Metodi Numerici per l'Energetica M - Appunto

METODI NUMERICI PER L'ENERGETICA

Modeling of thermal plasma process at unibo

• Si tengono conto diversi stati: plasma/gas/liquido/solido
• Campi elettromagnetici
• Geometrie 2D e 3D

Codice commerciale: ANSYS Fluent

(Come base) implementato con altri modelli

Discretizzando le equazioni differenziali

Codice per proprietà del trasporto (per passare da idrogeno a plasmi più complicati)

Potenziale d’interazione:

F(z) = -dV(z)/dz

da proprietà microscopiche si riesce a passare a quelle macroscopiche

Nanoparticle synthesis in thermal plasmas

BRIEF INTRODUCTION TO CFD

COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS

CFD È LA SCIENZA CHE PREDICE DEL FLUIDO, CALORE, TRASFERIMENTO DI MASSA, REAZIONI CHIMICHE RISOLVENDO NUMERICAMENTE UN SISTEMA DI EQUAZIONI È LEGATO A TEST ED ESPERIMENTI

OTTIMIZZAZIONE DI COMODIT, ORLANUCCI

0.56.15

IDENTIFICAZIONE DEL PROBLEMA (PRE-PROCESSING)

• DEFINIZIONE DEL PROBLEMA
• DOMINIO (SPAZIALE E TEMPORALE)
• GRID

• SOLVER EXECUTION
• SET UP
• COMPUTE AND MONITOR THE SOLUTION

• POST-PROCESSING
  • EXAMINE THE RESULTS
  • CONSIDER REVISIONS TO THE MODEL

• MODELING GOALS (COSA VOGLIAMO PROVARE?)
  • ECONOMICITÀ SOLUZIONE
  • GRADO DI ACCURATEZZA
  • VELOCITÀ DEI RISULTATI

• CONDIZIONI AL CONTORNO DEFINITE (DEFINE BOUNDARY CONDITION)
• DESIGN AND CREATE THE GRID
  • 2D TRIANGOLO QUADRATERO
  • 3D TETRAEDRI ESAG.ANS.PRISMI
• VOGIO UN GRIGLIA CHE FICCATURA YLF - ELEMENTI ROTONDI CHE TI INTERESSA
• VOCEBLICIO TRE GIRA BASILCARI (UN PASSO PER GRIGIA ELEMENTI BICOFERER) SCALA
• VOLORE MESHES (MAPPATURA) (NOIFICANCHENNE)
• È IMPORTANTE ESAMINARE I RISULTATI
• POSSIARE ORIRE SE IL MODELLO ERA COERENTE

• CONDIZIONI OPERATIVE
• SISTEMA LINEARE DELE EQ. BFC BISOGNA ANALIZZARE E CONWOFFVEDRA

NUM.GIRO PUGNOGARE

RISULTATI IN SERTRIAM

VERRA CERETTRE VEL INDUSO

LA TURBOLUZA

Convergence - Continued

fatto per rapporto tra membro destro e sinistro

trovato errore relativo

il valore di residuo vale per ogni cella

e per residuo totale, co sommato tra tutte le celle

• Residuo 10^-3 oppure 10^-4

Numerical Schemes

Per trovare valori di f._faccia

First Order Upwind Scheme

(UDS)

upstream, si prende valore a monte

Flow direction può essere disegnata in diagonale

in questo caso si crea falsa diffusione

Central Differencing Scheme

(CDS)

faccio una media, interpolazione lineare tra le celle

è più accurata, ma meno stabile

numero di Pecclet: Pe = SuL / D

quando Pe >> 2 bisogna passare a upwind

ABBiamo ancora derivate seconde

La derivata nello stesso punto è definita in maniera diversa

=> Sono entrambi esatti, la differenza la fanno i termini di ordine maggiore che trascuro

Se griglia ha un passo costante:

sottraggo i termini delle due espressioni

Abbiato una terza nuova forma della derivata

=> sono tutte esatte

Idea? Tronchiamo ordini successivi al primo

FDS

Commettiamo un errore abbastanza grande

Forward Difference

CONDIZIONI AL CONTORNO

FORMA GENERALE MONO DIMENSIONALE:

a ϕ + b ∂ϕ/∂x = 0

_α= 0                 DERIVATA DATA → b per esempio fisico _β= 0                 VALORE DATA

SI OPERA SOLO SULL'INTERNO SE C'È DATO IL VALORE

ϕ_i - ϕ_x-1  /  x_i - x_x-1 = ∂ϕ/∂x

SE β ≠ 0,IL PUNTO A NON SI RISOLVE

SE CI DANNO DERIVATA, DOBBIAMO INVENTARCI QUALCOSA

ϕ(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³

Il problema della simmetria non si pone più

Per griglie cartesiane:

Cella computazionale: W, P, E, EE

= 27ϕ_E + 27ϕ_P - 3ϕ_W - 3ϕ_EE

Vale per griglie uniformi

Avendo un polinomio, posso calcolare:

(dϕ/dx)_e = a₁ + 2a₂x + 3a₃x² =

= (27ϕ_E - 27ϕ_P + ϕ_W - ϕ_EE) / 24 Δx

∂B_rz = μ₀(j^ext + j^ext)_z

∂E_θ = iωB_z

1/r ∂ ∂E_θ = -iωrB_z

3 EQ. LINEARI PER TROVARE LE 3 GRANDEZZE

RIUSCIAMO A COUPLARE TUTTO?

B_r = -1/iωr ∂E_θo

⇒

B_z = -1/iωr ∂E_θ/∂r = -1/iωr (E_θ + r ∂E_θo)/∂r

RISCRIVO LA PRIMA

∂²E_θ^o ∂z² = 1/r ∂/∂r (r∂E_θ/_o∂r) - 1/r² F_θ - iω μ₀(j^ext + j^ext) = 0

UNA VOLTA TROVATO F_θ , TROVO B_z E B_r

∂²E^o ∂z² = F_i,j+1 + F_i,j-1 - 2F_i,j / Δa²

1/r ∂/∂r (r ∂E_θ ∂r) = 1/r_i R_i+1/2 − R_i−1/2 ∂E_θ/_o ∂r catodo stato libero -> specie atomiche

Ipotesi: particelle sperdine solide

si comportano come punti di massa

= scrivo

F = m•a (eq. definizione)

Devo trovare la forza applicata sulla particella

m ^d2F/_dt² = F

m ^d_v/_dt = F

_v = dF/dt

---------

d_φ(t)/_dt = f(t, φ(t))

φ(t₀) = φ⁰

Impongo sempre una condizione iniziale

Discretizziamo il tempo (non è più variabile continua)

t

n-1 m m+1

Inte(gra\l)iamo

∫_tm^t_m+1 d_φ/_dt dt = φ^m+1 - φ^m =

∫_tm^t_m+1 f(t_i, φ(t_i)) dt

È un uguale esatto

Provando e non possibile trovare una soluzione analitica

Predictor - Corrector

(è esplicito)

1. φ_m+1 = φ_m + f(t_m, φ_m) Δt

2. φ_m+1 = φ_m + 1/2 [f(t_m, φ_m) + f(t_m-1, φ^#_m-1)]

Correttore

Runge-Kutta

sono dei metodi predictor-corrector hanno diversi ordini di approssimazione

2° ordine

• φ^*_m+1/2 = φ_m + Δt/2 f(t_m, φ_m)

• φ_m+1 = φ_m + Δt f(t_m+1/2, φ^*_m+1/2)

EXP

CORR

Normalmente si usa IV ordine:

4° ordine

• φ^*_m+1/2 = φ_m + Δt/2 f(t_m, φ_m)

• φ^**_m+1/2 = φ_m + Δt/2 f(t_m+1/2, φ^*_m+1/2)

• φ^**_m+1 = φ_m + Δt f(t_m+1/2, φ^**_m+1/2)

• φ_m+1 = φ_m + Δt/6 [f(t_m, φ_m) + 2 f(t_m+1/2, φ^*_m+1/2) + 2 f(t_m+1/2, φ^**_m+1/2) + f(t_m+1, φ^***_m+1)]

*domanda d'esame

Størmer-Verlet

• F = ma

• F = mũ

• m d/dt = F(x_i, t) - Δ v^n+1/2 + (Δt/m) F^m

• dx/dt = v

• x_n+1 = x_n + Δt/2 (vⁿ + vⁿ⁺¹)