Microeconomia (parte I)

Microeconomia Capitolo 1: Decisioni in condizioni di rischio ed incertezza

Assioma di Houthaker

L'assioma di Houthaker debole delle preferenze afferma che: Siano A e B sottoinsiemi di X e siano x e y due elementi contenuti sia in A che in B. Se x appartiene all'insieme di scelta di A, C(A), e y appartiene all'insieme di scelta di B, C(B), allora x apparterrà all'insieme di scelta di B e allo stesso modo y apparterrà all'insieme di scelta di A. Infatti, se x e y sono accessibili in due scenari, vorrà dire che essi appartengono ad entrambi i sistemi di scelta, questo perché se x non appartenesse a C(B), vorrebbe dire che y sia strettamente migliore di x, ma se fosse così vorrebbe dire che l'individuo A avrebbe dovuto scegliere y, essendo accessibile come x. Tale assioma è molto importante, perché va a semplificare la descrizione delle preferenze, infatti consente di rappresentare le preferenze tramite una relazione che confronta singole coppie di beni. In particolare, l'assioma consente di studiare le preferenze attraverso una semplice relazione binaria, che chiameremo che è una relazione di preferenza debole tra due elementi di X ("almeno altrettanto buono o non peggiore di").

Mentre se x > y, allora vorrà dire che x è strettamente preferito a y, e vale se x è debolmente preferito a y e y non è debolmente preferito a x. Se x  y, le due alternative sono ugualmente preferite.

Definizioni

DEF: Sia data la relazione di preferenza >, si dice che la funzione di scelta C(,>) massimizza le preferenze, se per ogni A appartenente in X ed x appartenente in A, x appartiene a C(A,>) se e solo se, x>y e y appartiene ad A. Quindi non esiste y appartenente ad A, tale che y > x.

DEF: La preferenza è razionale se ha le seguenti caratteristiche:

• Completezza, per ogni x, y appartenenti ad X, vale x >y, o y>x, o entrambi.
• Transitività, per ogni x, y appartenenti ad X, vale che se x>y e y>z, allora x>z.

Proposizione 2 (Teorema di rappresentazione)

Sia X finito o infinito numerabile, se la relazione di preferenza > su x è razionale, allora esiste una funzione di utilità U: X → R, tale che per ogni x, y in X; x>y, se e solo se U(x) ≥ U(y); se x>y allora U(x) > U(y); se x  y allora U(x) = U(y).

Lotterie e teorema di Von Neumann e Morgenstern

Per rischio, si intende il fatto che ad ogni scelta dell'individuo possano essere associate più conseguenze in base ad una distribuzione di probabilità. Andiamo a vedere come l'azione di un decisore possa portare a conseguenze esogene, fuori dalla sua volontà. La scelta in condizioni di rischio è una scelta tra diverse lotterie. Una lotteria è un insieme di conseguenze alle quali è associata una probabilità.

Sia X l'insieme delle conseguenze possibili. Una lotteria semplice è rappresentata da una misura di probabilità P: X → [0,1] su X dove P(X) è la probabilità della conseguenza X, e:

• P(X) ≥ 0, per ogni x appartenente a X
• ∑ P(X) = 1

Sia L l'insieme delle lotterie semplici, ovvero l'insieme di tutte le possibili misure di probabilità su X. Se utilizziamo L come insieme delle possibili alternative, allora possiamo utilizzare i risultati contenuti per il caso di decisioni tra panieri di beni in condizioni di incertezza ed in particolare vale il teorema di rappresentazione. Quindi esiste: U: L → R, tale che U(P) ≥ U(Q) se e solo se, P >Q.

Lotterie composte

Si definiscono lotterie composte, le lotterie di lotterie. Esempio: P' = 2/3 = 1/4 London 2/3 3/16 SF P' 9/16 H. 1/3 1/8 SF = 1/3 = 1/8 SF 1/2 NY 1/2 NY 3/8 H. 3/8 H

La probabilità che finiamo a Londra sarà 2/3 x 1/4 = 1/6. La probabilità di finire a H. sarà: (2/3 x 9/16) + (1/3 x 3/8) = 1/2. 2/3 e 1/3 sono dette probabilità marginali. Le altre si definiscono probabilità condizionate.

Def: Un decisore è consequenzialista se è interessato unicamente alle conseguenze finali e alle loro probabilità e non al processo che le genera.

Assiomi

Assioma di riduzione delle lotterie composte: afferma che un decisore consequenzialista è interessato unicamente alle conseguenze ed alle loro rispettive probabilità e non al processo che determina tali probabilità. Quindi sarà indifferente tra qualsiasi lotteria composta e la corrispondente lotteria semplice. ES: P  P'.

Assioma di indipendenza delle alternative rilevanti: afferma che se un individuo compar...