Metodo di Hardy - Cross, trace a 3 Campate

TRAVE CONTINUA SU 3 APPOGGI - METODO DI CROSS

La trave continua è una struttura risolvibile con il metodo delle forze degli spostamenti, ma anche con altri metodi, come quello di CROSS.

- Partendo da una struttura cinematicamente determinata, metto dei morsetti i quali mi bloccano le rotazioni, tipo come se fossero degli incastri ulteriori.

Con la presenza dei morsetti la struttura si presenta nel seguente modo:

Il carico distribuito per effetto dei morsetti genera due coppie.

Per la risoluzione secondo il Metodo di Cross, applico i seguenti step:

1. Calcolo dei momenti squilibrati, in quanto la presenza dei morsetti causa la presenza di altri momenti che devo equilibrate con dei momenti uguali ed opposti.
2. Questi momenti uguali ed opposti sui nodi, saranno ripartiti sull'asta in base alle rigidità flessionali, che dovranno essere assorbiti dalla struttura nel seguente modo:

- Avendo i momenti, ogni volta che facciamo operazione sui nodi, me tolgano un morsetto per volta, sostituendolo con un momento che sarà ripartito in funzione delle rigidità delle aste che convergono in quel nodo, calcoliamo il coefficiente di ripartizione e diamo vita a quest'operazione iterativa.

TRAVE CONTINUA SU 3 APPOGGI - METODO DI CROSS

La trave continua è una struttura risolvibile con il metodo delle rotazioni degli spostamenti, ma anche con altri metodi, come quello di Cross.

- Partendo da una struttura cinematicamente determinata, metto dei morsetti i quali mi bloccano la rotazione, tipo come se fossero degli incastri ultimi

1) Con la presura dei morsetti la struttura si penserà nel seguente modo

2) Il carico distribuito per effetto dei morsetti genera due coppie

Per la risoluzione ricordo il Metodo di Cross, applico i seguenti Step:

1. Calcolo dei momenti equilibrati, in quanto la presura dei morsetti causa la presura di altri momenti che devo equilibrare con dei momenti uguali ed opposti.
2. Questi momenti uguali ed opposti sui nodi, saranno riportati sull'asta in base alle rigidità flessionali, che dovranno essere assorbiti dalla struttura nel seguente modo - Avendo i morsetti, ogni volta che facciamo operazione sui nodi, ne tolgo un morsetto per volta sostituendolo con un momento che sarà ripartito in funzione delle rigidità delle arti che concorrono in quel nodo, calcoliamo il coefficiente di ripartizione e diamo via a questa operazione iterativa.

Esempio Numerico

• Andiamo ad eliminare lo sbalzo sostituendo con k che va posto sulla struttura

• Calcolo dei momenti:

Asta AB

_M^sx_B = _qℓ² / 8 = 14.50 (4.30)² / 8 = 33.52

Asta BC

^{Mdx_B = ...}

N.B.: Notate che nell'appoggio "B" i due momenti: ^M_sxB e ^{Mdx_B non sono uguali pertanto un momento m_γ = 29.92 - 28.20 = 0.72 cioè è il momento spostante di equilibrio ed eliminiamo attraverso due rotazioni}

Asta C

_M^sx_c = _qℓ² / 8 = 11.50 (4.70)² / 8 = -31.75 kNm

N.B. La stessa cosa vale per l'appoggio "C", avremo un momento squilibrate M_γ :

M_γ : 2.20 - 31.75 = -2.55 kNm

Calcolo Coefficienti di Ripartizione

~ I_BA = _3EI/_ℓ / _3EI/_ℓ + ₃/4.30 = 0.70/1.44 ~ > I_BC = 1.00 - 0.49 = 0.51

~ I_CB = _4EI/_ℓ / _4EI/_ℓ + ₄/4.50 = 0.74/1.38 ~ > I_CB = 1.00 - 0.54 = 0.46

Svolgimento Metodo di Cross

N.B. Come si vede, con il Metodo di Cross siamo giunti ad equilibrare i momenti negli appoggi:

M^sx_B = M^dx_B = 29.191 kNm

M^sx_C = M^dy_C = 30.408 kNm

Spiegazione

Partendo dal Nodo "B" abbiamo: +29.20 - 31.75 = -2.55 kNm

2.55 kNm va equilibrato con un momento fesc ed opposto che va ripartito sulle aste CTB e CT.

• -2.55 (-1) = +2.55 x (0.54) = +1.38 e quindi va trasportato al nodo "B" con il coeff di trasporto 0.50: 1.38 o.50 = 0.69
• x (0.46) = 1.17

Passiamo al nodo "B" ovvero:29.92 - 29.20 + 0.69 = 1.41 kNm Mom. equilibrante che va ripartito lungo le aste con segno opposto per equilibrarlo.

• 1.41 (-1) = -1.41 x (0.49) = 0.89
• x (0.51) = -0.72 e quindi va trasportato al nodo CT:-0.72 x 0.50 = -0.36

Nel nodo C faremo lo stesso:

• -0.36 (-1) = +0.36 x (0.54): 0.20 o trasportato nel nodo B
• x (0.46): 0.16
• 0.20 x 0.50 = 0.10

Così via facendo, continuiamo fino a quando avremo:M^sx_B = M^dx_B = M^sx_C = M^dy_C

Schemi Finali

7.20

4.30

5.40

4.70

A

C

B

14.50 kN/m

12.00 kN/m

11.50 kN/m

29.20

19.20

30.41

31.12

31.18

29.20

5.12

26.06 kN

36.30 kN

X

1.80

3

M

16.25 kN

29.20 kN

16.25 kN m

36.30 kN

26.06

1.80 m

-7.20

T₀ = Mₘₐₓ

T₀₀ : Yₐ - 9X = 0 : 9X = Yₐ

X : Yₐ/9

X : 26.06/14.50

Mₘₐₓ : -7.20 + 26.06(1.80) - 14.50(1.80)²/2

Mₘₐₓ : 16.25 kN m

Tratto BC

29.20

^YB

^YB

30.41

12.00 kN/m

5.40 m

32.40

32.40

32.18 kN

32.66 kN

T

32.18 kN

2.68 m

32.66 kN

29.20 kN/m

M

30.41 kN/m

13.92 kN/m

Taglio dovuto al carico

12.00 (5.40) / 2 = 32.40 kN = ^YC

^YB = (30.41 - 29.20) / 0.22 kN = ^YB

Taglio dovuto al momento

T_tot

^YB - 9x = 0 + 9x + ^YB

x = ^YB / 9

x: 32.18 kN / 12.00 kN/m = 2.68 m

M_max: -29.20 + 3.18 (2.68) - 12.00 (2.68) / 2

M_max: 13.92 kN/m

TRAVE Σ_b

11.50 kN/m

4.70 m

24.00 m

Ye

9

Ye: 11.50 x 4.70: 27.00 kN = y⁹

Σe 32.00 6.47 b

33.47 kN 20.53 kN

30.41 kN

T = o: Ye - 9X = o + 9X = Ye

X = Σe/Yc = 33.47 kN/11.50 kN/m = 2.91 m

Σmax: -30.41 + 33.41(2.91) - 11.50(2.91²)/2

Σmax: 18.20 kN/m