Microeconomia: appunti e rielaborazione sui concetti fondamentali con annessa spiegazione matematica ed esercizi

DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA DI DUE

VARIABILI ( regola della catena)

L'insieme degli output (immagini) della funzione g, che ha come input la variabile t, è

contenuto nell'insieme di definizione (dominio) della funzione f.

Quando la funzione g(t) è strutturata come g(t) = (x;y), e quindi g(t) è rappresentata come:

{x = x(t) e y = y(t)} Quindi le variabili della f(g) sono x e y, che sono date dalla funzione x(t) e y(t)

La derivata della funzione composta f(g(t)) delle due variabili x e y non è altro che: M. Rotunno

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Derivata della funzione implicita

Se abbiamo una funzione F(x,y) = 0 ci interessa conoscere le sue soluzioni ( o zeri di F), quali sono

quelle x e y che rendono la funzione F uguale a zero.

Ci sono dei casi in cui si può esprimere una delle due variabili della funzione F (x,y) in funzione dell'altra

variabile. Cioè come:

Si dice che F(x,y) definisce implicitamente la funzione y = f(x) oppure x = g(y).

Per il teorema di Dini, ci dice che in un intorno I di un punto (x0, y0), tale che: M. Rotunno

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Il fatto che la derivata parziale in quel punto è diverso da zero, significa che in quel punto (x0,y0) non si è in

presenza di un punto critico.

Allora, sotto queste condizioni, esiste un intorno di x0, affinchè esista un'unica funzione y = f(x) tale che:

Questa funzione è soddisfatta al variare della variabile x, ma è anche vero il contrario, cioè

che esista un unica funzione x = g(y) tale che F (g(y),y) = 0 al variare dell variabile y.

In pratica abbiamo una funzione a due variabili, ma ne variamo solo una che

automaticamente ci restituisce anche l'altra variabile.

Quindi in un intorno I di (x0) e in un intorno U di (y0), per ogni x che appartiene all'intorno I

esiste un unica y dell'intorno U che rende F (x,y) = 0.

Quindi la funzione f è una funzione che va dall'intorno I all'intorno U:

Non si può esplicitare sempre una delle due incognite in funzione dell'altra, ma però il teorema ci

dice che ne esiste almeno una, che viene detta funzione implicita.

Il teorema ci dice che:

Quindi, per il teorema di Dini la derivata della funzione implicita sarà: M. Rotunno

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Quindi, dovendo trovare i punti critici, cioè dovendo porre la derivata della funzione z = 0, troviamo:

Questa relazione ci dice che f'x è proporzionale rispetto a g'x e che f'y è proporzionale rispetto a

g'y. Questo perchè se la x varia allora f'y e g'y stanno ferme e diventano delle costanti, quindi g'x ha

una relazione di proporzionalità con f'y M. Rotunno

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Queste due relazioni tra le variabili non sono altro che le derivate prime della funzione Lagrangiana:

Quindi i punti di massimo e minimo della funzione z = f(x, y) vincolata dalla funzione g(x,y) = 0 si

ottengono come massimi e minimi liberi della funzione Lagrangiana.

Infatti, se facciamo la derivata della funzione obiettivo condizionata dal vincolo, otteniamo le stesse

derivate che otteniamo dalla funzione Lagrangiana, solo che dobbiamo risolvere il sistema per

trovare il valore della costante Lambda, che è la terza variabile della funzione Lagrangiana

Significato dei moltiplicatori di Lagrange

Servono come strumento di calcolo per costruire la funzione Lagrangiana al fine di ottenere un

sistema nelle tre incognite e poterlo usare per risolvere il problema di ottimo vincolato.

Il moltiplicatore di Lagrange ci dice di quanto una variazione marginale del valore del vincolo c

influenza il valore ottimale della funzione obiettivo f(x,y).

Quindi, se il vincolo (espresso tramite il parametro c) fosse la quantità disponibile di una risorsa, ad

esempio l'uranio, e abbiamo un moltiplicatore di Lagrange elevato, significa che il valore ottimale della

nostra funzione obiettivo è fortemente influenzato da una piccola variazione di c, cioè trovare anche

solo un piccolo giacimento di uranio influenza molto la nostra funzione. Quindi l'uranio è una risorsa

preziosa. M. Rotunno

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Dimostrazione

Ogni estremante che troviamo dipende dal valore del parametro c, che è il valore del vincolo che

scegliamo arbitrariamente o che ci viene fornito ( quantità di risorse limitate). Quindi se cambia il

vincolo cambia l'estremante. Quindi il punto di ottimo x0 e y0 dipendono da c, perciò ci sarà anche

un punto che dipende dal parametro c che abbiamo scelto.

È stata aggiunta una quantità nulla a f, perché x0(c) e y0(c) soddisfano il vincolo e pertanto: M. Rotunno

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Facendo la derivata della funzione

È una derivata di funzione composta di più variabili (si deriva rispetto a c). M. Rotunno

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Al posto di sostituire la funzione vincolo nella funzione obiettivo si può usare la

funzione Lagrangiana.

A questo punto si devono trovare le derivate prime della funzione Lagrangiana e porle uguale a zero. In

pratica si deve trovare il gradiente della funzione Lagrangiana e porlo uguale a zero, e poi risolvere il

sistema.

Si devono porre uguali a zero e risolvere il sistema M. Rotunno

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M. Rotunno

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Questi punti sono quelli che possono essere estremanti, cioè che annullano le derivate prime (il gradiente).

Questi punti possono essere massimi o minimi della funzione f(x,y) = x-y all'interno della regione g(x,y).

Avendo trovato i valori della funzione Lagrangiana possiamo applicare le regole per determinare se si tratta

di un massimo o di un minimo o di altro, tramite la matrice Hessiana. M. Rotunno

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Per il teorema di Weierstrass si può affermare che questi sono punti di massimo e minimo assoluti.

In conclusione la funzione f(x,y) ha un punto di massimo che vale 2 in corrispondenza dei punti

P(1;-1) e un punto di minimo che vale meno due in corrispondenza dei punti P(-1;1).

Quindi se si trovano i Lambda è possibile trovare gli estremi applicando le regole della matrice

Hessiana alla funzione Lagrangiana invece di andare a sostituire il vincolo nella funzione obiettivo.

M. Rotunno

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Input su wolframalpha

Maximize x-y on x^2+y^2-2=0 M. Rotunno

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Input su wolframalpha

Minimize x-y on x^2+y^2-2=0 M. Rotunno

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I Lambda ci dicono che se il vincolo subisce variazioni marginali i punti stazionari avranno un incremento

dello 0,5. Cambiando c non ci sono grandi cambiamenti sul massimo e sul minimo. Con wolframalpha

cambiando c da 0 a 1 si ottiene come valore massimo 6^(1/2) e minimo -6^(1/2), cioè circa 2,5 e -2,5,

quindi l'incremento del massimo e del minimo e più o meno proprio quello che ci dice il valore Lambda.

M. Rotunno

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Significa trovare il punto di massimo della funzione U subordinata dalla funzione vincolo.

1) scrivere la funzione Langrangiana

2) calcolare le derivate parziali e porle uguali a zero ( soddisfare le condizioni di prim'ordine) e risolvere l

sistema per trovare lambda, x1 e x2 che risolvono il sistema, e quindi i punti stazionari

Per risolvere il sistema si usa il metodo della eliminazione Gaussiana

M. Rotunno

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Eliminazione Gaussiana o Pivoting

Questo metodo si usa per risolvere i sistemi. Si usano le matrici. Si deve trasformare il sistema in una

matrice triangolare superiore o alta. Sarebbe una matrice dove tutti i numeri sotto la diagonale sono

uguali a zero, cioè nulli.

Pivot = elemento scelto per primo che rispetta certe regole e serve a far funzionare tutti l'algoritmo.

Quando siamo in una matrice del genere la dobbiamo trasformare in una matrice triangolare superiore, per

farlo si usano le regole di Gauss.

Per rendere nulli tutti i valori sotto la diagonale principale della matrice si usano le mosse

elementari o di gaus. M. Rotunno

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Mosse di Gauss:

1) scambio di due righe

2) moltiplicare una riga della matrice per uno scalare non nullo

3) sostituire una riga della matrice con quella ottenuta sommando ad esse un multiplo di un altra riga

Si procede annullando tutti i numeri sotto il primo numero a sinistra. Se fosse uguale a zero si

scambia la prima riga con un altra riga il cui primo numero non è nullo

Si elimina sostituendo tutta questa seconda riga con la differenza tra essa e la prima riga moltiplicata

per il coefficiente cioè il numero sotto diviso il numero sopra della stessa colonna.

È l'insieme dei nuovi numeri

da mettere al posto dei

numeri della riga che

vogliamo sostituire, tra cui

uno è sempre uguale a zero,

in questo caso il primo

numero della seconda riga

Questa formula restituisce zero al primo numero, ma essendo una matrice gli altri numeri

saranno diversi.

Questa matrice sarà diversa da quella precedente perché sono cambiati tutti i numeri di

quella iniziale. M. Rotunno

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Con questa formula tutti i termini della prima colonna saranno uguali a zero, tranne il primo che prende

il nome di pivot.

Andando avanti potrebbe essere necessario eliminare anche i numeri sotto il termine

Quindi se si vuole eliminare un termine della j-esima colonna, si utilizza all'altezza della riga i con

i < j : M. Rotunno

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Si dice ridurre a scala la matrice È il numero sotto il

quale gli altri

devono essere zero

Con questo metodo tutti i numeri sono cambiati

e abbiamo ottenuto nullo proprio quello che

volevamo, cioè il primo M. Rotunno

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Si ci rifà alla matrice precedente, l'ultima matrice che creo la uso per cambiare i numeri a quella successiva,

quella di cui stiamo usando il pivot. Questa è la nuova matrice che usamo, quelle precedenti non ci

interessano più

Sono tutti della matrice precedente

Risoluzione dei sistemi lineari per eliminazione Gaussiana

Con un sistema lineare del tipo: M. Rotunno

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Si deve costruire la matrice completa dei coefficienti e dei termini noti tralasciando quella delle

incognite.

Questa matrice va trasformata in una matrice triangolare superiore, indicata come:

Che corrisponde al sistema

I due sistemi sono equivalenti, cioè hanno lo stesso insieme di soluzioni.

Così facendo possiamo risolvere un sistema che invece di essere pieno di coefficienti non nulli ha

coefficienti nulli. M. Rotunno

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La matrice completa va trasformata con il metodo di Gauss in una matrice

triangolare superiore.

Adesso, per avere la matrice triangolare si ci può avvalere della regola del cambio di riga, cioè cambio la

seconda con la terza. M. Rotunno

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La matrice è conclusa perché è diventata triangolare superiore, si dice che è ridotta in scala.

Adesso si può associare il sistema alla matrice.

Il sistema è soddisfatto per: x = 1 y = 1 z = 1 M. Rotunno

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M. Rotunno

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Inverto la prima riga con la seconda M. Rotunno

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