Microeconomia (parte I)

MICROECONOMIA

CAPITOLO 1: DECISIONI IN CONDIZIONI DI RISCHIO ED INCERTEZZA

L’assioma di Houthaker debole delle preferenze afferma che:

Siano A e B sottoinsiemi di X e siano x e y due elementi contenuti sia in A che in B. Se x

appartiene all’insieme di scelta di A, C(A), e y appartiene all’insieme di scelta di B,C(B), allora x

apparterrà all’insieme di scelta di B e allo stesso modo y apparterrà all’insieme di scelta di A. Infatti

se x e y sono accessibili in due scenari, vorrà dire che essi appartengono ad entrambi i sistemi di

scelta, questo perché se x non appartenesse a C(B), vorrebbe dire che y sia strettamente migliore

di x, ma se fosse così vorrebbe dire che l’individuo A avrebbe dovuto scegliere y, essendo

accessibile come x. Tale assioma è molto importante, perché va a semplificare la descrizione delle

preferenze, infatti consente di rappresentare le preferenze tramite una relazione che confronta

singole coppie di beni. In particolare l’assioma consente di studiare le preferenze attraverso una

¿

semplice relazione binaria, che chiameremo che è una relazione di preferenza debole tra

due elementi di X (“almeno altrettanto buono o non peggiore di”).

Mentre se x > y, allora vorrà dire che x è strettamente preferito a y, e vale se x è debolmente

preferito a y e y non è debolmente preferito a x.

Se x  y, le due alternative sono ugualmente preferite.

DEF: Sia data la relazione di preferenza >, si dice che la funzione di scelta C(,>) massimizza le

preferenze, se per ogni A appartenente in X ed x appartenente in A, x appartiene a C(A,>) se e

solo se, x>y e y appartiene ad A. Quindi non esiste y appartenente ad A, tale che y > x.

DEF: La preferenza è razionale se ha le seguenti caratteristiche:

1 Completezza, per ogni x,y appartenenti ad X, vale x >y, o y>x, o entrambi

2 Transitività, per ogni x,y appartenenti ad X, vale che se x>y e y>z, allora x>z

Proposizione 2 (Teorema di rappresentazione): Sia X finito o infinito numerabile, se la relazione di

→

preferenza > su x è razionale, allora esiste una funzione di utilità U:X R, tale che per ogni x,y

❑

in X; x>y, se e solo se U(x) ≥ U(y); se x>y allora U(x) > U(y); se x  y allora U(x) = U(y).

LOTTERIE E TEOREMA DI VON NEUMANN E MORGENSTEN

Per rischio, si intende il fatto che ad ogni scelta dell’individuo possano essere associate più

conseguenze in base ad una distribuzione di probabilità. Andiamo a vedere come l’azione di un

decisore possa portare a conseguenze esogene, fuori dalla sua volontà.

La scelta in condizioni di rischio è una scelta tra diverse lotterie. Una lotteria è un insieme di

conseguenze alle quali è associata una probabilità.

Sia X l’insieme delle conseguenze possibili. →

Una lotteria semplice è rappresentata da una misura di probabilità P: X [0,1] su X dove P(X)

❑

è la probabilità della conseguenza X, e:

1. P(X) ≥ 0, per ogni x appartenente a X

∑ P X

( )=1

2. x X

∈

Sia L l’insieme delle lotterie semplici, ovvero l’insieme di tutte le possibili misure di probabilità su X.

Se utilizziamo L come insieme delle possibili alternative, allora possiamo utilizzare i risultati

contenuti per il caso di decisioni tra panieri di beni in condizioni di incertezza ed in particolare vale

il teorema di rappresentazione. Quindi esiste:

→

U:L R, tale che U(P) ≥ U(Q) se e solo se, P >Q

❑

Si definiscono lotterie composte, le lotterie di lotterie.

¼ Ld.

1 3/16 SF

9/16 H.

ES:

P’ = 2/3 = 1/4 London

2/3

3/16 SF P’

9/16 H. 1/3 1/8 SF

=1/3 = 1/8 SF ½ NY

½ NY

3/8 H. 3/8 H

La probabilità che finiamo a Londra sarà 2/3 x ¼ = 1/6

La probabilità di finire a H. sarà: (2/3 x 9/16) + (1/3 x 3/8) = ½

2/3 e 1/3 sono dette probabilità marginali

Le altre si definiscono probabilità condizionate.

Def: Un decisore è consequenzialista se è interessato unicamente alle conseguenze finali e alle

loro probabilità e non al processo che le genera.

Assioma di riduzione delle lotterie composte: afferma che un decisore consequenzialista è

interessato unicamente alle conseguenze ed alle loro rispettive probabilità e non al processo che

determina tali probabilità. Quindi sarà indifferente tra qualsiasi lotteria composta e la

corrispondente lotteria semplice.

ES: P  P’

Assioma di indipendenza delle alternative rilevanti: afferma che se un individuo compara due

lotterie, la sua preferenza tra di esse non dipende da tutto ciò che le lotterie hanno in comune, ma

solo dalle componenti che non hanno in comune.

In particolare, per ogni terna di lotterie semplici P,Q,R appartenenti a L e per ogni  appartenente a

(0,1):

P> Q se e solo se P + (1-)R > Q + (1-)R

Per quanto ragionevole possa sembrare l’assioma di indipendenza, in molte istanze della vita reale

le persone tendono a violarlo comportandosi in modo che non è consistete con esso (ex Akbar)

Assioma di continuità: Siano P e Q due lotterie semplici in L, tali che P > Q. Allora per ogni R in L

esiste un  compreso tra (0,1), tale che P > (1-) Q + R

Ed esiste  compreso (0,1) tale che (1-)P + R > Q

Non esiste una lotteria, anche se molto buona, che se associata a Q permetta di cambiare la

preferenza tra P a Q; inoltre non esiste una lotteria molto brutta, che se associata a R permetta di

cambiare la preferenza di P a Q, anche se considero una probabilità molto piccola.

Talvolta anche tale assioma viene violato.

Esempio: preferenze Max-Min

MaxMin: tra due lotterie una persona che ha preferenze MaxMin sceglie la lotteria che da l’esito

peggiore.

Siano, x1,x2,x3 conseguenze tali che x1>x2>x3 e P,Q,R lotterie degeneri che hanno come esito

certo rispettivamente: x1,x2,x3. Allora per ipotesi, P>Q>R

Confrontiamo :

(1-ß)P + ßR < Q

se ß>0 Q è sicuramente preferito, perché l’esito peggiore è x3 e sceglierò Q.

TEOREMA DI VON NEUMAN E MORGESTERN

DEF: le preferenze sulle lotterie semplici L soddisfano la proprietà della massimizzazione dell’utilità

attesa se esiste una funzione di utilità, definita sulle conseguenze, U: X - R, tale che, per ogni

coppia di lotterie semplici P, Q e L,

P>Q, se e solo se ∑P(x) U(x) > ∑ Q(x) U(x) x  X

EU(P) EU(Q)

2

Il teorema afferma che se preferenze > sulle lotterie semplici L, soddisfano gli assiomi di

completezza, transitività, indipendenza, riduzione delle lotterie composte e continuità, allora

soddisfano la proprietà della massimizzazione dell’utilità attesa.

Proposizione 5: Sia > una relazione di preferenza con la proprietà di massimizzazione dell’utilità

attesa ed U: X-R una funzione di utilità che rappresenta >. Se V: X-R è una trasformazione affine

positiva (lineare crescente) di U: X-R (vale a dire V(x) = aU(x) + b con a>0) allora anche V(.) è una

funzione di utilità che rappresenta le preferenze >.

ATTI STATI DEL MONDO E CONSEGUENZE: TEORIA DELL’UTILITA’ ATTESA SOGGETTIVA E

DI SAVAGE

Il termine soggettiva, fa riferimento alle probabilità, in particolare al fatto che le probabilità non

siano più date, ma possano cambiare a seconda del individuo.

X: insieme delle possibili conseguenze, a cui è interessato il decisore

S: insieme degli stati del mondo (incertezza fuori dal controllo del decisore)

A: insieme delle possibili azioni (ciò che è scelto dal decisore)

F: A x S in X

F(a,s) determina la conseguenza che si ottiene quando lo stato del mondo è s e l’azione

̃

X

dell’individuo è a. La vedremo come chiamata Atto.

(s)

a Atto

Esempio 3: Stati del mondo

Commestibile Marcio

Unire Omelette 6 uova No Omelette + 5 uova com.

Azio distrutte

ni

Gettare Omelette 5 uova + 1 u.c buttato Omelette 5 uova

Separare Omelette 6 uova + scodella da Omelette 5 uova + scodella da

lavare lavare

Ipotizziamo che non vi sia una probabilità oggettiva che l’uovo sia buono o marcio.

Proposizione 6: (teorema di Savage):

Se le preferenze > sugli atti soddisfano alcuni assiomi di , allora esiste una funzione di utilità sulle

conseguenze e una distribuzione con probabilità soggettiva π S a [0,1] sull’insieme degli stati del

mondo tali che, dati due atti a e b, a >b se e solo se ∑ π(s) U(xa(s)) ≥ ∑π(s) U(xb(s))

SEU(a) SEU(b)

CAPITOLO 2: INCERTEZZA, ACQUISIZIONE DI INFORMAZIONI E

CREDENZE

3

Si definiscono probabilità soggettive a priori, le credenze prima dell’arrivo di nuove informazioni.

Si definiscono probabilità soggettive a posteriori, le credenze che l’individuo forma dopo aver

appreso nuove informazioni.

1 Individuo ha una distribuzione di probabilità soggettiva a priori sugli stati del mondo

2 Individuo riceve nuove informazioni

3 Individuo aggiorna le proprie credenze usando nuove informazioni e si forma una nuova

distribuzione di probabilità soggettiva a posteriori

E S

Definizione: Ogni sottoinsieme di stati del mondo è un evento. Possedere

⊂

un’informazione genuina rispetto al vero stato del mondo significa allora essere a conoscenza di

un dato evento. E , … , E

{ }

Definizione: Una partizione di S è una collezione di sottoinsiemi disgiunti di S la

1 N

cui unione è S, ovvero tali che:

E S

⊂

1) per ogni i

i

E ∩ E =∅

2) , per ogni i≠ j

i j

i=1 n E

¿ ¿ =S

3) i ⁡

Pr A ∩ E)

(

Pr A E

∣

( )=

Regola della probabilità condizionata: ⁡

Pr E)

(

E , … , E

{ }

Proposizione 7: Sia una partizione di S ed A un qualunque evento in S. Allora:

1 N

n

∑ ⁡

∣

Pr A Pr A E Pr E

( ) ( )

= ( )

i i

i=1

Possiamo affermare che la probabilità di A, è pari a tutte le intersezioni con ciascun elemento E,

n

∑

Pr A Pr A ∩ E

poiché gli eventi coprono tutto S e sono a due a due disgiunti: ,

( ) ( )

= i

i=1

∣

Pr A ∩ E A E Pr E

( ) ( ) ( )

=Pr

applicando la regola della probabilità condizionata: i i i

E , … , E

{ }

Proposizione 8: (Teorema di Bayes): Sia una partizione di S. Allora per ogni A c S:

1 N

∣

Pr E ∩ A Pr A E P