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Microeconomia: appunti e rielaborazione sui concetti fondamentali con annessa spiegazione matematica ed esercizi

Appunti con esercitazioni di Microeconomia sviluppati in 145 pagine. Gli appunti affrontano i principali argomenti di microeconomia in maniera specifica e dettaglita, fornendo anche le annesse spiegazione dei principi matematici che sottostannno alla teoria microeconomica. Gli argomenti sono sviscerati in modo tale da essere compresi anche dai principianti totali e portarli ad un livello medio/avanzato... Vedi di più

Esame di Microeconomia docente Prof. L. Zanetti

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ESTRATTO DOCUMENTO

M. Rotunno

46 1/12

Differenziale di ordine superiore al primo

È il differenziale del differenziale primo. M. Rotunno

47 1/12

Differenziale totale

Il differenziale totale si calcola per determinare l'effetto che una variazione di tutte le

variabili indipendenti ha sulla variabile dipendente.

Il differenziale di una funzione significa di quanto aumenta la variabile dipendente a

fronte di un aumento marginale di tutte le variabili indipendenti.

Con una sola variabile:

Ci dice l'aumento della y se la x aumenta di una quantità dx.

Con due variabili:

Con N variabili:

Es. curva di indifferenza, cioè la funzione di utilità M. Rotunno

48 1/12

Nelle curve di livello si tiene fissa una variabile e si varia l'altra, quindi il differenziale

totale è anch'esso fisso e vale zero. Perchè se prendo una variabile della funzione è la

trasformò in variabile dipendente, significa che quella variabile assume un valore fisso,

perciò il differenziale totale deve essere zero perchè l'incremento che si da ad ogni

variabile non può spostare la curva, dato che è stata inchiodata usando le curve di

livello, perciò a qualunque variazione della variabile attribuita come indipendente non

può spostare la curva di livello, ecco perchè la somma dei differenziali è uguale a zero;

proprio perchè il differenziale indica la variazione della variabile dipendente nei

confronti delle altre, ma essendo stato dato un livello fisso alla funzione U, ogni

variazione delle variabili indipendenti devono sempre restituirmi lo stesso valore di U e

quindi la loro somma si deve annullare, cioè la variazione delle variabili indipendenti

deve avvenire in maniera tale che le loro variazioni si compensino in modo da non

cambiare il valore di U e questo fa si che l'effetto sulla variabile dipendente sia nullo,

questo si traduce col differenziale totale uguale a zero. M. Rotunno

49 1/12

Per la curva di indifferenza diventa:

Questa relazione ci dice quanta y2 il consumatore è disposto a sacrificare in

cambio di un incremento marginale della quantità y1, mantenendo constante il

suo beneficio (utilità), quindi resta indifferente rispetto alla situazione di

partenza, cioè prima che aumentasse il consumo di y1, infatti il differenziale

totale risulta uguale a zero.

Economicamente si scrive come:

| SMS | = | pendenza della retta di bilancio |

Utilità marginale del bene x = M. Rotunno

50 1/12

Relazione tra domanda e comportamento del

consumatore

Per vedere graficamente come si relazionano la curva di domanda con le curve di indifferenza e la retta di

bilancio, si mettono i due grafici uno sotto l'altro.

In questo modo si analizza come varia il consumo del cibo e del vestiario ogni volta che cambia il prezzo del

cibo. M. Rotunno

51 1/12

Intercetta verticale =

Intercetta orizzontale =

Curva di domanda =

La forma della curva di domanda, se lineare o meno, la si determina a posteriori, vedendo come

cambia il consumo di cibo al variare del suo prezzo.

Curva di indifferenza = = il paniere ottimale e dato dalla curva di indifferenza tangente alla retta di

bilancio, in questo modo l'utilità derivante dalla combinazione di beni, nel rispetto del vincolo di bilancio,

è massima. M. Rotunno

52 1/12

F = rappresenta la quantità di cibo domandata con un prezzo pari a uno. È sempre il prezzo la

variabile indipendente, il prezzo oscilla per diversi motivi, non è importante quali cause fanno variare il

prezzo, ma quando il prezzo si muove varia il vincolo di bilancio e quindi anche il consumo di beni,

l'intensità del cambiamento nel consumo di beni dipende dalla funzione di utilità del consumatore, se

tutte le altre variabili (reddito, beni sotitutivi, propensione al risparmio, ecc.) non cambiano. M. Rotunno

53 1/12

E = rappresenta la quantità di cibo domandata al prezzo di 2€ M. Rotunno

54 1/12

G = rappresenta la quantità di cibo domandata al prezzo di 0,5€ M. Rotunno

55 1/12

Rappresentazione della curva di domanda e della curva

prezzo-consumo

Curva prezzo-consumo

La curva di domanda assume una forma non lineare.

Curva prezzo-consumo = unisce tutti i panieri che massimizzano l'utilità rispetto ai diversi prezzi

del cibo. In questo modo si ottiene il cambiamento del paniere che massimizza l'utilità del

consumatore al cambiamento del prezzo di uno dei beni del paniere. M. Rotunno

56 1/12

Col diminuire del prezzo del cibo, aumento l'utilità del consumatore, infatti la curva di indifferenza su

cui ci si trova è più a destra rispetto a quando il prezzo era più alto. Quindi col diminuire del prezzo del

cibo il consumo del cibo aumenta e quello del vestiario diminuisce, ma anche se diminuisce quello del

vestiario, l'utilità derivante dalla combinazione dei suoi beni è maggiore, perchè è aumentato di molto il

consumo di cibo a fronte di un po' meno consumo di vestiario. Il prezzo minore di cibo fa aumentare il

potere di acquisto del consumatore, che distribuisce il potere aggiuntivo riallocando il suo paniere in

modo da trarne un benefico maggiore rispetto a prima della diminuzione del prezzo. Prima consumava

5 vestiti e 12 di cibo, ma quando può permettersi di sacrificare una unità di vestito per potere

consumare 20 di cibo, l'utilità totale, cioè U (C,V), è maggiore anche avendo perso un vestito.

La relazione tra quantità domandata e utilità del consumatore prende il nome di domanda

individuale.

Spostandosi lungo la curva di domanda cambia il livello di utilità. Se ci spostiamo verso destra

l'utilità aumenta, mentre se ci spostiamo verso sinistra l'utilità diminuisce. L'utilità ha un

andamento opposto al variare del prezzo.

Ogni volta che avviene una variazione del prezzo, la curva di indifferenza del consumatore si

sposta/cambia, non si ci muove mai sulla curva di indifferenza al cambiamento del prezzo.

Il punto in cui si ci trova sulla curva di indifferenza è sempre il punto di massimo, cioè il punto in

cui l'utilità è massima. Ogni punto sulla curva di indifferenza è un punto di massimo per quanto

riguarda l'utilità; ma considerando anche il vincolo di bilancio allora si ottiene un solo punto che

rappresenta il punto di ottimo, cioè con le risorse date si ottiene un solo punto in cui si riesce a

massimizzare l'utilità.

Il fatto che l'utilità è massima è dimostrabile dal principio di uguaglianza marginale.

Principio di uguaglianza marginale = M. Rotunno

57 1/12

Visto che diminuisce il prezzo del cibo, diminuisce anche il rapporto tra i prezzi, ma anche l'SMS

(il rapporto tra la variazione dei vestiti e la variazione del cibo).

Il Saggio Marginale di Sostituzione non è altro che la pendenza della curva di indifferenza in quel

punto, che corrisponde alla derivata della curva di indifferenza.

Mano a mano che l'utilità del consumatore aumenta al diminuire del prezzo, accade che l'SMS

diminuisce perché i vestiti a cui rinuncio per consumare più cibo sono sempre di meno. Questo

significa che il valore relativo del cibo diminuisce all'aumentare del consumo. Relativo perché il

valore del cibo è misurato tenendo conto della perdita di consumo di vestiti, più consumo cibo

per via di un prezzo minore e più continuo a rinunciare a comprare vestiti, ma la quantità a cui si

rinuncia cresce meno che proporzionalmente.

Capovolgendo il punto di vista, la curva di domanda individuale ci dice anche quanto è

disposto a spendere un consumatore per un unità aggiuntiva di cibo, dato un certo reddito.

Un consumatore con un reddito pari a 20€, sta consumando 4 unità di cibo, significa che è

disposto a spendere 2€ per comprare un unità di cibo in più. Questo perchè l'SMS è uguale a

1, quindi per aggiungere un unità di cibo si deve rinunciare a una unità di vestiti che costa 2€,

guarda caso è proprio il prezzo del cibo, infatti per questo consumatore il cibo ha un valore di

2€. È il valore o (beneficio marginale) che si ottiene dal consumo di una unità addizionale di

cibo.

Quindi il prezzo del cibo è il valore che un consumatore attribuisce al consumo di una unità

addizionale di cibo. Se il consumatore sta consumando 12 unità di cibo, allora il valore che

attribuisce a consumarne una in più è di 1€. E se ne consuma 20, il valore attribuito all'aggiunta

di una unità di cibo in più è 0,5 €. M. Rotunno

58 1/12

Effetto del reddito sulla domanda individuale

Se tutte le altre variabili restano immutate, con Prezzo vestiti 2€ e Prezzo cibo 1€, ma varia il reddito,

accade che il vincolo di bilancio si sposta, ma la sua pendenza/inclinazione non cambia.

Se il reddito aumenta, allora la retta di bilancio si sposta verso destra.

Se il reddito diminuisce, allora la retta di bilancio si sposta verso sinistra.

Ogni retta di bilancio ha un unico punto in cui è tangente con una curva di indifferenza, quel punto

rappresenta la condizione ottimale di combinazione dei due beni che mantiene massima l'utilità.

Sulla curva di domanda accade che un aumento del reddito sposta la curva di domanda verso destra,

ma il prezzo resta invariato. Questo accade perché è semplicemente aumentato il potere d'acquisto del

consumatore senza che cambia il prezzo del bene, così il consumatore può comprarne una quantità

maggiore allo stesso prezzo, ma il consumatore aumenta la quantità di cibo che consuma perché può

ottenere una utilità maggiore dal consumare più cibo adesso che aumenta il suo reddito.

In pratica, l'aumento del reddito permette ad una persona di aumentare il beneficio che ricava

consumando beni, quindi aumenta il consumo di questi beni combinandoli in modo da ottenere il

massimo beneficio. Esistono infinite combinazioni tra i beni in grado di offrire la stessa utilità (ci si sposta

lungo la curva di indifferenza), però con l'esistenza del vincolo di bilancio si può ottenere un'unica

combinazione di beni che massimizza l'utilità senza infrangere il vincolo di bilancio. Questo è il punto di

ottimo. M. Rotunno

59 1/12

La quantità di cibo consumata dall'individuo

nei punti A, B, D, corrispondono alla quantità

Punti di ottimo di cibo domandata al prezzo di 1€ dato un

certo livello di reddito. Ai punti di

combinazione ottimale col vincolo del reddito

corrispondono i punti E, F e G sulla curva di

domanda. M. Rotunno

60 1/12

Curva reddito-consumo

Curva reddito-consumo = è l'insieme di tutte le combinazioni di bene che massimizzano

l'utilità dell'individuo al variare del reddito. Con l'aumentare del reddito aumentano i

consumi di beni e di conseguenza l'utilità dell'individuo. Ci dice il cambiamento del paniere

ottimale al cambiare del reddito

Esistono curve reddito-consumo negative dopo un certo livello di consumo, questo capita

perchè ci sono beni che all'aumentare della quantità consumata si smette di consumarli.

Sono quei beni che si comprano perchè economici, che mano a mano che il reddito sale

vengono sostituiti da beni di alta qualità. Nel punto N si consuma una quantità maggiore del

punto M, ma nel punto O si consuma una quantità

minore di N. M. Rotunno

61 1/12

Ottimizzazione con una variabile

Ottimizzare significa massimizzare o minimizzare una funzione. Bisogna trovare i punti di massimo

e minimo di una funzione, tenendo conto di determinati vincoli.

Estremante = è un punto del campo di definizione (asse delle x) in corrispondenza del quale si ha un

valore massimo o minimo di una funzione f(x). L'estremo può essere assoluto e relativo, detti anche

massimo/minimo globale e massimo/minimo relativi.

Massimo assoluto = nessuno sta più in alto di lui

Minimo assoluto = nessuno sta più in basso di lui

Massimo relativo o locale =

Minimo relativo o locale =

Si dice relativo perchè considera solo un pezzettino della funzione, cioè attorno di quel punto non

c'è nessun altro punto che sta più in alto o più in basso di lui.

Trovare i punti di massimo e di minimo

Primo modo: test di monotinia

Si calcola la derivata prima e la si pone >= a zero. Poi si studia il segno per vedere dove è

crescente e dove è decrescente. M. Rotunno

Se la derivata seconda, a sinistra di un punto decresce e a destra cresce o viceversa, allora

62 1/12

quello è un punto di flesso perchè cambia la convessità.

Si deduce dallo studio del segno della derivata prima, che il punto 1/3 è un punto di minimo, perchè da quel

punto in poi la funzione torna a crescere. M. Rotunno

63 1/12

Qui c'è un punto di minimo, bisogna scoprire

quanto vale? M. Rotunno

64 1/12

Secondo modo: test usando taylor al secondo ordine

Si prende la derivata prima e la si pone uguale a zero. Se la derivata prima è uguale a zero, significa che in

quel punto, in cui la derivata prima diventa zero, esiste un Estremante (massimo o minimo). Quel punto

prende il nome di punto stazionario.

Punto stazionario o punto critico = è il punto in cui la derivata prima si annulla, quindi la retta tangente al

grafico della funzione derivabile f(x) in corrispondenza al punto trovato è orizzontale (parallela all'asse delle

ascisse). Si trovano ricavando la derivata prima, si pone uguale a zero e si risolve l'equazione. Trovato un

punto che rende la derivata prima uguale a zero, allora si va a identificare se quel punto può essere: un

massimo, un minimo, un flesso o niente

Questi punti possono anche essere più di uno, tutti quei punti che

soddisfano questa condizione possono essere estremanti o non

esserlo.

Si procede a fare le derivate successive, fino a quando non se ne trova una che è diversa da zero.

Alla derivata che si trova essere diversa da zero, si applicano una serie di condizioni per vedere se

è minimo o massimo. M. Rotunno

65 1/12

Questa derivata ennesima è la prima ad essere diversa da zero, quindi si prende

questa derivata da analizzare, perchè tutte le altre n-1 derivate si annullano nel

punto x0.

Non è la funzione derivata ad essere uguale a zero, ma la funzione derivata nel

punto x0 che è uguale a zero. Si deve vedere che valore ha la derivata nel punto

x0. In genere, nella maggior parte delle funzioni si ci ferma sempre alla derivata

seconda, perchè è già diversa da zero. X0 è massimo relativo (locale)

X0 è minimo relativo (locale)

X0 non è né di massimo né di

minimo

In pratica, la derivata prima ci da l'informazione sulla pendenza della funzione

La derivata seconda invece ci dice la convessità o concavità della funzione originale

Se la derivata seconda è uguale a zero, è un caso dubbio, non si può sapere cos'è. Ma

questo non significa che non c'è nè massimo e nè minimo, significa che può essere qualsiasi

cosa, come la derivata seconda, nel punto zero, di x^4 che vale zero, però quella funzione ha

un minimo in zero. Quindi se la derivata seconda è diversa da zero è condizione sufficiente

per sapere se c'è un massimo o un minimo, ma non vale se è uguale a zero. M. Rotunno

66 1/12

M. Rotunno

67 1/12

M. Rotunno

68 1/12

Il prezzo di vendita un'azienda lo definisce in base a quanto produce, perchè

carica/distribuisce sul prezzo i costi fissi e variabili. M. Rotunno

69 1/12

Si deduce che la derivata prima può risultare uguale a zero solamente se:

Giustificazione economica = se R' > C' significa che i ricavi crescono più velocemente di come

fino a quando R' > C'. Ma

crescono i costi, e quindi l'azienda continuerebbe a produrre, e lo farebbe

prima o poi C' comincerà a crescere più velocemente di R', e quindi ad un certo punto saranno

uguali. Quel punto è il punto che massimizza il profitto, perchè se si produrrebbe di più, allora

avremmo R' < C', e questo significa che I costi crescono più velocemente dei ricavi, quindi l'azienda

rallenterebbe subito la produzione, perchè l'avido imprenditore vedrebbe ridurre i profitti.

Se R' > C' l'impresa continua a produrre perchè i suoi profitti aumentano ancora

Se C' > R' l'impresa cessa e riduce la produzione perché i sui profitti diminuiscono M. Rotunno

70 1/12

Oltre a dirci che il profitto è massimo quando R' = C' ci dice anche che il profitto, per poter essere

massimo, R' e C' devono essere uguali al prezzo. In pratica, un impresa, per avere profitti massimi, deve

produrre fino a che la velocità con cui aumentano i ricavi e la velocità con cui diminuiscono i costi eguagli

il prezzo dato dal mercato. R', essendo il prezzo, ed essendo una costante, è una retta orizzontale.

M. Rotunno

71 1/12

Si deve decidere quale funzione massimizzare o minimizzare, questa funzione si chiamerà: funzione obiettivo.

Questa funzione dovrà essere costruita in base alle nostre esigenze e decidere quale sarà la variabile

indipendente, la variabile dipendente e il campo di esistenza (cioè i valori che può assumere la variabile

indipendente).

Obbiettivo = calcolare il massimo prodotto tra due numeri positivi

Vincolo = la somma tra i due numeri usati non può essere maggiore di 20

Devo mettere il vincolo all'interno del problema che devo risolvere, in questo modo si crea la funzione

obbiettivo, ma per farlo deve essere prima stabilità qual'è la variabile indipendente.

Sarà scelta la x. M. Rotunno

72 1/12

In questo modo trasformo il vincolo in una funzione che ha come variabile dipendente

quella che ho scelto.

A questo punto posso creare la funzione obbiettivo, per farlo prendo il vincolo che ho appena creato e lo

sostituisco nella funzione che modella il problema che voglio risolvere.

Questa funzione obbiettivo è

una parabola, il punto di

massimo è nel vertice. M. Rotunno

73 1/12

Quindi la derivata prima risulta uguale a zero quando C'(x) è uguale al costo medio. Questo è il punto di

minimo della funzione. Per esserne certi si deve fare la derivata seconda e studiarne il segno, se la

derivata seconda è maggiore di zero, allora la funzione è convessa e quindi è un punto di minimo. M. Rotunno

74 1/12

M. Rotunno

75 1/12

Applico le regole del secondo test per il riconoscimento dei punti stazionari

sviluppate col teorema di Taylor.

n è pari perchè abbiamo trovato che già la derivata seconda è diversa da zero, e la derivata seconda

f''(x0) >0. Perciò secondo la regola è un minimo relativo. M. Rotunno

76 1/12

C' (detti costi marginali) interseca

con Y (i costi medi), nel punto in

cui i costi medi sono più bassi

che mai. M. Rotunno

77 1/12

Ottimizzazioni con due o più variabili

Massimi e minimi in funzioni a più variabili

Massimo assoluto =

Minimo assoluto =

A è il sottoinsieme in cui si ricercano gli estremanti = regione ammissibile

È la funzione obiettivo

I punti stazionari sono quei punti per il quale tutte le derivate parziali prime vengono annullate, cioè

risultano uguali a zero.

Quindi il gradiente della funzione definita come funzione obiettivo vale zero.

Il punto stazionario è dato da quel vettore che

permette di risolvere questo sistema. È l'insieme di

tutti quei punti che portano le derivate prime ad

annullarsi. Il punto stazionario può essere un

massimo, un minimo o niente. Mentre il massimo e

minimo sono sempre punti stazionari M. Rotunno

78 1/12

Si può guardare la concavità o convessità della funzione

H.P. Esiste derivata prima e seconda, quindi la funzione è continua

Si devono calcolare le derivate parziali seconde nel punto stazionario e inserirle in una matrice

detta Hessiana, per poi calcolarne il determinante (discriminante). M. Rotunno

79 1/12

Condizione sufficiente per l'esistenza di un estremo

Matrice Hessiana

o

Matrice Hesse

o

Hessiana

È una matrice quadrata (n x n) costituita dalle derivate parziali seconde della funzione di n variabili

che si sta usando.

Con le sole due variabili x0 e y0 M. Rotunno

80 1/12

Poi si dovrà calcolare il determinante

Regole da applicare per determinare i massimi e minimi

tramite la matrice Hessiana M. Rotunno

81 1/12

Si devono trovare le derivate prime e poi metterle a sistema per trovare quel punto o quei punti che le rendono

entrambe uguale a zero.

Trovato questo punto stazionario, si deve vedere se è un massimo o minimo, oppure un punto di sella o

se è un caso dubbio. In pratica, a queste coordinate otteniamo un certo valore della funzione, però non

sappiamo ancora se quel valore è un Estremante o qualcos'altro.

Applicazione della matrice Hessiana

Trovare le derivate seconde M. Rotunno

82 1/12

Applicazione delle regole M. Rotunno

83 1/12

M. Rotunno

84 1/12

Semplifico dividendo per 3 M. Rotunno

85 1/12

M. Rotunno

86 1/12

Stabilire che cosa sono i punti stazionari A (0;0) e B (1;-1/2) tramite la matrice

Hessiana.

Per determinare il valore della matrice Hessiana si devono calcolare in tutti e due i punti. In questo caso ci

sono due punti stazionari, perciò ci sono due valori della Matrice Hessiana.

Applico le regole M. Rotunno

87 1/12

Applico le regole M. Rotunno

88 1/12

Massimi e minimi vincolati o ottimizzazione vincolata con i

moltiplicatori di Lagrange

Significa che l'ottimizzazione non è più libera, ma ci sono dei vincoli da rispettare.

Perciò si deve trovare il punto di massimo e di minimo di una determinata funzione

obiettivo, le cui variabili sono condizionate da un altra funzione.

Le variabili x e y della funzione z non sono indipendenti tra loro, ma sono legate tra loro da una qualche forza,

quindi sono condizionate a rispettare una qualche sorta di vincolo, definibile mediante una funzione.

La funzione Z avrà un insieme di esistenza, cioè un dominio, limitato da tutti quei punti P(x,y) che soddisfano il

Vincolo. Quindi i punti di massimo e minimo della funzione z saranno detti estremanti vincolati perchè si

ricercano solo nel campo di esistenza della Vincolo.

A questo punto si può affermare che esiste per forza un numero reale che costituisce un punto stazionario di

una nuova funzione creata apposta con la funzione obiettivo e la funzione vincolo. M. Rotunno

89 1/12

Questo significa che in corrispondenza di questo punto tutte le derivate parziali prime della

funzione Lagrangiana si annullano, cioè:

Trovato il o i punti stazionari, si ricava anche il valore numerico del Lambda, così si possono

applicare le regole della matrice Hessiana e stabilire di che natura sono quei punti stazionari.

Ulteriore ipotesi

Questa ipotesi assicura che in un opportuno intorno I(x0), il vincolo G(x,y) = 0 definisce implicitamente

una funzione continua y = y(x) che permette di considerare z = f(x,y) = f(x,y(x)) come funzione

continua nella sola variabile x.

Quindi, se si vogliono trovare i punti stazionari di una funzione Dove A è

un insieme aperto. E ci collochiamo all'interno di un sottoinsieme di A, quindi ci diamo un vincolo. M. Rotunno

90 1/12

In questo insieme V esistono dei punti che rendono una funzione G (x,y) nulla. In pratica c'è una curva che

quando passa per il punto x0 e y0 la funzione vale zero, e questi punti si trovano nell insieme V, che

essendo un sottoinsieme dell'insieme A, significa che questi punti che rendono G = 0 restituiranno un

valore anche per la funzione F.

L'insieme vincolo V è per definizione uguale a ( := ) tutti quei punti x e y che appartengono all'insieme A, però

questo insieme è condizionato/dipendente/vincolato/subordinato ( | ) a quei punti che rendono la funzione G

uguale a zero. Perciò l'insieme V è solo formato da quei punti che appartengono ad A e che allo stesso tempo

rendono la funzione G nulla.

Nell'ipotesi che allora, in un certo punto identificato come che appartiene

sempre all'insieme V si ha l'esistenza di in una funzione g tale che:

G (x, g(x)) = 0

A questo punto è necessario trovare il massimo e il minimo liberi della funzione di

partenza z = f(x;y(x)), ponendo la derivata prima uguale a zero, quindi: M. Rotunno

91 1/12

DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA DI DUE

VARIABILI ( regola della catena)

L'insieme degli output (immagini) della funzione g, che ha come input la variabile t, è

contenuto nell'insieme di definizione (dominio) della funzione f.

Quando la funzione g(t) è strutturata come g(t) = (x;y), e quindi g(t) è rappresentata come:

{x = x(t) e y = y(t)} Quindi le variabili della f(g) sono x e y, che sono date dalla funzione x(t) e y(t)

La derivata della funzione composta f(g(t)) delle due variabili x e y non è altro che: M. Rotunno

92 1/12

Derivata della funzione implicita

Se abbiamo una funzione F(x,y) = 0 ci interessa conoscere le sue soluzioni ( o zeri di F), quali sono

quelle x e y che rendono la funzione F uguale a zero.

Ci sono dei casi in cui si può esprimere una delle due variabili della funzione F (x,y) in funzione dell'altra

variabile. Cioè come:

Si dice che F(x,y) definisce implicitamente la funzione y = f(x) oppure x = g(y).

Per il teorema di Dini, ci dice che in un intorno I di un punto (x0, y0), tale che: M. Rotunno

93 1/12

Il fatto che la derivata parziale in quel punto è diverso da zero, significa che in quel punto (x0,y0) non si è in

presenza di un punto critico.

Allora, sotto queste condizioni, esiste un intorno di x0, affinchè esista un'unica funzione y = f(x) tale che:

Questa funzione è soddisfatta al variare della variabile x, ma è anche vero il contrario, cioè

che esista un unica funzione x = g(y) tale che F (g(y),y) = 0 al variare dell variabile y.

In pratica abbiamo una funzione a due variabili, ma ne variamo solo una che

automaticamente ci restituisce anche l'altra variabile.

Quindi in un intorno I di (x0) e in un intorno U di (y0), per ogni x che appartiene all'intorno I

esiste un unica y dell'intorno U che rende F (x,y) = 0.

Quindi la funzione f è una funzione che va dall'intorno I all'intorno U:

Non si può esplicitare sempre una delle due incognite in funzione dell'altra, ma però il teorema ci

dice che ne esiste almeno una, che viene detta funzione implicita.

Il teorema ci dice che:

Quindi, per il teorema di Dini la derivata della funzione implicita sarà: M. Rotunno

94 1/12

Quindi, dovendo trovare i punti critici, cioè dovendo porre la derivata della funzione z = 0, troviamo:

Questa relazione ci dice che f'x è proporzionale rispetto a g'x e che f'y è proporzionale rispetto a

g'y. Questo perchè se la x varia allora f'y e g'y stanno ferme e diventano delle costanti, quindi g'x ha

una relazione di proporzionalità con f'y M. Rotunno

95 1/12

Queste due relazioni tra le variabili non sono altro che le derivate prime della funzione Lagrangiana:

Quindi i punti di massimo e minimo della funzione z = f(x, y) vincolata dalla funzione g(x,y) = 0 si

ottengono come massimi e minimi liberi della funzione Lagrangiana.

Infatti, se facciamo la derivata della funzione obiettivo condizionata dal vincolo, otteniamo le stesse

derivate che otteniamo dalla funzione Lagrangiana, solo che dobbiamo risolvere il sistema per

trovare il valore della costante Lambda, che è la terza variabile della funzione Lagrangiana

Significato dei moltiplicatori di Lagrange

Servono come strumento di calcolo per costruire la funzione Lagrangiana al fine di ottenere un

sistema nelle tre incognite e poterlo usare per risolvere il problema di ottimo vincolato.

Il moltiplicatore di Lagrange ci dice di quanto una variazione marginale del valore del vincolo c

influenza il valore ottimale della funzione obiettivo f(x,y).

Quindi, se il vincolo (espresso tramite il parametro c) fosse la quantità disponibile di una risorsa, ad

esempio l'uranio, e abbiamo un moltiplicatore di Lagrange elevato, significa che il valore ottimale della

nostra funzione obiettivo è fortemente influenzato da una piccola variazione di c, cioè trovare anche

solo un piccolo giacimento di uranio influenza molto la nostra funzione. Quindi l'uranio è una risorsa

preziosa. M. Rotunno

96 1/12

Dimostrazione

Ogni estremante che troviamo dipende dal valore del parametro c, che è il valore del vincolo che

scegliamo arbitrariamente o che ci viene fornito ( quantità di risorse limitate). Quindi se cambia il

vincolo cambia l'estremante. Quindi il punto di ottimo x0 e y0 dipendono da c, perciò ci sarà anche

un punto che dipende dal parametro c che abbiamo scelto.

È stata aggiunta una quantità nulla a f, perché x0(c) e y0(c) soddisfano il vincolo e pertanto: M. Rotunno

97 1/12

Facendo la derivata della funzione

È una derivata di funzione composta di più variabili (si deriva rispetto a c). M. Rotunno

98 1/12

Al posto di sostituire la funzione vincolo nella funzione obiettivo si può usare la

funzione Lagrangiana.

A questo punto si devono trovare le derivate prime della funzione Lagrangiana e porle uguale a zero. In

pratica si deve trovare il gradiente della funzione Lagrangiana e porlo uguale a zero, e poi risolvere il

sistema.

Si devono porre uguali a zero e risolvere il sistema M. Rotunno

99 1/12

M. Rotunno

100 1/12

Questi punti sono quelli che possono essere estremanti, cioè che annullano le derivate prime (il gradiente).

Questi punti possono essere massimi o minimi della funzione f(x,y) = x-y all'interno della regione g(x,y).

Avendo trovato i valori della funzione Lagrangiana possiamo applicare le regole per determinare se si tratta

di un massimo o di un minimo o di altro, tramite la matrice Hessiana. M. Rotunno

101 1/12

Per il teorema di Weierstrass si può affermare che questi sono punti di massimo e minimo assoluti.

In conclusione la funzione f(x,y) ha un punto di massimo che vale 2 in corrispondenza dei punti

P(1;-1) e un punto di minimo che vale meno due in corrispondenza dei punti P(-1;1).

Quindi se si trovano i Lambda è possibile trovare gli estremi applicando le regole della matrice

Hessiana alla funzione Lagrangiana invece di andare a sostituire il vincolo nella funzione obiettivo.

M. Rotunno

102 1/12

Input su wolframalpha

Maximize x-y on x^2+y^2-2=0 M. Rotunno

103 1/12

Input su wolframalpha

Minimize x-y on x^2+y^2-2=0 M. Rotunno

104 1/12

I Lambda ci dicono che se il vincolo subisce variazioni marginali i punti stazionari avranno un incremento

dello 0,5. Cambiando c non ci sono grandi cambiamenti sul massimo e sul minimo. Con wolframalpha

cambiando c da 0 a 1 si ottiene come valore massimo 6^(1/2) e minimo -6^(1/2), cioè circa 2,5 e -2,5,

quindi l'incremento del massimo e del minimo e più o meno proprio quello che ci dice il valore Lambda.

M. Rotunno

105 1/12

Significa trovare il punto di massimo della funzione U subordinata dalla funzione vincolo.

1) scrivere la funzione Langrangiana

2) calcolare le derivate parziali e porle uguali a zero ( soddisfare le condizioni di prim'ordine) e risolvere l

sistema per trovare lambda, x1 e x2 che risolvono il sistema, e quindi i punti stazionari

Per risolvere il sistema si usa il metodo della eliminazione Gaussiana

M. Rotunno

106 1/12

Eliminazione Gaussiana o Pivoting

Questo metodo si usa per risolvere i sistemi. Si usano le matrici. Si deve trasformare il sistema in una

matrice triangolare superiore o alta. Sarebbe una matrice dove tutti i numeri sotto la diagonale sono

uguali a zero, cioè nulli.

Pivot = elemento scelto per primo che rispetta certe regole e serve a far funzionare tutti l'algoritmo.

Quando siamo in una matrice del genere la dobbiamo trasformare in una matrice triangolare superiore, per

farlo si usano le regole di Gauss.

Per rendere nulli tutti i valori sotto la diagonale principale della matrice si usano le mosse

elementari o di gaus. M. Rotunno

107 1/12

Mosse di Gauss:

1) scambio di due righe

2) moltiplicare una riga della matrice per uno scalare non nullo

3) sostituire una riga della matrice con quella ottenuta sommando ad esse un multiplo di un altra riga

Si procede annullando tutti i numeri sotto il primo numero a sinistra. Se fosse uguale a zero si

scambia la prima riga con un altra riga il cui primo numero non è nullo

Si elimina sostituendo tutta questa seconda riga con la differenza tra essa e la prima riga moltiplicata

per il coefficiente cioè il numero sotto diviso il numero sopra della stessa colonna.

È l'insieme dei nuovi numeri

da mettere al posto dei

numeri della riga che

vogliamo sostituire, tra cui

uno è sempre uguale a zero,

in questo caso il primo

numero della seconda riga

Questa formula restituisce zero al primo numero, ma essendo una matrice gli altri numeri

saranno diversi.

Questa matrice sarà diversa da quella precedente perché sono cambiati tutti i numeri di

quella iniziale. M. Rotunno

108 1/12

Con questa formula tutti i termini della prima colonna saranno uguali a zero, tranne il primo che prende

il nome di pivot.

Andando avanti potrebbe essere necessario eliminare anche i numeri sotto il termine

Quindi se si vuole eliminare un termine della j-esima colonna, si utilizza all'altezza della riga i con

i < j : M. Rotunno

109 1/12

Si dice ridurre a scala la matrice È il numero sotto il

quale gli altri

devono essere zero

Con questo metodo tutti i numeri sono cambiati

e abbiamo ottenuto nullo proprio quello che

volevamo, cioè il primo M. Rotunno

110 1/12

Si ci rifà alla matrice precedente, l'ultima matrice che creo la uso per cambiare i numeri a quella successiva,

quella di cui stiamo usando il pivot. Questa è la nuova matrice che usamo, quelle precedenti non ci

interessano più

Sono tutti della matrice precedente

Risoluzione dei sistemi lineari per eliminazione Gaussiana

Con un sistema lineare del tipo:


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti con esercitazioni di Microeconomia sviluppati in 145 pagine. Gli appunti affrontano i principali argomenti di microeconomia in maniera specifica e dettaglita, fornendo anche le annesse spiegazione dei principi matematici che sottostannno alla teoria microeconomica. Gli argomenti sono sviscerati in modo tale da essere compresi anche dai principianti totali e portarli ad un livello medio/avanzato della materia. Ogni argomento ha esempi ed esercizi risolti e svolti in ogni passaggio, da quelli semplici a quelli molto più complessi. Gli argomenti trattati non esauriscono il programma completo del corso di microeconomia, ma sono stati riportati tutti quelli necessari a porter acquisire autonomia anche per esercizi più evoluti, specialmenti quelli di ottimizzazione. Gli appunti sono rielaborazioni proprie del corsi di microeconomia della facoltà di economia di Torino tenuto dal prof. Zanetti e delle lezioni di matematica tenute dal prof. Mattalia.
Argomenti trattati:
- Equilibrio generale del mercato (domanda e offerta)
- Comportamento del consumatore
- Curve di livello
- Vincolo di bilancio
- Differenziale
- Differenziale totale
- Relazione tra domanda e comportamento del consumatore
- Ottimizzazione con una variabile
- Ottimizzazione con due o più variabili
- Massimi e minimi vincolati tramite i moltiplicatori di Lagange
- Significato e utilizzo dei moltiplicatori di Lagrange
- Risoluzione di sistemi lineari a più variabili con e senza moltiplicatori di Lagrange
- Scelta ottima del consumatore


DETTAGLI
Esame: Microeconomia
Corso di laurea: Corso di laurea in economia aziendale
SSD:
Università: Torino - Unito
A.A.: 2016-2017

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Pantalasso di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Microeconomia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Torino - Unito o del prof Zanetti Laura.

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