Metodologia della ricerca in ambito clinico, Mannarini, Psicologia, Appunti 129 pagine

Teoria della probabilità

Fenomeno casuale

Fenomeno casuale (aleatorio): il fenomeno casuale è quello che può assumere più di un risultato.

Esempio:

• Dado → 1 delle 6 facce = è un risultato risolto.
• Non casuale → chimico che mette in moto una reazione chimica.

Spazio campionario

Spazio campionario: tutti i possibili risultati o descrizioni di un fenomeno casuale.

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} elenco dei possibili risultati.

Ω = {18 ≤ x ≤ 30} elenco dei possibili voti all'esame x compreso tra 18 e 30.

Evento

Un evento è un sottoinsieme di uno spazio campionario. La probabilità è una proprietà solo dei sottoinsiemi.

Esempio: x = voto di un esame, posso considerare voti compresi tra 25 e 30 come un sottoinsieme. Per definire un evento come sottoinsieme.

• A = {25 ≤ x ≤ 30} evento A sottoinsieme di {18 ≤ x ≤ 30}
• B = {23 ≤ x ≤ 27} evento B sottoinsieme di {18 ≤ x ≤ 30}

Un evento può anche coincidere con uno spazio campionario.

Intersezione di due eventi

Intersezione di due eventi: A ∩ B (l'evento A ∩ B = intersezione A e B e gli elementi comuni ad A e B sono appartenenti sia ad A che a B).

Se l'evento A: {25 ≤ x ≤ 30}, e l'evento B: {23 ≤ x ≤ 27}.

Risultato dell'intersezione → A ∩ B = {25 ≤ x ≤ 27}

Unione di due eventi

Unione di due eventi: A ∪ B → l'evento A unito all'evento B. L'operazione è costituita da elementi che appartengono ad A e B o entrambi.

Unione di eventi disgiunti (incompatibili):

• Lancio di un dado A = {1, 3, 5} n = 3 elementi: numeri dispari caratteristiche degli eventi
• Lancio di un dado B = {2, 4, 6} n = 3 elementi: numeri pari
• Voglio unire A ∪ B.
• A ∪ B = costituito da {1, 2, 3, 4, 5, 6} n = 6 elementi.

Teoria probabilità

Fenomeno casuale:

• Esempio: DADO—lancio di un dado
• Esempio: reazione chimica che mette in moto una reazione chimica.

Spazio campionario

1. Ω={1,2,3,4,5,6}
2. Ω=[18 ≤ x ≤ 30]

Un evento

• A:{25 ≤ x ≤ 30}
• B:{25 ≤ x ≤ 27}

Intersezione di 2 eventi

A ∩ B

Unione di 2 eventi

A ∪ B

Unione di eventi disgiunti (incompatibili)

• A={1,3,5,h}=3 elementi
• B={2,4,6,n}=3 elementi
• Voglio unire A ∪ B: A ∪ B={1,2,3,4,5,6}=6 elementi.

Sono DISGIUNTI perché tra A e B non c'è INTERSEZIONE. A∩B = ∅ (insieme vuoto).

Quando si fa A∪B la prima domanda è guardare se hanno intersezione.

In parole come a livello grafico:_2/3/16

A∩B≠∅: unione di eventi COMPATIBILI

1. Supponiamo aver bisogno gli studenti di una scuola di lingua
2. A: studenti di lingua
3. B: studenti di teatro
4. A∩B: studenti che hanno deciso di studiare entrambi
5. A∪B: A + B - (A∩B)
6. A∪B: gli studenti che studiano UNA lingua

Probabilità di eventi

Utilizzo dell'intersezione danno (eventi equiprobabili).

La probabilità di A è data dalle numerosità di A (elementi) fratto le persone riferite a tutto lo spazio campionario (ℕ).

P(A) = _n(A)/_ℕ(Ω)

P(B) = _n(B)/_ℕ(Ω)

P(A∩B) = _n(A∩B)/_ℕ(Ω): Probabilità dell'intersezione.

Esempio ℕ(Ω) = 100 studenti

n(A) = 30 maschi

n(B) = 40 studenti in φ

n(A∩B) = 15 studenti maschi in psicologia

Calcolo

P(A) = ₃₀/₁₀₀ = .30 studenti maschi

P(B) = ₄₀/₁₀₀ = .40 studenti in φ

P(A∩B) = ₁₅/₁₀₀ = .15 studenti maschi in φ

Qual è la probabilità di A∪C? C: evento femminile

P(A∪C) = ₃₀/₇₀ = 1 sono eventi non compatibili prendi uno e l'intersezione

Probabilità di studenti maschi: Ø femmine

P(A∪C): P(̅L̅) = 1: La probabilità di A∪C e la probabilità dello spazio campionario (ℕ).

Le \( \mathcal{R} \) e \( \mathcal{E} \) sono regolate da 3 assioni

• \( P(\Omega) = 1 \) La probabilità dello spazio campionario è 1
• \( 0 \leq P(e) \leq 1 \) Le probabilità riferite a un qualunque evento \( e \) sono comprese tra 0 e 1
• \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \) se \( P(A \cap B) = 0 \) eventi incompatibili
• \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) se \( P(A \cap B) > 0 \) eventi compatibili

Le probabilità e delle base dei modelli log-lineari

Esempio di prima:

• \( P(A) = .30 \)
• \( P(B) = .40 \)
• \( P(A \cap B) = .15 \)

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \rightarrow P(A \cup B) = .30 + .40 - .15 = .55 \)