Microeconomia avanzato

STRATEGIA DOMINATA

In un gioco in forma normale, la strategia "s" è preferita in quanto è strettamente dominante rispetto ad ogni altra possibile strategia. In altre parole, è vero che l'applicazione di questa strategia dominante ci fa concludere che è la strategia "migliore" anche se l'esito è preferito da entrambi.

In generale, i giocatori razionali non giocano strategie dominate.

GIOCO 2

Proviamo a vedere un altro gioco per provare ulteriormente questo concetto. Abbiamo sempre due giocatori e una matrice, dove il giocatore 1 ha 2 strategie e il giocatore 2 ha 3 strategie.

Cominciamo ad analizzare il giocatore 1, che sa che:

• Sotto è meglio di sopra se il giocatore 2 gioca sinistra o centro;
• Se il giocatore 2 sceglie centro, conviene al giocatore 1 scegliere sotto perché 1 > 0;
• Sopra è meglio di sotto per il giocatore 1 se il giocatore 2 gioca destra perché 2 > 0.

Non esiste una...

strategia per il giocatore 1 che sia dominata da 2.Se analizzo 2 scopro che destra è dominata sempre da centro, perché: se 1 gioca sotto, a 2 conviene giocare centro perché 2>1; se 1 gioca sopra, a 2 conviene giocare centro perché la destra è 0. Quindi 2 non giocherà mai destra perché è dominata da centro. Quindi 1, che è razionale e ha previsione perfetta, vede questo pezzo della matrice come irrilevante: Eliminando una strategia dominata resta una matrice più piccola. Ora, ritorno ad essere 1 e dico che: se 2 giocasse sinistra, io dovrei giocare sotto. se 2 gioca centro, dovrei giocare sotto; Ma 2 questa cosa la sa perfettamente quindi per lui questo pezzo non esiste (perché uno non farà mai una scelta dominata da 2): Resta quel pezzo del gioco. 1 a questo punto può giocare solo sotto e siccome le mosse sono simultanee 2 decide di giocare centro e quindi resterà un'unica coppia

di strategie non dominate:

In questo caso l'equilibrio del gioco è:

Questo modo di selezionare gli equilibri ha il nome di "eliminazione iterata di strategie trettamente dominate" (=eissd).

Con l'eliminazione iterata delle strategie dominate ci ritroveremo un equilibrio e scelte finali che verranno fatte dai giocatori.

Ragionando in termini di eliminazione iterata di strategie dominate (eisd) e quindi di ragionamento sulle strategie dominate, sostanzialmente abbiamo due problemi:

1. Riguarda l'assunzione iterata sulla razionalità dell'avversario (dobbiamo immaginare che ognuno sappia tutto dell'altro, quindi anche le strategie ecc);

2. L'eliminazione iterata delle strategie dominate dà una predizione imprecisa dei comportamenti dei giocatori, cioè in alcune situazioni non riesce a dirmi nulla.

Esempio:

Se non ho strategie dominate:

Immaginiamo di avere 2 giocatori, che hanno 3 strategie:

I pay-off sono:

Se 1 gioca alto

Ogni altro giocatore; in modo tale che nessun agente abbia incentivo a scegliere una strategia diversa.

Questo ha due vantaggi:

• stabilità strategica: nessun agente ha incentivo a scegliere una strategia diversa;
• è autovincolante, perché mi obbliga a rispettarla.

equilibrio di Nash

La soluzione è l'equilibrio di Nash.

DEFINIZIONE: in un gioco in forma normale le strategiesono di equilibrio per ogni giocatore, se è la migliorerisposta di "i" alle strategie e cioè, è soluzione delproblema (tutte le s hanno la stellina).

Cosa dice questa definizione nel dettaglio? Prendi un gioco in forma normale, abbiamouna strategia di equilibrio quanto la strategia di ogni giocatore coincide con la strategia di ognialtro giocatore, se così è nessuno ha incentivo a deviare dalla soluzione.

Le strategie per ogni giocatore sono di equilibrio (con l'asterisco sopra) se per tutti i giocatori lastrategia è la migliore.

• se 1 gioca: alto, il secondo giocatore gioca sx;
• medio, 2 sceglie centro;
• basso, 2 sceglie dx.

• se 2 gioca: sx, 1 sceglie medio;
• centro, 1 sceglie alto;
• dx, 1 sceglie basso.

Rappresentano l'equilibrio di Nash; qualsiasi altra soluzione è strategicamente instabile.

GIOCO 3 UGUALE AL 2 MA CON EQUILIBRIO DI NASH. Vediamo il gioco già precedentemente fatto in cui avevamo selezionato gli equilibri attraverso l'eliminazione iterata di strategie dominate. Abbiamo trovato che se sopravvive all'eliminazione iterata delle strategie dominate una sola coppia di strategie e queste sono di equilibrio, quell'equilibrio è l'equilibrio di Nash (il contrario non è vero).

GIOCO 4 UGUALE ALL'1 (DILEMMA DEL PRIGIONIERO) MA CON EQUILIBRIO DI NASH. Riprendiamo il dilemma del prigioniero: Dove avevamo visto che è l'unica coppia di strategie che sopravvive all'eliminazione iterata e si scopre che anche questa rispetta l'equilibrio di Nash. L'eliminazione iterata delle strategie dominate mi porta, che è esattamente l'esito che mi dà Nash. Si può dire questa cosa in generale?

Sì. PROPOSIZIONE: l'unica strategia prodotta da un processo di eliminazione iterata delle strategie dominate è un equilibrio di Nash.

Se è l'insieme delle strategie che conducono ad un equilibrio di Nash allora (se è possibile eliminare le strategie dominate attraverso la tecnica di eisd) esse sopravvivono all'eliminazione iterata di strategie dominate.

La prima parte della proposizione dice: immaginate di poter utilizzare la tecnica dell'eisd, se dopo averla applicata sopravvive solo una coppia di strategie (NON dominate) quell'equilibrio è anche un equilibrio di Nash.

La seconda parte della proposizione dice: dopo aver fatto il processo di ispezione e aver appurato l'equilibrio di Nash, applicando ulteriormente l'eisd vedremo che la strategia migliore non sarà mai eliminata.

Qual è il punto per cui l'equilibrio di Nash è un programma/algoritmo di risoluzione più forte (potente)?

dell'eisd? Abbiamo visto prima che c'è stato un caso in cui non potevamo eliminare nulla ma si potevano giocare in maniera alternata tutte le strategie; ma comunque esiste un equilibrio di Nash: DOMANDA: ma allora un equilibrio di Nash esiste sempre? Risposta: il teorema (Nash 1950) dimostra che in ogni gioco finito con un numero dato di giocatori N finito e un numero di strategie S finito esiste almeno un equilibrio di Nash. Quindi, possono esserci anche più equilibri (parleremo di eq.multipli): BATTAGLIA DEI SESSI. ESEMPIO GIOCO 5: L'ipotesi che facciamo è che stare insieme è meglio. Abbiamo, quindi, due equilibri di Nash: La prossima volta faremo 3 applicazioni: modello di cournot, bertrand e parleremo di beni comuni. GIOCHI DELL'ASSISTENTE. ESEMPIO 1: SASSO (S) - CARTA (C) - FORBICE (F) N = 2 A1 = A2 = {S,C,F} Le relazioni di preferenze sono uguali (Possiamo fare SS, SC, CS...) Ovviamente sappiamo ad esempio, che CS è preferito a SS,

Perché se ho carta e l'altro ha il sasso io vinco (mentre se è SS è pareggio). Possiamo stabilire il seguente sistema di preferenze dei giocatori:

Per il giocatore1 abbiamo che:

• SF > SS > SC (nel primo caso vinco, nel secondo caso parità e nel terzo perdo)
• SF ~ FC ~ CS (sono tutti profili in cui il giocatore1 vince)
• FS ~ CF ~ SC (profili in cui perde)

Indichiamo con W i profili in cui vince e con L i profili in cui perde. Se i giocatori fanno la stessa azione, lo indichiamo con e (in cui sappiamo che W > e > L). Le nostre preferenze devono essere complete e transitive. In questo modo, sappiamo che possiamo rappresentarle tramite una funzione di utilità, che è ordinale (ha un ordinamento di utilità).

Per rappresentare un gioco si usa la forma normale, in cui ogni cella indica qual è la conseguenza per i due:

Indichiamo con:

• br (best replay) = Risposta ottima
• ai = generica azione del giocatore i (S, C, F)
• a - i = opponente

• La br ad un'azione (a-i) del mio opponente, è uguale ad un'azione ai solo se il profilo che ottengo è almeno preferito a qualsiasi altro profilo in cui io gioco un'azione diversa a' e l'altro continua a giocare (a-i):
• La risposta ottima (cosa conviene giocare a me) viene calcolata per ogni azione del mio opponente.
• Nel nostro esempio, guardando le colonne della tabella possiamo dire che:
• La risposta ottima se il mio opponente gioca sasso, è carta:
  (s) = C // guardiamo la colonna del sasso in cui se scelgo carta, vinco (Win)
• La risposta ottima se il mio opponente gioca carta sarà forbici:
  (c) = F
• La risposta ottima se il mio opponente gioca forbici sarà sasso:
  (f) = S
• Possiamo poi...