Metodo degli spostamenti

METODI DI ANALISI STRUTTURALE

Faremo uso di metodi di analisi strutturale, facendo riferimento anche al METODO DI ANALISI ELASTICA LINEARE, ed in particolare parleremo del METODO DEGLI SPOSTAMENTI.

• Scopo dell'analisi strutturale è quello di determinare le caratteristiche di una struttura che ha un comportamento elastico lineare, struttura soggetta ad una generica condizione di carico.

Quindi, assegnato un sistema di forze agenti su una struttura, il nostro scopo è determinare come questa struttura deformabile, e quali sono le caratteristiche di risposta (in particolare le forze e le deformazioni alle sollecitazioni).

Faremo riferimento alle strutture MONODIMENSIONALI, e quindi a quelle strutture costituite da elementi, aventi una dimensione (denominata area), che è prevalente rispetto alle altre due.

Non solo, faremo riferimento a elemento monodimensionale RETTILINEI, a SEZIONE COSTANTE.

• Questi metodi sono generali e si possono applicare anche a elementi monodimensionali non rettilinei, seguendo i loro spazi.
• Non solo, ma con opportune accorgimenti, questi metodi di analisi possono anche estendersi a elementi BI-DIMENSIONALI e TRI-DIMENSIONALI (comunque di approssimazione che costituiscono il nucleo di un metodo chiamato "METODO DEGLI ELEMENTI FINITI").

Il METODO DEGLI ELEMENTI FINITI consiste nel determinare una serie di equazioni della stessa tipologia per i quali possono costruirsi elementi anche a elementi bidimensionali e tridimensionali con alcuni approssimazioni.

Si riesce a discretizzare una struttura continua, e quindi rendere la sua risposta dipendente da un numero finito di parametri (con ciò l'oggetto per strutture monodimensionali, approssimata per strutture bidimensionali e tridimensionali).

• Per poter definire la risposta strutturale a questo insieme di forze (SCOPO ANALISI STRUTTURALE), innanzitutto bisogna riuscire a definire il SISTEMA DI FORZE APPLICATE, e per definire il sistema di forze applicato su una struttura, utilizzerà i cosiddetti SISTEMI DI COORDINATE.

Assegnato una certa struttura: dare che su questa struttura imbattono un sistema di coordinate, in particolare un sistema di coordinate: significa che che individuando questa struttura una origine, e in questa sezione individuare un verso che ti fornisce una direzione ad un verso positivo.

...e posso individuare certe direzioni → perché' utilizzando queste coordinate riesco di poter rappresentare ... comportamento della ... struttura interna ... carichi e in termini di spostamenti. Sono le due grandezze che mi permettono ... risposta dei carichi e la risposta strutturale.

Definisco quindi, data la struttura, la configurazione STATICO-DEFORMATA una volta che conosco parametri FORZE e SPOSTAM. definiti in funzione di un sistema di coordinate. ...

Questo sistema di coordinate può rappresentare sia forze o spostamenti veri... e proprio ma anche coppie e rotazioni, a seconda delle mie esigenze. Sono libero di scegliere questi parametri...

Suolto queste coordinate, che depend... dalla particolare struttura che io econom... e da tipo di unità, che voglio ottenere, = Vengono tutente ai punti nodali della struttura

è con... del sistema geometrico ... è aspetto al quale viene descritta la ... struttura, di solito queste coordinate ... vengono definiti con vetto positivo concorde con i vetto positivì del... sistema geometria di rienteleoppe...

Questo sistema di coordinate arbitrario è scelbro per descrivere il comportamento della struttura. Essa dipende quindi dalla geometria strutturale

Ad esempio lo consid... un element TO an ... TRAVE è isolato ... punto, Per descutere la sua configurazione deformata sicuramente a quelo, suari spostamenti io bongraho conscere lo spost. vertic del nodo di start distritzo, la spost. orizzontale del nodo di sistemi... e la rotate nei nodo di sinistra (3 parametri) ... dopiched doverà del futro spost. verticale rotativo nel del nodo di destra

Se consid... una biella... un‘asta s... esclusiv... un sposto nomalrò a quella che ocloro coro scritto sono gli spost. del nodo di da e sx. perché', in bo di questi spost. conoscere, ' quel lunghezhi di questi e quindi conoscere il valore dello sposto normale

Δe = NE_L / EA

Ad esempio struttura a 3GDL - vuol dire che per descrivere il comportamento di questa struttura ho bisogno di 3 parametri spostamenti che sono gradi di libertà della struttura.

Facendo riferimento al portale visto prima consideriamo ε/EA = 0

Posso anche definire la configuraz. deformata facendo variare uno alla volta questi spostamenti. Considerando una alla volta diventano zero questi spost. indipen.

Ad esempio la configurazione deformata che io ottengo per l'imponendo

• μ₁ ≠ 0
• μ₂ = μ₃ = 0

Mentre per μ₂ ≠ 0

• μ₁ = μ₃ = 0

Oppure μ₃ ≠ 0

• μ₁ = μ₂ = 0

in questo caso GDL della struttura sono 3 (μ₁, μ₂, μ₃)

Sistema a n coordinate

• F₁ = k₁₁ u₁ + k₁₂ u₂ + ... + k_1n u_n
• F₂ = k₂₁ u₁ + k₂₂ u₂ + ... + k_2n u_n
• FN = k_n1 u₁ + k_n2 u₂ + ... + k_nn u_n

• u₁ = 1ƛ_u2 = u_n = 0
  • sostiene la prima colonna della matr. di rigid.
  • per u₂ = l'unica altra spostam. = 0
    • sostiene la seconda colonna
• u_n = 1 e gli altri = 0
  • sostiene l'ennesima colonna

Considerazione matrice delle rigidezze

• k_ij > 0 Termini sulla diagonale principali
• diventano k_ij > 0 Se la struttura non è d'abile
• inoltre k_ij = k_ji Significa che la matrice delle rigidezze è simmetrica
• det [k] ≠ 0 Significa che [k] ammette un'inversa
  • Se le vettore {u} è costituito da elem. indipendenti
• Se è vero {F} = [k] {u}
  • F dato del probl.
  • u incognuta "
• posso ottenere {u} = [k]^-1 {F} lo posso fare in virtù del fatto che
  • det (k) ≠ 0

Questa operazione è il nucleo del METODO DEGLI SPOSTAM. (dove le incognite sono proprio gli spostamenti)

3 ottobre 3

Metaglio e'

Facendo riferimento a questa configurazione e le coordinate rimangono. Possiamo studiare lo schema come se fosse a ln. Sappiamo che la total di dx e' la meta' di quella di sx.

Per conoscere tu guardi, prendiamo la nostra struttura e diamo una rotaz. unitaria.

la forza necessaria a deformare la strutt. con n e' corrispettiva k

F = k μ

Per risolvere conviene consud. separate gli elementi che compongono se sistema dae modo

EQ. DI EQUILIBRIO ALLA ROTAZ. DEL NODO

k - 3Ej + 4Ej = 0

RIGIDEZZASTRUTTURALE

k = ⅛ 7Ej

La prima parte del problema può essere affrontata scrivendo la relazione che lega carichi e spostamenti in corrispondenza delle coordinate

Per risolvere aperto problema utilizziamo sovrapp. degli effetti sulle forze

(Siccome rotazione e traslazione del travero sono bloccati per effetto di F₁ e F₂)

(sono le forze di incastro perfetto gli spostam. sono nulli solo in corrispondenza delle coordinate)

Otteniamo la seconda relazione:

Se sommiamo membro a membro la (1) e la (2)

In questa maniera abbiamo generalizzato il metodo degli spostamenti

F^o sono le forze di incastro perfetto