y è almeno altrettanto buono di Z, allora X deve essere almeno altrettanto buona di Z. Se così non fosse ancora una volta l’individuo potrebbe non essere in grado di dire che cosa preferisce. Se avesse un individuo che ci dice che egli preferisce la nocciola alla panna e la panna al cioccolato, ma non vale questa relazione, se lui preferisce il cioccolato alla nocciola avremmo un problema. Quale sarebbe il paniere preferito dall’individuo? Quale sarebbe il gelato preferito dell'individuo? Non potrebbe essere la nocciola perché abbiamo detto che per lui il cioccolato è migliore della nocciola, non potrebbe essere la panna perché la nocciola è meglio della panna e quindi nessun gelato sarebbe ottimale. La relazione di transitività è importante ancora una volta per effettuare una scelta razionale.

Teorema di rappresentazione

Il teorema di rappresentazione, che qui ho chiamato teorema di rappresentazione 1, ci dice che se la relazione di preferenza è completa e transitiva cioè valgono i due assiomi che abbiamo visto un attimo fa ed esiste un numero finito o un'infinità numerabile di conseguenze, allora esisterà una funzione di utilità sulle conseguenze, cioè una funzione che ad ogni conseguenza associa un numero reale tale che a conseguenze migliori per l'individuo, X preferito debolmente a Y, associa un numero più alto. Quindi la funzione di utilità descrive preferenze nel senso che se io ho un ordinamento delle preferenze su tutte le diverse conseguenze, ad ogni conseguenza mi associa un numero reale, tanto migliore per me la conseguenza tanto più alto sarà il numero reale.

Quindi quando un individuo è razionale sceglie l’azione che conduce alla conseguenza per lui preferita e sceglierà anche l'azione che conduce alla conseguenza alla quale è associata l'utilità più elevata. In questo senso possiamo dire che una scelta razionale richiede di massimizzare l'utilità. Un individuo razionale massimizza l'utilità, significa semplicemente che sceglie ciò che preferisce. Ma siccome le sue preferenze sono descritte da una funzione utilità, scegliere quello che si preferisce significa scegliere la conseguenza alla quale è associata l'utilità più elevata, quindi l'individuo massimizza l'utilità.

Questo è il punto cruciale che abbiamo visto in economia politica 1, poi per una questione tecnica talvolta torna, sebbene nel mondo reale il numero di conseguenze sia tipicamente un numero finito, se acquisti un'azione il valore dell'azione sarà un multiplo di qualche cosa, quando noi spendiamo dei soldi sono multipli di un centesimo. Quindi sicuramente le conseguenze sono un numero finito, tuttavia se vogliamo utilizzare un’analisi matematica può essere opportuno lavorare anche nel campo dei reali, quindi ammettere anche una situazione come il campo dei reali che non è finito, né un’infinità numerabile.

Allora a questo punto abbiamo bisogno di un ulteriore assioma di continuità che qui non annunceremo, in questo caso se vale l’assioma di continuità, il teorema di rappresentazione vale in generale, non solo quando il numero di conseguente è finito, esisterà una funzione di utilità sulle conseguenze tale per cui a conseguenze migliori per l'individuo sarà associato un numero reale più elevato. E questa è economia politica 1, poi avrete probabilmente visto in politica economica, la massimizzazione dell'utilità attesa, adesso la vediamo con un certo grado di attenzione.

Scelte in condizioni di rischio

Una scelta in condizioni di rischio, seppur il termine possa sembrare strano, è una scelta di fatto tra lotterie: quando noi acquistiamo un titolo finanziario, per esempio un’azione, stiamo acquistando una lotteria nel senso che noi sappiamo esattamente quale prezzo che paghiamo oggi per acquistare quell’azione, ma non sappiamo quanto varrà quell’azione tra un anno, potrebbe valere di più oppure di meno. Quindi di fatto questa è una lotteria.

Lotteria

Vediamo cosa è una lotteria: in termini tecnici una lotteria semplice è una distribuzione di probabilità sull’insieme delle conseguenze. Adesso andiamo alla definizione formale e poi la capiamo meglio con un grafico. Formalmente dato un insieme di conseguenza X, per esempio tutti i possibili pay-off monetari, tutti i possibili rendimenti del mio asset finanziario, una lotteria è una distribuzione di probabilità P(x) che ha due caratteristiche:

• Le conseguenze sono eventi tra di loro disgiunti, se X appartiene all'insieme delle conseguenze, Y appartiene all'insieme delle conseguenze, X intersezione di Y è uguale all'insieme vuoto. X e Y sono tra di loro disgiunti.
• Gli eventi sono tra di loro esaustivi cioè l’unione di tutti gli X, dà l'evento universale che contiene tutti i possibili eventi. Quindi l’evento universale si verifica con probabilità uguale a 1, è un evento certo.

Poiché gli eventi sono disgiunti, la probabilità dell'unione è solo uguale alla somma delle probabilità, non dobbiamo togliere la proprietà dell'intersezione perché l'intersezione è l'insieme vuoto e l'insieme vuoto si verifica con probabilità nulla. Come vi dicevo questo lo possiamo capire meglio con un semplice esempio. Prendiamo una lotteria, ormai ce ne sono poche, ma immaginiamo che acquisto un biglietto della Lotteria Italia. Quali sono le possibili conseguenze? Posso vincere €5mln, €1mln, €100 mila o zero.

Queste conseguenze sono tra di loro mutualmente esclusive, se vinco 5 milioni non è vero che vinco 1mln, se vinco 1 mln non è vero che vinco 100.000€ se vinco 100.000€ non è vero che vinco zero. Sono poi esaustive, ho il mio biglietto o vinco 5 mln, o vinco 1 mln o vinco 100 mila o molto più probabilmente zero. Di conseguenza queste probabilità, che per forza di cose per definizione di probabilità sono maggiori o uguali a zero, devono sommare 1 perché se gli eventi sono mutuamente esclusivi, la probabilità dell'unione è uguale alla somma delle probabilità, siccome gli eventi sono esaustivi la somma delle probabilità deve essere uguale alla probabilità dell'evento certo che = 1, quindi questa è una classica lotteria.

Naturalmente la stessa cosa vale se acquisto un’azione, facciamo quindi un esempio finanziario: ipotizziamo che il prezzo corrente di un asset in euro sia 10. Ipotizziamo altresì che possa acquistare un'opzione call pagando €1 e il prezzo di esercizio di tale opzione sia di 10. Ipotizziamo infine che io attribuisco una probabilità di 0,5 al fatto che il prezzo tra un anno sia 12 e 0.5 al fatto che sia 4. Quindi un’opzione call è un'opzione che mi permette di acquistare questo titolo/asset a €10, quindi io pago €1 e poi fra un anno se voglio, supponiamo che non posso esercitarlo in itinere, posso solo esercitarlo fra un anno per semplificarsi la vita, io posso decidere se esercitare il diritto di opzione oppure no. Diritto di opzione significa che io comprerò quell’asset a €10, ovviamente se il valore dell'asset fra un anno sarà superiore a €10, mi converrà esercitare il diritto di opzione perché pago una cosa che vale di più e che posso vendere immediatamente dopo a un prezzo superiore a 10, se vale meno di €10 non ha nessun senso esercitare l'opzione perché pagherei 10 una cosa che potrei acquistare sul mercato a un prezzo inferiore a 10.

Allora in questo caso, io pago €1 per una lotteria, questa lotteria con probabilità 0.5 il prezzo dell’asset varrà 12 allora io eserciterò l'opzione, acquisterò a 10 una cosa che vale 12 che potrò, se voglio, immediatamente vendere e quindi guadagnerò €2. Completa 0.5 invece l’asset varrà 4, in questo caso non eserciterò l'opzione e quindi avrò un guadagno = 0, ovviamente in totale ho una perdita perché ho pagato €1, ma qui l’abbiamo descritto come termini di guadagni o perdite avendo pagato 1.

In alcuni casi abbiamo una lotteria un po' più complessa che viene chiamata una lotteria composta, c'è una lotteria di lotterie il cui premio esito è esso stesso la lotteria. Riprendiamo l'esempio precedente ma supponiamo che sia tutto espresso in dollari, ma io sono un utente italiano e quindi io ho € nel mio portafoglio. Quindi questo significa che io oggi acquisterò il titolo in dollari, convertirò i miei euro in dollari per acquistare l'opzione (non il titolo) call e fra un anno se desidererò potrò acquistare il titolo a $10.

In questo caso ci sono c'è una doppia incertezza perché da un lato io non so se aver acquistato un’opzione sarà una buona cosa oppure no, perché se varrà $12 sarà una buona cosa perché pagherò $10 un titolo che vale 12, se invece il titolo varrà $4 sarà stato inutile acquistare l'opzione nel senso che non esercito e quindi non mi darà nulla. Ci può anche essere però un rischio cambio perché io so quanto pago oggi il cambio euro-dollaro, ma non so quanto varrà domani, quindi devo fare delle ipotesi: ipotizzando che il cambio attuale sia 1 (1 euro per 1 dollaro), che domani sia 1 con probabilità 1/3 e 1.1 con probabilità 2/3 dove questo 1.1 significa che 1 dollaro varrà 1.3€ cioè il dollaro si deprezza sull’euro.

Che cosa avremo in questo caso? Partendo dal basso avremo con probabilità ½ il titolo varrà 4$ quindi non avrà nessun motivo di esercitare l’opzione quindi io avrò pagato 1 dollaro / 1 il tasso di cambio quindi avrò pagato 1€ per partecipare a una lotteria che con probabilità ½ il titolo varrà 4 dollari e quindi non guadagno nulla. Con probabilità ½ invece il titolo varrà 10$ ma questi 10$ quanti euro saranno? Con probabilità 1/3 avrò un guadagno di 2$, tasso di cambio 1 e quindi avrò 2€. Con probabilità 2/3 avrò un guadagno di 2$, tasso di cambio 1.1 e quindi 1.82€.

Questa è una lotteria composta, se il prezzo dell’asset sarà di 12 io potrò ottenere 2€ o 1.82€ a seconda del tasso di cambio. L’ipotesi che viene normalmente fatta è che gli individui non siano interessati tanto al modo in cui si ottengono le probabilità quanto alle probabilità in sé per sé, per capirci, così capiamo meglio questo assioma di riduzione di lotterie composte (reduction of compound lotteries), se io ho una moneta edico se viene testa guadagno 1 e se viene Croce perdo 1, avrò ½ + 1, ½ - 1.

Supponiamo invece che adesso abbia due monete e dico lancio la prima e poi lancio la seconda: se viene testa e testa ottengo 1, se viene Croce-Croce ottengo 1, se viene testa e croce oppure Croce testa ottengo -1. Dal punto di vista delle probabilità in questo secondo caso avrò comunque con probabilità ½ di guadagnare uno perché può essere testa testa o croce croce e con probabilità ½ di perdere 1 può essere testa Croce o croce testa. Quindi le due lotterie sono equivalenti per un individuo perché ho la stessa probabilità di ottenere +1 e la stessa probabilità di ottenere -1. Questo è quello che ci dice l’assioma di riduzione di lotterie composte, cioè supponiamo di avere una lotteria in cui con probabilità p lancio una moneta, con probabilità p mi dà testa e con probabilità 1-p mi dà croce, poi se ho tenuto testa lancio un'altra moneta diversa con probabilità q mi fa testa e con probabilità 1-q mi dà croce; questa è una probabilità condizionata cioè la probabilità che mi dà testa visto che prima è uscita testa. Se invece è uscita croce lancio un'altra moneta truccata che con probabilità r mi dà testa e con probabilità 1-r mi dà croce. Questa è la mia lotteria composta.

Assioma di riduzione di lotterie composte (RCL)

L’assioma di riduzione di lotterie composte mi dice che io devo essere indifferente tra una lotteria composta (immagine sx) e una lotteria semplice (immagine dx) che mi dà le possibili conseguenze e ad essa associa le rispettive probabilità. Nel lato sinistro qual è la probabilità di ottenere? Qual è la probabilità che io ottenga?, poiché la somma delle probabilità deve essere uguale a uno io posso scriverla anche come 1 meno quella sopra ossia. In base all’assioma di riduzione di lotterie composte io sono differente tra questa lotteria composta e quest'altra lotteria semplice cioè una distribuzione di probabilità sull’insieme delle conseguenze.

Nell’esempio precedente noi avevamo questa lotteria: Questa a sinistra è una lotteria composta, io la posso ridurre a una lotteria semplice. Qual è la probabilità che io ottenga 2? Qual è la probabilità che io ottenga 1.82? Qual è la probabilità che io ottenga 0? Se accettiamo l’assioma di riduzione delle lotterie composte, ogni lotteria composta può essere ridotta a una lotteria semplice quindi la scelta di un individuo in una condizione di rischio diventa una scelta tra lotterie semplici.

Assioma di indipendenza

Quindi noi adesso dobbiamo avere una teoria di scelta tra lotterie di semplici e vediamo un assioma molto importante: l’assioma di indipendenza. Consideriamo 3 lotterie: Consideriamo un qualsiasi numero reale compreso tra 0 e 1 nell’intervallo aperto ossia escludiamo 0 e 1. Supponiamo che è preferito a quindi le mie preferenze sono tali per cui io preferisco rispetto a. Supponiamo invece ora che debba scegliere tra questa lotteria e questa altra lotteria. Cosa possiamo vedere? Possiamo vedere che con probabilità 1- sia in questa lotteria sinistra sia in questa lotteria destra ottengo. Mentre con probabilità nella lotteria a sinistra ottengo e nella lotteria a destra ottengo. L’assioma richieda che questo valga anche con la preferenza stretta o se vogliamo anche con l’indifferenza.

Cerchiamo di capire la ratio di questo assioma, l’assioma dovrebbe essere una sorta di verità indubitabile, quindi noi dovremmo accettarlo, ma per accettarlo dovremmo prima capirlo e condividerlo. Supponiamo che voi mi abbiate detto che preferite. Ora invece voi non dovete scegliere tra, ma tra la prima lotteria o la seconda lotteria. Come possiamo descriverle? La lotteria a sx può essere una lotteria in cui io lancio una moneta, non necessariamente onesta, che può venire testa, in questo caso ottengo oppure croce io tengo. Nella lotteria a dx con probabilità ottengo e con probabilità, cioè croce, ottengo. Ora capite bene che se questa è la stessa moneta quindi con le stesse probabilità se viene croce nella prima ottengo e nella seconda ottengo quindi se viene croce non mi interessa aver scelto.