Metodo degli spostamenti, costruzione di macchine

Equazione della linea elastica

L'equazione della linea elastica è espressa da Mη2d f= −2dx EJ. Con:

• η: abbassamento della trave
• M: momento flettente
• fJ: momento geometrico del secondo ordine
• fE: modulo di Young

Il rapporto M/EJ rappresenta la curvatura della trave [m]. L'inverso della curvatura è il raggio della circonferenza oscuratrice o raggio di curvatura. È valida se sono rispettate due ipotesi:

• Abbassamento positivo se η è verso il basso.
• Momento flettente positivo se tende le fibre inferiori della trave.

Casi notevoli

Ci sono sei casi notevoli:

1. 1 F lF η = B 3 EJ2L
2. 1 F lBA ϕ = B 2 EJ
3. 41 qlq η = 2) q = N/mm B 8 EJ
4. 31 qlϕ = B 6 EJ2M l
5. η = M B E JL BA M lϕ = B E J
6. F 31 F lϕ ϕ = = A B 16 EJC
7. 31 F lBA η = C 48 EJ1 M l
8. ϕ = M A 3 EJ1B ϕ ϕ = A B A
9. 2q 3
10. 6) 1 qlϕ ϕ = = C A B 24 EJBA 45 qlη = C 384 EJ

Saperle dimostrare è fondamentale!

Metodo delle forze

Partendo dai casi notevoli si risolvono le strutture iperstatiche. Vincoli e gdl:

• Struttura labile: numero gradi vincolo < numero gradi di libertà
• Struttura isostatica: numero gradi vincolo = numero gradi di libertà
• Struttura iperstatica: numero gradi vincolo > numero gradi di libertà (ottengo gradi di iperstaticità)

Nel piano:

• n: numero gdl della struttura = 3t con t numero aste. A n sottraggo i gradi di libertà che tolgono i vincoli.

Labilità: Avere gdv = gdl è condizione necessaria ma non sufficiente per avere una struttura isostatica. I vincoli devono essere efficaci perché potrei avere ancora una struttura labile.

Analisi cinematica

Se ho un CIR, la struttura è labile. Nell'esempio, la retta d'azione del carrello passa per il perno della cerniera e quindi la struttura è labile!

Risoluzione strutture iperstatiche con metodo delle forze

Tra le ∞ soluzioni che può avere una struttura iperstatica, quella effettiva è quella che rispetta le condizioni di congruenza. La soluzione delle strutture parte dai casi notevoli.

Struttura simmetrica

Posso avere strutture simmetriche geometricamente e rispetto al carico, oppure antimetriche rispetto al carico. In entrambi i casi studio metà struttura. L'asse di simmetria passa per C. Al nodo C, quali sono gli spostamenti consentiti?

• Non è consentita la traslazione in orizzontale.
• Non sono consentite rotazioni perché avrei angoli diversi prima e dopo C e io devo rispettare la simmetria.
• Non sono consentite traslazioni lungo l'asse verticale.

Posso sostituire con un incastro in C e ho metà struttura:

Struttura ancora simmetrica rispetto a l/2

Posso studiare metà struttura ma devo porre un vincolo opportuno. Sono consentite le traslazioni lungo l'asse verticale. Metto un doppio pendolo: appoggio potenziato che sopprime traslazioni orizzontali e rotazioni. Studio l/2 → carico che si distribuisce è F/2 F/2 l/2. Difficilmente però riuscirei a ricondurmi a un caso notevole quindi studio:

Tale struttura è iperstatica

Posso ricondurmi al caso 4), devo introdurre però 2 incognite X che sono le reazioni vincolari che sostituiscono il vincolo sovrabbondante della struttura. La simmetria mi dice che le incognite X sono due momenti uguali e opposti in verso. La soluzione necessita di 2 sistemi:

1. Carichi esterni applicati
2. Reazioni incognite

Condizione di congruenza: φ = 0A. Ho un'equazione per ogni vincolo che tolgo!

1° Sistema

φ A' C BAφ ' dovuto a FA 21 F lϕ =' (orario, segno - )A 16 E J

2° Sistema

φ '' dovuto alla coppia XA XX BA. Devo considerare che la rotazione in A è data dalla sovrapposizione degli effetti della coppia X in A e della X in B. Le rotazioni dovute a queste due si sommano. 1 Xlϕ ='' a n tio ra riaA , S X 3 EJ1 Xlϕ ='' a n tio ra riaA , D X 6 EJ. La coppia di destra a sinistra dà ancora un contributo antiorario. 1 Xlϕ =''A 2 EJ. Imponendo φ = 0A ϕ ϕ− ='' ' 0A A1=X Fl8.

Il metodo delle forze non è automatizzabile e utilizzabile dal PC. Caso per caso devo fare la risoluzione manualmente.