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FATTORE4 B32 C q = 346D1 q0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9FATTORE 1
A rappresenta la tecnica capital-intensive, D quella labor-intensive, B e C quelle intermedie.
Si possono tracciare diversi isoquanti, ciascuno per ogni dato livello di produzione, come nel diagramma.elevati rappresentano livelli di produzione maggiori e viceversa.
Isoquanti più − −= = , dove misura la produzione totale associata a diversi livelli di impiego delle quantità dei fattori 1 e 2 (x ; x2).
Questa generica equazione è rappresentabile come un fascio di curve isoquanti.anche una relazione tra la funzione di produzione discussa sopra e gli isoquanti. La funzione di produzione rappresenta la produzione corrispondente a ciascun impiego di input. L'isoquanto dice invece quali sono le quantità di input necessarie per ottenere un dato livello di produzione.
Saggio marginale di sostituzione tecnica del fattore 1 per il fattore 2Se un'impresa riduce un
Fattore di una unità e poi aumenta un altro fattore in quantità sufficiente da mantenere invariato il prodotto totale, la quantità di fattore aggiuntivo necessario viene chiamata saggio marginale di sostituzione tecnica (SMST) rappresenta la quantità di cui l'impiego di fattore 1 può essere ridotto quando viene utilizzata una unità in più di fattore 2, in modo tale che l'output resti immutato.
Un esempio dovrebbe aiutare a chiarire questa idea. Se un'impresa riduce il capitale utilizzato di 1 macchina, assume 2 lavoratori aggiuntivi e produce la stessa quantità, allora 2 lavoratori sostituiscono 1 macchina. In questo caso il saggio marginale di sostituzione tecnica tra lavoratori e macchine è 2/1. Esso è dato dall'inclinazione dell'isoquanto: l'inclinazione dice di quanto aumenta il lavoro per compensare la diminuzione di una unità di capitale.
2000 €. La pendenza dell'isocosto sarà quindi 2000/2000 = 1. La funzione di produzione rappresenta la relazione tra i fattori produttivi e la quantità di prodotto ottenuta. In generale, la funzione di produzione può essere espressa come: Q = f(x1, x2) dove Q è la quantità di prodotto, x1 è la quantità del fattore 1 e x2 è la quantità del fattore 2. Le curve isoquanti rappresentano le diverse combinazioni di x1 e x2 che producono la stessa quantità di prodotto. Le equazioni delle curve isoquanti sono: Q/Q+ = dx1/dx2 Q/Q- = -2/(dx2/dx1) dove Q+ e Q- sono i prodotti marginali dei fattori 1 e 2, mentre dx2/dx1 è l'inclinazione del generico isoquanto (tasso marginale di sostituzione tecnica del fattore 2 per il fattore 1). La curva di isocosto rappresenta le combinazioni di fattori che hanno lo stesso costo. L'equazione della curva di isocosto è: P1x1 + P2x2 = C dove P1 e P2 sono i prezzi dei fattori produttivi e C è il costo totale. In sintesi, le curve isoquanti rappresentano le diverse combinazioni di fattori che producono la stessa quantità di prodotto, mentre la curva di isocosto rappresenta le combinazioni di fattori che hanno lo stesso costo.1000 €12210FATTORE86 CTCT =120=4 CTCT 1 000000== €8C 60 0002 T €C 00T = €= €40002000 0€ € 51 2 3 4 6FATTORE 1
Ricerchiamo ora la combinazione dei fattori produttivi che permettono di ottenere il livello di output desiderato minimizzando i costi.
Le imprese che minimizzano il costo desiderano produrre la maggior quantità di prodotto possibile, dato un particolare livello di spesa. Esse scelgono l'isoquanto più alto che possono raggiungere con una data curva di isocosto, vale a dire quello tangente alla curva.
Alternativamente ma in modo del tutto equivalente, una impresa ha un livello obiettivo di prodotto totale (esempio 346 telai) e vuole minimizzare i suoi costi. Essa sceglie un isoquanto e poi cerca di trovare il punto su di esso che sta sulla retta di isocosto più bassa possibile. Tale punto è quello di tangenza tra la retta di isocosto e l'isoquanto.
Graficamente: A12210FATTORE8 B64 C q = 3462 D q0 51 2 3 4 6FATTORE
La combinazione ottimale per l'impresa è quella corrispondente al punto di tangenza tra isoquanto e isocosto più basso. Nel punto di tangenza la pendenza del vincolo di bilancio (rapporto tra i costi di acquisto dei fattori di produzione) è uguale alla pendenza dell'isoquanto (saggio marginale di sostituzione tecnica cioè il rapporto tra prodotti marginali dei fattori). Quindi vale la seguente Regola del costo minimo: per produrre un dato livello di output al costo minimo, un'impresa deve impiegare i diversi (n) fattori produttivi fino a quando il prodotto marginale per euro speso per ciascun input è identico. Questo implica che: Prodotto marginale x1/ Costo unitario x1 = Prodotto marginale x2/Costo unitario x2 = ... = Prodotto marginale xn/Costo unitario xn
Rendimenti di scala
Ma come varia, nel lungo periodo, la q al variare delle dimensioni dell'impresa?
I rendimenti di scala riflettono la reazione del prodotto totale quando tutti i
Rendimenti di scala sono costanti, se vale il segno “<“⇒ rendimenti di scala sono decrescenti.
In altri termini si può:
costruire la funzione Z = Z(x , x , x , …., x )= Q(a x , a x , a x , …., a x ) - Q(a x , a x , a x ,1 2 3 n i+1 1 i+1 2 i+1 3 i+1 n i 1 i 2 i 3…., a x )i n
con a = 2,3,4,5,…i ⇒se, al crescere di a , Z cresce rendimenti di scala crescenti
⇒se al crescere di a , Z decresce rendimenti di scala decrescenti
⇒Z resta costante rendimenti di scala costanti
se al crescere di ai
Una classica forma della funzione di produzione (del tipo Cobb-Douglas) nel caso di due soli fattori:
Capitale (K) e Lavoro (L) sia:
α βF = AK L
Dove: α, βA è una costante che dipende dall’unità di misura; costanti minori di 1 che misurano il peso diciascun fattore produttivo,
Allora, possiamo affermare cheα+ β ⇒se = 1 rendimenti di scala costanti
α+ β ⇒se > 1
rendimenti di scala crescenti α+ β ⇒se < 1 rendimenti di scala decrescenti
Infatti: α β α β α β α β α β α β= + +, cx , cx , …., cx )=A(cK) (cL) Ac c K L =Ac K L = c F(x , x , x , …., x )F (cx 1 2 3 n 1 2 3 nα+ β ⇒se = 1
Quindi F (cx , cx , cx , …., cx )= cF(x , x , x , …., x )1 2 3 n 1 2 3 nα+ β ⇒se > 1 F(cx , cx , cx , …., cx )> cF(x , x , x , …., x )1 2 3 n 1 2 3 nα+ β ⇒se < 1 F(cx , cx , cx , …., cx )< cF(x , x , x , …., x )1 2 3 n 1 2 3 n
Massimizzazione del profitto
Il profitto di un’impresa (π) è definito come la differenza tra ricavi e costi. I ricavi sono dati dal prodotto aritmetico tra prezzo unitario di vendita (p) che è un dato del mercato, e quantità prodotta e venduta (Q). La curva del ricavo totale (RT) è una semiretta che esce
dall'origine degli assi: la sua equazione è infatti R = pQ. €€ RT RM = pQ QLa sua derivata prima è il ricavo marginale (RM) che è una costante pari al prezzo di vendita del prodotto. L'imprenditore per ogni unità di prodotto venduta incassa sempre la stessa cifra: anche il ricavo medio quindi coincide con il prezzo di vendita del prodotto. Prezzo, ricavo marginale e ricavo medio quindi coincidono. Si noti bene che tale uguaglianza vale solo in ipotesi di perfetta concorrenza tra imprese. In altre forme di mercato (di concorrenza imperfetta quali oligopolio, monopolio ecc.) non è vero che qualunque sia il volume di produzione che l'imprenditore immette sul mercato, il prezzo unitario del prodotto non cambia.I costi di produzione sono quelli che l'imprenditore sostiene per acquistare lavoro, macchinario, energia ecc. e sono funzione crescente di Q. π:L'obiettivo dell'imprenditore è massimizzareπMax =
La condizione di primo ordine per il massimo della funzione di profitto è: dπ/dQ = p - dC/dQ = 0, cioè: p = dC/dQ = C'(Q)
Il massimo profitto si ottiene cioè quando la variazione infinitesima del costo totale di produzione, dovuta ad una variazione infinitesima della quantità prodotta (il costo marginale) uguaglia il prezzo di mercato. L'imprenditore massimizza il profitto quando produce la quantità in corrispondenza della quale il ricavo marginale ed il costo marginale sono uguali.
Nella figura successiva, la quantità che genera il massimo profitto all'imprenditore è quella (Qopt) che corrisponde all'uguaglianza tra la pendenza della retta di ricavo totale (ossia il ricavo marginale) e la pendenza della curva di costo totale (il costo marginale). Qopt è la proiezione sull'asse delle ascisse del punto di tangenza tra la parallela alla retta dei ricavi totali e la curva di costo totale.
La condizione di secondo ordine per il massimo della funzione di profitto è data da:<2 2d π/dQ = - dC’(Q)/dQ<0>
cioè
dC’(Q)/dQ>0
La condizione di secondo ordine per il massimo della funzione di profitto sta a significare che l'uguaglianza tra ricavo e costo marginale si deve verificare nel tratto della curva di costo totale con pendenza crescente.
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