Metodo degli spostamenti, costruzione di macchine

B

A η =

C 48 EJ

1 M l

5) ϕ =

M A 3 EJ

1

B ϕ ϕ

=

A B A

2

q 3

6) 1 ql

ϕ ϕ

= =

C A B 24 EJ

B

A 4

5 ql

η =

C 384 EJ

Saperle dimostrare!!

METODO DELLE FORZE

Partendo dai casi notevoli si risolvono le strutture iperstatiche.

Vincoli e gdl:

struttura labile: numero gradi vincolo < numero gradi di libertà

• struttura isostatica: numero gradi vincolo = numero gradi di libertà

• struttura iperstatica: numero gradi vincolo > numero gradi di libertà

• (ottengo gradi di iperstaticità)

Nel piano:

n: numero gdl della struttura = 3t con t numero aste

A n sottraggo i gradi di libertà che tolgono i vincoli

Labilità:

Avere gdv = gdl è condizione necessaria ma non sufficiente per avere una struttura

isostatica.

I vincoli devono essere efficaci perchè potrei avere ancora una struttura labile

Analisi cinematica

Se ho un CIR la struttura è labile

Nell'esempio la retta d'azione del carrello passa per il perno della cerniera e quindi la

struttura è labile!

Risoluzione strutture iperstatiche con metodo delle forze.

1

Tra le ∞ soluzioni che può avere una struttura iperstatica, quella effettiva è quella che

rispetta le codizioni di congruenza.

La soluzione delle strutture parte dai casi notevoli.

C

l l

Struttura simmetrica : posso avere strutture simmetriche geometricamente e rispetto al

carico, oppure antimetriche rispetto al carico, in entrambi i casi

studio metà struttura.

Asse di simmetria passa per C.

Al nodo C quali sono gli spostamenti consentiti?

Non è consentita la traslazione in orizzontale

• Non sono consentite rotazioni perchè avrei angoli diversi prima e dopo C e io devo

• rispettare la simmetria

Non sono consentite traslazioni lungo l'asse verticale

•

Posso sostiture con un incastro in C e ho metà struttura:

F l

Struttura ancora simmetrica rispetto a l/2.

Posso studiare metà struttura ma devo porre un vincolo opportuno.

Sono consentite le traslazioni lungo l' asse verticale.

Metto: doppio pendolo: appoggio potenziato che sopprime traslazioni orizzontali e

rotazioni.

Studio l/2 → carico che si distribuisce è F/2 F /2 l/ 2

Difficilmente però riuscirei a ricondurmi a un caso notevole quindi studio:

F l

Tale struttura è iperstatica

Posso ricondurmi al cas 4)

Devo introdurre però 2 incognite X che sono le reazioi vincolari che sostituiscono il vincolo

sovrabbondante della struttura.

La simmetria mi dice che le incognite X sono due momenti uguali e opposti in verso.

La soluzione necessita 2 sistemi:

1) carichi esterni applicati

2) reazioni incognite. F X

X C B

A

Condizione di congruenza: φ = 0

A

Ho una equazione per ogni vincolo che tolgo!

1° sistema: F

φ A' C B

A

φ ' dovuto a F

A 2

1 F l

ϕ =

' (orario, segno - )

A 16 E J

2° sistema:

φ '' dovuto alla coppia X

A X

X B

A

Devo considerare che la rotazione in A è data dalla sovrapposizione degli effetti della

coppia X in A e della X in B. Le rotazioni dovute a queste due si sommano.

1 Xl

ϕ =

'' a n tio ra ria

A , S X 3 EJ

1 Xl

ϕ =

'' a n tio ra ria

A , D X 6 EJ

La coppia di destra a sinistra da ancora un contributo antiorario.

1 Xl

ϕ =

''

A 2 EJ

Imponendo φ = 0

A ϕ ϕ

− =

'' ' 0

A A

1

=

X Fl

8

Il metodo delle forze non è automatizzabile e utilizzabile dal pc

Caso per caso devo fare riferimento a casi notevoli.

Sono necesarie equazioni di congruenza.

METODO DEGLI SPOSTAMENTI

Si basa sull'equilibrio del sistema dando per scontata la congruenza.

Nel metodo delle forze si deve trovare il grado di iperstaticità.

Nel metodo degli spostamenti invece si deve definire il grado di indeterminazione

cinematica.

Incognite: s → spostamenti nodali struttura

v-g

∞

Metodo delle forze: ho soluzioni staticamente ammissibili

s

∞

Metodo degli spostamenti: ho soluzioni cinematicamente ammissibili

Tra tutte le soluzioni l'unica plausibile che rispetti l' equilibrio.

Metodo matriciale.

Si definisce la matrice di rigidezza che lega le forze e spostamenti generalizzati .

(non distinguiamo tra traslazioni e rotazioni

 

   

k k k k

F f

11 12 13 14

1 1

 

   

F k k k k f

   

 

2 21 22 23 24 2

= ×

   

 

F f

k k ........

   

3 3

31 32

 

   

F f

k

   

 

4 4

44

Es: molla F

K

Δ x d e f o r m a z io n e m o lla

= − ∆

F k x

= ∆

F k x le g g e d i h o o k e

Es: asta sottoposta a trazione.

Sistema di riferimento: sempre da sinistra a destra

forze: F F

1 2

spostamenti f f

1 2

La matrice ricavata è valida se viene rispettata la numerazioe dei nodi.

Hp fondamentali:

sezione costante su tutta l'asta

• elemento link in ansys è sensibile solo a trazione e compressione

• tirante : aste sottoposte a trazione

puntone : aste sottoposte a compressione

I link sono collegati da cerniere per evitare la presenza di momento flettente e taglio

sulla struttura.Un link sopporta solo trazione/compressione.

Vincolo che toglie 2 gdl l

∫ ε

∆ = − =

l f f d x

2 1 x

0

ε è la deformazione unitaria di un elemento qualsiasi a distanza x dall'origine

X σ

ε = x legge di hooke per le tensioni

x E σ

l F

∫ σ

∆ = =

x

l dx , x

E A

0 l F

∫

∆ = x

l dx

EA

0

E : dipende dall'asta e non da x

A : costante

F : per x = 0 ho F per x = l ho F

X 1 2

F F F l

∆ = × − × = = −

2 1 2

l l 0 f f

2 1

EA EA EA

Matrice di rigidezza si ricava per colonne.

Impongo un f unitario e un altro nullo e la costruisco

f = 1 ; f = 0 (colonna 1)

1 2 ↓

 

k k

11 12

 

k k

 

21 22 F l F l EA

− = ⇒ − = ⇒ = − →

2 2

f f 0 1 F k

2 1 2 21

EA EA l

k perchè considero la 1° colonna, mentre F è relativa alla riga.

21 2

Da equilibrio delle forze: EA

= − ⇒ = →

F F F k

1 2 1 11

l

Non ho equazioni di congruenza, ma di equilibrio!

 

k

Ho completato la 1° colonna. 11

 

k

 

21

Per la 2° colonna il pedice 2 quindi:

f = 0 ; f = 1

1 2 F EA

= × → = =

2

1 l F k

2 22

EA l EA

+ = ⇒ = − = − →

F F 0 F F k

1 2 1 2 12

l

Matrice di rigidezza per asta sottoposta a trazione:

 

E A /l -E A /l

  matrici di rigidezza simmetriche e quindi

-E A /l E A /l

  diagonalizzabili (calcoli + semplici)

> l < la rigidezza

• > E (cambio materiale) > rigidezza

• > A > rigidezza

•

Asta soggetta a momento torcente (molla a torsione)

f , f : rotazioni fuori dal piano

1 2 f 2

f 1 F 2

F 1

L'angolo unitario per una trave soggetta a torsione:

M

ϑ = I

u G J P

(torsione)

Considero trave a sezione circolare soggetta a due coppie di estremità tali da provocare

rotazione attorno all'asse longitudinale.

Ipotizziamo che l'andamento delle tau sia lineare rispetto al centro della sezione

(spostamenti avvengono secondo archi di cerchio con stesso angolo)

τ = C r

γ

Anche varia linearmente con r

Per definizione il parametro interno al materiale momento torcente vale:

∫ τ

=

M rdA

t A

∫

= =

2

M C r d A C J

t P

A

Con J momento geometrico polare della sezione. ( non è il momento geometrico del

P

secondo ordine!) τ

M

= =

t

C J r

P

Le tau rispettano quindi l'equazione: M

τ = t r equazione di coulomb

J P

Per reciprocità delle tau queste si accompagnano uguali nella sezione trasversale.

Le tau sono massime sulla superficie della trave.

L'angolo di rotazione (unitario) che da la rotazione tra due sezioni disposte a una

ϑ U

distanza unitaria vale: a γ ϑ U

L= 1

ϑ γ γ

= =

r L

U M

ϑ = t

U G J P

Nel caso di lunghezza L della trave l' angolo totale di torsione è:

M

ϑ = t L

G J P

Rapporto tra momento torcente e angolo di torsione: rigidezza torsionale trave.

M GJ Nm

= =

t P

K [ ]

T ϑ L ra d M

ϑ = t

Consideriamo l'angolo unitario per trave a torsione: U G J P

F

− = 2

f f L Come nel caso della trazione → dimostrazione

2 1 GJ P L L F F

∫ ∫

ϑ

− = = → − =

x

f f d x d x f f L

2

2 1 U 2 1

GJ GJ

P P

0 0

(procedimento analogo)

Matrice di rigidezza :

 

G J G J

−

P P

 

L L

 

G J G J

 

− P P

 

 

L L

ES trave soggetta a torsione e taglio f 3

f 1 f 4

f 2 2

1

La matrice di rigidezza che si ottiene è valida solo se uso la stessa numerazione di f e nodi

(come in figura)

Convenzioni: spostamento + se verso l'alto

Momento flettente + se fibre tese verso l'alto.

L'ipotesi che facciamo è l'opposta della linea elastica, ma l'equazione è ancora valida se

cambio i segni a sx e dx (sia di f che del momento) e questo implica integrare da sx a dx.

η M

2

d f

= −

2

dx EJ

F 1 η

2

d = − − ×

EJ ( F F x )

2 1

2

dx

P

x

F 2 (momento flettente su un generico punto P)

η

2

d = −

EJ F x F integro una 1° volta

1 2

2

dx η

d

integrando ricavo che rappresenta una rotazione della trave φ

dx

2

x

ϕ = − +

E J F F x C : rotazione generalizzata, intergo 2° volta

1 2 1

2

3 2

x x