Microeconomia avanzato

Microeconomia avanzata

Capitolo 1: Relazioni binarie

Relazioni binarie

Una relazione binaria è, dato un insieme x di opzioni/alternative che può essere finito o infinito:

• Un insieme di tutte le coppie ordinate (x, y) di x prodotto vettoriale di x.
• Insieme di coppie ordinate (x, y) appartenenti a X.

Proprietà delle relazioni binarie

• Riflessività: x è almeno buono quanto sé stesso.
• Completezza x, y: ogni appartenente a X tale che se abbiamo x e y diverse o x è in relazione con y, oppure y sta in relazione con x secondo l’altro verso (o preferisco la pasta: o preferisco la carne).
• Transitività x y, z: per ogni appartenente ad X, se x è preferito a y e y è preferito a z allora x è preferito a z.
• Anti-simmetrica x,y: per ogni appartenente ad X se x è debolmente preferito a y e y è debolmente preferito a x allora x = y.
• Asimmetria: per ogni x,y appartenente ad X tale che x è almeno tanto buono quanto y allora si ha che non è possibile che esista la relazione y almeno tanto buono quanto x.
• Simmetria: per ogni x,y appartenente ad X tale che x è almeno tanto buono quanto y allora si ha che anche y sarà almeno tanto buono quanto x.

La proprietà di simmetria implica quella di asimmetria ma il contrario non è vero, quindi: “una relazione binaria asimmetrica è anche antisimmetrica”.

Esercizi per esame

Esercizio 1

Esempio di non transitività: il cugino di mio cugino non è mio cugino. Esempio di non completezza: in un’analisi multi-criteriale non posso concludere esempi univocamente (es. cercare quello più giovane e più alto di Mario solo per fatalità potrei trovarlo).

Esercizio 2

Relazione binaria indotta dal criterio: “è almeno tanto alto quanto”. Dato il criterio sopra citato dimostrare o verificare che il criterio induce una relazione d’ordine che soddisfa le proprietà: riflessività, completezza, transitività, anti-simmetria, asimmetria e simmetria.

Questa relazione soddisfa la riflessività perché io sono alto quanto me stesso.

• Questa relazione è completa perché sono almeno tanto alta quanto Mario e viceversa.
• Questa relazione è transitiva perché io sono almeno tanto alto quanto Mario, Mario è almeno tanto alto quanto Luigi quindi io sono almeno tanto alta quanto Luigi.
• Questa relazione non è anti-simmetrica perché Mario e Luigi possono avere la stessa altezza senza essere la stessa persona.
• Questa relazione non è asimmetrica perché se io sono tanto alto quanto Mario non può non essere che Mario è almeno tanto alto quanto me (può essere).
• Questa relazione non è simmetrica perché se io sono tanto alto quanto Mario questo implica che Mario è almeno tanto alto quanto me (può anche non essere).

Esercizio 3

Relazione binaria indotta dal criterio: “essere sposati con”. Dato il criterio sopra citato dimostrare o verificare che il criterio induce una relazione d’ordine che soddisfa le proprietà: riflessività, transitività e simmetria.

Questa relazione non soddisfa la riflessività perché non posso essere sposato con me stesso.

• Questa relazione non è transitiva perché se io sono sposata con Matteo, Matteo non può essere sposato con qualcun altro e io non posso essere sposata con qualcun altro.

Esercizio 4

Relazione binaria indotta dal criterio: “essere padre di”. Dato il criterio sopra citato dimostrare o verificare che il criterio induce una relazione d’ordine che soddisfa le proprietà: riflessività, transitività, asimmetria e simmetria.

Questa relazione non soddisfa la riflessività perché non posso essere madre di me stesso.

• Questa relazione non è transitiva perché il fatto di essere padre di qualcuno e qualcuno è padre di un terzo io non sono il padre del terzo ma al massimo il nonno.
• Questa relazione è asimmetrica perché il fatto che sono padre di qualcuno e questo qualcuno non può essere mio padre.
• Questa relazione non è simmetrica perché non posso essere padre di qualcuno che è anche padre di me.

Esercizio 5

Relazione binaria indotta dal criterio: “essere avo di”. Dato il criterio sopra citato dimostrare o verificare che il criterio induce una relazione d’ordine che soddisfa le proprietà: riflessività, transitività e simmetria.

Questa relazione non soddisfa la riflessività perché non posso essere avo di me stesso.

• Questa relazione è transitiva perché se sono avo di qualcuno e qualcuno è avo di un terzo io sono avo del terzo.
• Questa relazione non è simmetrica perché non posso essere avo di qualcuno che è anche avo di me.

Esercizio 6

Relazione binaria indotta dal criterio: “essere fratello maschio di”. Dato il criterio sopra citato dimostrare o verificare che il criterio induce una relazione d’ordine che soddisfa le proprietà: riflessività, transitività e simmetria.

Questa relazione non soddisfa la riflessività perché non posso essere avo di me stesso.

• Questa relazione è transitiva perché il fatto di essere fratello maschio di qualcuno e qualcuno è fratello maschio di un altro allora sono il fratello maschio del terzo.
• Questa relazione non è simmetrica perché essere fratello maschio di mia sorella non implica che mia sorella è fratello maschio di me.

Esercizio 7

Relazione binaria indotta dal criterio: “essere più alto di”. Dato il criterio sopra citato dimostrare o verificare che il criterio induce una relazione d’ordine che soddisfa le proprietà: completezza, transitività e antisimmetria.

Rispetta tutti e tre i criteri e in questo caso se ho completezza allora ho anche transitività.

Tipi di relazioni binarie

• Preordine: Una relazione binaria si definisce essere un preordine se soddisfa riflessività e transitività.
• Ordine/ Preordine totale/ Ordinamento debole: una relazione che rispetta riflessività, transitività e completezza viene chiamata anche ordine, o preordine totale oppure ordinamento debole.
• Ordine parziale: è un ordine riflessivo, transitivo e anti-simmetrico.
• Catena/ Ordine lineare: è una relazione binaria riflessiva, transitiva, completa e anti-simmetrica.

Esempio di ordine parziale

Esiste una coppia di alternative appartenenti a X tanto è vero che non c’è un x preferito a y e viceversa (non possono essere fatti confronti, quindi tutti gli elementi di X non possono essere ordinati su una linea).

Esempio di catena

Se abbiamo un sottoinsieme di un ordinamento parziale e gli elementi di quel pezzo sono tutti confrontabili allora abbiamo una catena: dunque, una catena è un ordinamento lineare su un ordinamento parziale.

CasO di ordinamento parziale (incontrato anche in Microeconomia base): curva dei contratti ed efficienza paretiana.

Lungo la curva dei contratti abbiamo le preferenze di due agenti, i e j, e due beni, x₁ e x₂. In questo caso possiamo avere più punti di equilibrio e quando le curve dei due agenti sono una tangente all’altra, se facciamo passare una curva per i possibili incontri delle curve di indifferenza in un punto solo otteniamo la curva dei contratti, chiamata così perché all’equilibrio si firma il contratto.

I punti all’interno della scatola sono infiniti e dipendono dalla locazione iniziale delle risorse e godono dell’efficienza paretiana.

• Efficienza: data l’allocazione iniziale delle risorse dopo aver contrattato (si alzano e si abbassano i prezzi) ci troveremo in un equilibrio per cui meglio di quello non si può fare.
• Criterio paretiano: un equilibrio A è preferibile ad un equilibrio B se e solo se almeno un agente migliora (ad esempio ha un’utilità maggiore) e nessun altro peggiora.

Capitolo 2: Decisioni in condizioni di certezza

La teoria delle scelte in condizioni di certezza ha una forma di dualità in cui le persone scelgono massimizzando una funzione utilità U(x) che misura il grado di felicità. Questo processo di scelta guarda le preferenze dell’agente e prevede delle problematiche:

• Capire il comportamento dell’agente in base alle alternative non è sempre facile.
• Preferenze costose da acquisire.
• Affidabilità: posso sostenere che l’ordinamento delle preferenze sia quello che l’agente avrebbe in base alle alternative?

Queste problematicità delle preferenze guardano ad un approccio duale, cioè quello che non guarda direttamente alle preferenze, ma osserva il dato (precisamente quello che si è scelto). quindi bisogna vedere i rapporti che ci sono tra le preferenze e la funzione che le rappresenta.

Possiamo dire che:

• Un elemento massimale: x appartenente ad X è un elemento massimale rispetto alla relazione d’ordine debole se esso non è dominato da nessun altro elemento in X (= x è massimale se non c’è nessun elemento all’interno di X che lo domina, cioè che è migliore rispetto ad x stesso); non è vero che esiste (quantificatore esistenziale) una y tale che y è appartenente ad X e contemporaneamente y è preferito in maniera forte a x. L’insieme degli elementi massimali di X si indica con:

Esempio. Ci sono solo due elementi massimali e quindi non ci sono elementi che li dominano all’interno di X.

• Il migliore: x appartenente ad X è il migliore (best) se x è almeno tanto buono quanto ogni altro elemento di X, rispetto alla mia relazione binaria rilevante; se e solo se per ogni y (quantificatore universale), tale che y appartiene a X, abbiamo che x è almeno tanto buono quanto y. L’insieme di tutti gli elementi migliori di X, chiamato insieme di scelta, si indica con:

Un elemento migliore (appartenente all’insieme di scelta) è anche elemento massimale, ma non è vero il contrario. quindi, in generale, l’insieme di scelta C è un sottoinsieme di M:

Esempio: situazione in cui un elemento è massimale ma non è il migliore. Se abbiamo due elementi, x e y, e né, né (nessuno dei due è preferito debolmente all’altro), allora abbiamo due massimali ma nessuno di loro due è il migliore.

Dunque:

Riepilogo: Casi in cui C e M potrebbero essere vuoti

• "C" è vuoto: se la relazione indotta da un criterio di selezione è transitiva, ad esempio, abbiamo un ciclo; dunque, se abbiamo relazione binarie transitive e cicliche non possiamo costruire funzioni di scelta, che sono ciò che noi identifichiamo a partire dai dati.

Paradosso di Condorcet delle scelte sociali e relazione d’ordine ciclica: in alcune situazioni non è possibile determinare una maggioranza precisa. In particolare, Condorcet, sottolinea che quando un insieme di individui è chiamato a scegliere tra almeno tre alternative, si può verificare una situazione in cui non è possibile determinare una scala di preferenze coerente, in quanto manca, tra le diverse preferenze, il principio di transitività (se A>B e B>C allora A>C). Con questa teoria Condorcet ha compreso l’impossibilità di aggregazione delle scelte sociali.

Nel 1951 Arrow, partendo dalla teoria di Condorcet, generalizza questi problemi e scrive nella sua tesi di dottorato una propria teoria.

Teorema dell’impossibilità di Arrow e intransitività delle scelte: data una scelta tra almeno tre alternative e poste a priori le condizioni di «universalità», «non imposizione», «non dittatorialità», «monotonicità» e «indipendenza dalle alternative irrilevanti», non è possibile determinare una funzione di scelta pubblica che le rispetti. È una dimostrazione matematica della impossibilità di individuazione dell'interesse generale di una collettività prendendo come base le preferenze individuali dei suoi membri. In termini scientifici il teorema di Arrow dimostra l'intransitività delle scelte.

• "M" è vuoto: se la relazione indotta da un criterio di selezione è transitiva su X e X è infinito, ad esempio, la definizione di elemento massimale non può essere applicata e quindi.

Lemmi sulle relazioni binarie

Un lemma viene mostrato all’interno di un teorema più generale, ed è un risultato preparatorio. Se la mia relazione binaria è un preordine (cioè è riflessiva e transitiva) allora ho una serie di situazioni:

• Se x è indifferente a y e y è indifferente a z allora x è indifferente a z.
• Se x è fortemente preferito a y e y è indifferente a z allora x è fortemente preferito a z.
• Analogamente al 2, se x è indifferente a y e y è fortemente preferito a z allora x è fortemente preferito a z.
• Se x è fortemente preferito a y e y è fortemente preferito a z allora x è fortemente preferito a z.

Lemma 1/ di Birkhoff (1940)

Se ho una struttura di scelta, cioè composta da un insieme X finito e una relazione d’ordine o binaria che è un preordine, allora ogni struttura di questo tipo ha un elemento massimale. Se X è un insieme finito e è un preordine, allora esiste un elemento massimale in X. quindi: se prendiamo un insieme finito, non serve selezionare l’elemento non dominato, basta che riusciamo a costruire un ordine dettato da riflessività e transitività.

Spiegazione: Birkhoff fa un cambio di variabile. Ti dice: prendi il primo elemento (x₁), poi scegli quello immediatamente successivo (x_j+1). Se l’elemento successivo domina il precedente, lo prendi. Se non lo domina, rimani sul precedente. E così via, alla fine sarai arrivato sull’elemento che domina su tutti. Quindi questo teorema è vero.

Esempio. Ho un insieme e pongo che a₁ = x₁, dichiarando la seguente regola: per costruzione deve essere massimale.

Lemma 2/ di Arrow

Se la mia relazione binaria è riflessiva allora x è l’unico elemento scelto, cioè il migliore.

Spiegazione: immagina di avere un mondo semplificato in cui X è composto solo da due alternative. Se applico una relazione d’ordine che mi porta a considerare che x sia preferito a y, allora sceglierò x. Viceversa, se in un mondo semplice scelgo un elemento, quell’elemento è preferito all’altro.

Lemma 3

Obiettivo: scoprire che rapporto c’è tra il problema di massimizzazione dell’utilità sotto vincolo di bilancio (legato ad M) con una funzione di scelta (legato a C) che va dall’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di un insieme dato a un insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di un insieme dato. quindi: avendo che, possiamo dimostrare che questi due insiemi sono uguali? Solo in alcuni casi, tra cui:

• Se per una certa relazione d’ordine, che è un preordine.

Capitolo 3: Scelte individuali di un agente economico

Iniziamo con lo specificare le scelte di un agente economico da quelle che sono le sue preferenze, cioè delle relazioni binarie indotte da “gusti” dell’agente. Siamo abituati a collegare le preferenze a dei beni, che non sono alla fine soltanto quelli espressi nella microeconomia, ma possono essere anche beni di consumo, pacchetti di proposte di riforma, diritti, opportunità ecc.

Diritti: Sen e il paradosso del liberale paretiano

Si analizza il conflitto che c’è tra il criterio di Pareto e l’essere liberali. Il criterio di Pareto dice che una scelta è almeno tanto buona quanto un’altra se non influisce negativamente su un’altra.

La nozione di libertà minimale introdotta da Sen dice che in un certo ambito, ad esempio quello privato, ognuno ha piena libertà: voglio dipingere le pareti di casa di nero ma, invitando i miei amici a cena, scopro che non accettano il mio invito. Quindi io esercito la mia libertà ma questo contravviene al criterio paretiano (perché ai miei vicini non piacciono le mie pareti di casa e quindi non vengono).

Opportunità: uguaglianza delle opportunità

Le opportunità parlano delle preferenze per l’uguaglianza delle opportunità.

Partiamo dal concetto di uguaglianza. Solitamente si parla di uguaglianza dei redditi: dato un certo DM (decision maker= decisore), facendo finta di avere “i” individui da 1 a n, e ipotizzando che x_i sia il reddito dell’esimo, una distribuzione dei redditi (= espressione delle preferenze in merito), potrebbe essere:

Queste preferenze potrebbero esprimersi su una coppia di distribuzioni e giudicare x da preferirsi ad y nel momento in cui la distribuzione del reddito sulla popolazione assume il valore di y piuttosto che quello di x:

Ipotizziamo che tutti abbiano due distribuzioni (stessa quota totale di reddito una volta in modo egualitario e una volta in modo totalmente diseguale): In questo caso x è preferito a y.